数学

对很多人而言，数学是阻碍他们理解科学原理的重大障碍。过去的400多年中，数学一直是物理学的官方语言，没有数学，我们很难真正地理解物理学。为什么会这样？其中一个原因在于，物理学很大程度上是遵循因果关系的科学。然而我们会发现，这种因果关系在量子力学语境中会在一定程度上被打破。人们一般会运用数学方法分析因果关系，举个非常简单的例子，数学中的“2+2=4”意味着，如果我们将2个物体和另外2个物体组合在一起，我们应该得到4个物体。再举一个更复杂的例子，一个苹果从树上掉到地上，假如我们知道苹果的初始高度以及所受重力的大小，我们可以运用数学知识计算出苹果落地需要多长时间。这个例子证明了数学在科学研究中的重要作用，因为科学研究的目的是预测一个物理系统未来的运动，同时还要将预测结果与测试结果进行对比。预测结果与测试结果是否吻合，决定了我们到底应该肯定还是否定某个基本理论。为了进行严谨的测试，我们就必须用数的形式呈现出自己的计算结果和最终测试结果。

为了进一步说明上述观点，读者可以思考接下来的这个例子。假设现在是晚上，三个人各自提出了关于太阳是否会重新出现以及在何时重新出现的理论。艾伦说，按照他的理论，太阳会在未来某个时间点出现。鲍勃说，太阳会重新升起，在那之后的夜晚和白天有规律地交替出现。凯茜提出了一个数学理论，预测太阳将在凌晨5时42分升起，随后白天和夜晚将有规律地以24小时为周期循环出现，每天太阳都会在可预测的时间升起。

接下来，我们观察一下实际情况是怎样的。如果太阳确实在凯茜预测的时间升起，那么三个理论就都得到了证实。我们更有可能相信凯茜的理论，这是因为如果太阳在其他时间升起，凯茜的理论就会遭到否定，或者说被证伪，而艾伦和鲍勃的理论依然成立。正如哲学家卡尔·波普尔（Karl Popper）所说，正是这种可证伪性，才是物理学理论发展的最大动力。我们无法从逻辑角度确定某些观点是否正确，但是这些观点通过的检验越严格，我们对其的信心就会越强。想证明鲍勃的理论错误，我们必须观察太阳是否升起，只有太阳在不同日期、不规律的时间升起时他的理论才是错误的。至于艾伦的理论，只有太阳再也不升起时才是错的。

一个理论的说服力越强，原则上我们就越不容易发现其谬误，而如果没能找到谬误，我们就越有可能相信这个理论。相反，一个完全不能被证伪的理论通常被视作“形而上学”或违反科学原理。

为了形成可以做出精准预测的科学理论，比如确定太阳升起的具体时间，我们需要尽可能精准地对数值做出测量和计算，而这会不可避免地涉及数学。一部分量子计算的结果便是如此，也就是用数学计算极为精确地预测可测量的数值。然而更多时候，我们在量子力学中的预测却更像是鲍勃提出的理论，我们是对一种行为模式进行预测，而不是预测准确的数值。这虽然也涉及数学，但我们一般不必进行预测准确数值所需的复杂计算，与此同时，我们又能做出可检验的预测，当预测通过检验后，我们就会对自己提出的理论更有信心。我们将在这本书里看到好几个预测行为模式的案例。

我们所需的数学计算量，很大程度上取决于研究系统的复杂与细致程度。如果选择合适的案例，我们一般可以用非常简单的运算解释清楚相当复杂的物理概念。我们会尽量将本书涉及的数学问题限制在算术和简单的代数上，但是，因为我们的目标是描述现实世界中的物理现象，所以有时我们不得不使用一些更高层次的数学分析方法，才能对一个问题做出完整的解释和讨论。讨论上述问题时，我们会尽量避免使用复杂的数学概念，但会大量使用图表，读者需要结合文字认真研究。此外，有时我们只会简单地陈述结果，所以希望读者做好心理准备，相信我们给出的答案。我们在与正文相区别的“数学小课堂”专栏里列出了一些与讨论有关的、简单明了的数学知识，尽管不看这部分内容读者也能理解书中的观点，但愿意了解数学的读者可能会觉得这些内容既有趣又有用。下面的“数学小课堂1-1”是本书的第一个数学专栏。

数学小课堂1-1

本书涉及的数学知识是大多数读者上学时就会学到的，可由于缺少练习，有些内容很容易被遗忘。所以尽管有可能冒犯数学基础好的读者，但我们还是在这个专栏里列出了一些将会用到的基本数学概念。

其中的一个核心概念就是等式，比如：

a=b+cd

在代数中，一个字母代表一个数，两个写在一起的字母意味着两个数相乘。举个例子，如果b是2，c是3，d是5，那么这个等式就是2+3×5=17。

次方：如果把一个数（假设为x）和它自身相乘，我们可以称之为这个数的平方或者2次方，写为x2。三个相同的数相乘则是x3，以此类推。我们也会看到负次方，也就是x-1=1/x，x-2=1/x2，以此类推。

我们在物理学中可以举出一个等式的例子，那就是爱因斯坦提出的著名公式：

E=mc2

在这个公式里，E为能量，m为质量，c为光速，这个等式在物理学上的意义就是，一个物体包含的能量等于其自身的质量与光速的平方的乘积。等式意味着等号左右两边永远相等，如果我们在等号两边进行相同的操作，那么等式依然成立。所以，如果我们把上面的公式的两边均除以c2，我们就会得到：

E/c2=m或者m=E/c2

我们可以看到，符号“/”表示除法，当我们将等号左右两边互换时，等式依旧成立。