1.2.1 矩阵的概念
关系式
(1.1)
称为由变量到变量的线性变换,将各系数提取出来且相对位置保持不变,得到一个数表
显然,形如式(1.1)的线性变换与上述数表是一一对应的。
定义1-2 由个数按一定顺序排成的m行n列数表
称为m行n列矩阵,简称矩阵,通常用大写英文字母表示,记作或。这个数称为矩阵的元素,简称元,数位于矩阵的第行第列,称为矩阵的元,因此以数为元的矩阵还可记作或。
上述数表称为线性变换式(1.1)的矩阵。
给定线性变换,它的矩阵也就确定了。反之,如果给定矩阵,则对应的线性变换也就确定了。在此意义上,线性变换和矩阵之间存在一一对应的关系。
n元线性方程组
(1.2)
的系数按原来的相对位置构成的矩阵
称为形如式(1.2)的线性方程组的系数矩阵。
由式(1.2)的系数与常数项构成的矩阵
称为形如式(1.2)的线性方程组的增广矩阵。
元素都是实数的矩阵称为实矩阵,元素包含复数的矩阵称为复矩阵。除特别说明之外,本书中的矩阵都指实矩阵。
例如,是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵。
显然,矩阵与行列式这两个概念有本质的区别:行列式是一个特定算式,经过计算可求得只包含数字的行列式的值;而矩阵只是一个数表,它的行数和列数可以不同。
定义1-3 当矩阵与矩阵行数对应相等,列数也对应相等时,称、为同型矩阵。
例如,矩阵与是同型矩阵。
定义1-4 对两个同型矩阵与,如果它们的对应元素相等,即
那么称矩阵与矩阵相等,记作。
定义1-5 几种特殊形式的矩阵如下。
(1)元素全为零的矩阵称为零矩阵,的零矩阵记作
值得注意的是,不同型的零矩阵是不相等的。
例如:
(2)只有一行的矩阵称为行矩阵,又称为行向量,记作
(3)只有一列的矩阵称为列矩阵,又称为列向量,记作
(4)行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵,记作
此时,从左上角元素到右下角元素所形成的直线称为主对角线。
(5)主对角线下方的元素都为零的方阵称为上三角矩阵,即,记作
其中,未标出的元素均为0。
(6)主对角线上方的元素都为零的方阵称为下三角矩阵,即,记作
(7)除主对角线之外,其余元素都为零的方阵称为对角矩阵,即,记作
对角矩阵也常记作。
(8)主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵,记作
(9)主对角线上元素都等于1的对角矩阵称为单位矩阵,记作
(10)在方阵中,如果,则称为对称矩阵;如果,则称为反对称矩阵。
例如:是对称矩阵,是反对称矩阵。