1.3.2　线性相关与线性无关

若干个同维向量所组成的集合称为向量组。对向量组中向量线性关系的研究，在对线性方程组解的存在性与解的结构研究中显得非常重要。向量组通过有限次线性运算可以构造一些新的向量，这些新的向量统称为该向量组的线性组合，具体定义如下。

定义1-24　对于n维向量组和n维向量，如果存在数,,，使得，则称向量为向量组的一个线性组合；也称向量可以由向量组线性表示（或线性表出）。

特别地，如果可以由向量线性表示，即有数，使得，则称与呈比例。

例如：零向量是任意向量组的线性组合，因为

例1-23　任意n维向量是向量组,,…,的线性组合，因为。一般称为n维基本向量或n维初始单位向量。

n个未知量的线性方程组

是否有解的问题完全等价于维向量能否表示为维向量组的线性组合的问题，即是否存在数使得

其中，,,,,，式（1.9）称为式（1.8）所示的线性方程组的向量形式。因此，如果要将表示为向量组的线性组合，即，可以将其转化为求解式（1.8）所示的线性方程组。反过来，当研究线性方程组解的存在性与解的结构时，也可以利用向量的线性表示与下面讨论的线性相关性。

定义1-25　已知n维向量组，如果存在不全为零的一组数，使得成立，则称向量组线性相关；否则，称该向量组线性无关。

实际上，n维向量组线性无关的充分必要条件是：n维零向量能被n维向量组唯一地线性表出，即当且仅当。

由定义1-25可知：一个向量线性相关当且仅当是零向量；反之，一个向量线性无关当且仅当。

例1-24　4维向量组（其中是任意实数）是线性相关的，这是因为存在不全为零的数1，-1，2，0使得。

对n维向量组（是零向量），存在不全为零的数，使得，因此向量组线性相关。对基本向量，若，则显然有，因此有如下结论：

（1）任何含有零向量的向量组一定线性相关；

（2）n维基本向量组一定线性无关。

定理1-6　n维向量组（）线性相关的充分必要条件是该向量组中至少存在一个向量可以表示为其余个向量的线性组合。

定理1-7　如果m个n维向量线性无关，且个n维向量线性相关，则

（1）可由向量组线性表示；

（2）（1）中的线性表示唯一确定，即存在唯一一组数，使得。

向量组中一部分向量构成的向量组，称为该向量组的子向量组。

定理1-8　在维向量组中，若存在某子向量组线性相关，则向量组一定线性相关；反之，若向量组线性无关，则它的任意子向量组都线性无关。

定理1-9　n维向量组同时去掉相应的（）个分量后得维向量组，其中，，，则

（1）若线性相关，则也一定线性相关；

（2）若线性无关，则也一定线性无关。