2.2.2 非线性微分方程的线性化_自动控制原理（上）-QQ阅读男生武侠网

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2.2.2 非线性微分方程的线性化

如果控制系统输入输出之间的关系是由式（2-15）所示的线性常系数微分方程所描述的，则这个系统称为线性定常系统。线性定常系统能应用经典控制论中最成熟的理论进行系统分析和设计。一个由线性元件组成的系统必然是线性系统，线性系统满足叠加原理，叠加原理为系统的分析和研究带来了极大的方便。

由于构成控制系统的元器件都有不同程度的非线性特性，严格地说，几乎所有的实际物理系统都是非线性的。描述非线性系统的非线性微分方程没有一种完整、成熟、统一的解法，不能应用叠加原理。为了分析方便，需要对系统组成元器件的非线性作适当的处理。对非线性进行处理最简便的方法就是直接忽略。当物理元器件的非线性特性对系统影响很小，就可以忽略其非线性影响，将这些物理元器件看成是线性元件。但是，很多情况下，是难以判断要忽略的非线性部分是否会对系统分析产生影响，所以在这种情况下，对非线性处理更好的方法是采用小偏差法（或者叫切线法）对其非线性数学模型进行线性化。这种方法适合于具有连续变化的非线性特性，在一个很小的范围里，将非线性特性用一段直线的线性特性来表示。对于如图2-5所示的连续变化的非线性特性，设其非线性特性函数为у=f(x)，如果系统只工作在其平衡状态附近，即当系统受到扰动后，系统的输出只在平衡点状态附近变化，则可将非线性特性函数у=f(x)在其相应的工作点A(x₀，у₀)附近用泰勒级数展开，即将у=f(x)展开为

图2-5 小偏差法线性化

当增量（即“偏差”）Δx=(x-x₀)很小时，即在“小偏差”条件下，将泰勒级数展开式中的高次幂项略去，只保留一次幂项

即

记系数K=[df/dx]|_x₀，即曲线在A点的斜率，则有

式（2-18）即为非线性特性函数у=f(x)在工作点A附近由变量增量Δx、Δу表示的线性化方程。

如果非线性特性函数有两个自变量，也可以用小偏差法对其进行线性化处理。设非线性特性函数为у=f(x₁，x₂)，在其工作平衡点A(x₁₀，x₂₀)附近用泰勒级数展开时，应分别求у对x₁、x₂的偏导数

同样，当增量Δx₁=(x₁-x₁₀)和Δx₂=(x₂-x₂₀)很小时，将泰勒级数展开式中的高次幂项可以略去，只保留一次幂项

即

令，，，则可得到两变量非线性特性函数的线性化增量方程

从上述可见，用小偏差法对非线性方程线性化处理的结果是用变量增量的线性方程Δу=KΔx代替变量的非线性函数у=f(x)，或用Δу=K₁Δx₁+K₂Δx₂代替非线性函数у=f(x₁，x₂)。对非线性系统中的线性元件，其变量增量方程与变量方程形式完全相同，各变量加上Δ即可，建立系统微分方程过程中的“消去中间变量”这一步骤实际就是对系统各组成环节的增量方程组消元，最后得到系统的线性化增量方程。为简化起见，常略去各变量的增量符号Δ，即得到直接由变量表示的线性化的常系数微分方程式，即式（2-15），关于这点在此说明后，下面不再一一解释。

在求取线性化增量方程时应注意，线性化是相对于某一工作点的，工作点不同，所得到的线性化方程的系数K值也不同。显然，变量的偏差Δx越小，线性化的近似程度越高。

事实证明，小偏差法在实际的大多数控制系统中是可行的。自动控制系统在正常情况下所处的平衡状态对应于被控制量与其期望值保持一致的状态，此时被控对象运行在预期状态，控制系统不需动作。一旦给定输入改变或受到干扰后，被控制量偏离期望值，产生偏差，控制系统就要进行控制，即根据偏差产生控制作用去消除偏差或减小偏差到允许范围内。所以，控制系统中被控制量与期望值不会有很大的偏差，只是“小偏差”。在建立控制系统的数学模型时，通常都是以被控制量与其期望值保持一致的平衡状态作为研究的起始状态，只研究相对于平衡点系统输入量、输出量的运动特性，这正是增量线性化方程描述的系统特性，因此用小偏差法对系统中的非线性特性函数进行线性化是符合系统实际的。所以将此类具有连续变化特性、可以用“小偏差法”进行线性化的非线性特性称为非本质非线性特性，例如图2-6a所示。反之则称为本质非线性特性，如图2-6b～2-6d所示的非线性特性或其组合。