大数据数学基础
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1.2.1 矩阵的概念

关系式

(1.1)

称为由变量到变量的线性变换,将各系数提取出来且相对位置保持不变,得到一个数表

显然,形如式(1.1)的线性变换与上述数表是一一对应的。

定义1-2 由个数按一定顺序排成的mn列数表

称为mn列矩阵,简称矩阵,通常用大写英文字母表示,记作。这个数称为矩阵的元素,简称元,数位于矩阵的第行第列,称为矩阵元,因此以数元的矩阵还可记作

上述数表称为线性变换式(1.1)的矩阵。

给定线性变换,它的矩阵也就确定了。反之,如果给定矩阵,则对应的线性变换也就确定了。在此意义上,线性变换和矩阵之间存在一一对应的关系。

n元线性方程组

(1.2)

的系数按原来的相对位置构成的矩阵

称为形如式(1.2)的线性方程组的系数矩阵。

由式(1.2)的系数与常数项构成的矩阵

称为形如式(1.2)的线性方程组的增广矩阵。

元素都是实数的矩阵称为实矩阵,元素包含复数的矩阵称为复矩阵。除特别说明之外,本书中的矩阵都指实矩阵。

例如,是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵。

显然,矩阵与行列式这两个概念有本质的区别:行列式是一个特定算式,经过计算可求得只包含数字的行列式的值;而矩阵只是一个数表,它的行数和列数可以不同。

定义1-3 当矩阵与矩阵行数对应相等,列数也对应相等时,称为同型矩阵。

例如,矩阵是同型矩阵。

定义1-4 对两个同型矩阵,如果它们的对应元素相等,即

那么称矩阵与矩阵相等,记作

定义1-5 几种特殊形式的矩阵如下。

(1)元素全为零的矩阵称为零矩阵,的零矩阵记作

值得注意的是,不同型的零矩阵是不相等的。

例如:

(2)只有一行的矩阵称为行矩阵,又称为行向量,记作

(3)只有一列的矩阵称为列矩阵,又称为列向量,记作

(4)行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵,记作

此时,从左上角元素到右下角元素所形成的直线称为主对角线。

(5)主对角线下方的元素都为零的方阵称为上三角矩阵,即,记作

其中,未标出的元素均为0。

(6)主对角线上方的元素都为零的方阵称为下三角矩阵,即,记作

(7)除主对角线之外,其余元素都为零的方阵称为对角矩阵,即,记作

对角矩阵也常记作

(8)主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵,记作

(9)主对角线上元素都等于1的对角矩阵称为单位矩阵,记作

(10)在方阵中,如果,则称为对称矩阵;如果,则称为反对称矩阵。

例如:是对称矩阵,是反对称矩阵。