1.2.1　矩阵的概念

关系式

称为由变量到变量的线性变换，将各系数提取出来且相对位置保持不变，得到一个数表

显然，形如式（1.1）的线性变换与上述数表是一一对应的。

定义1-2　由个数按一定顺序排成的m行n列数表

称为m行n列矩阵，简称矩阵，通常用大写英文字母表示，记作或。这个数称为矩阵的元素，简称元，数位于矩阵的第行第列，称为矩阵的元，因此以数为元的矩阵还可记作或。

上述数表称为线性变换式（1.1）的矩阵。

给定线性变换，它的矩阵也就确定了。反之，如果给定矩阵，则对应的线性变换也就确定了。在此意义上，线性变换和矩阵之间存在一一对应的关系。

n元线性方程组

的系数按原来的相对位置构成的矩阵

称为形如式（1.2）的线性方程组的系数矩阵。

由式（1.2）的系数与常数项构成的矩阵

称为形如式（1.2）的线性方程组的增广矩阵。

元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素包含复数的矩阵称为复矩阵。除特别说明之外，本书中的矩阵都指实矩阵。

例如，是一个实矩阵，是一个复矩阵，是一个矩阵。

显然，矩阵与行列式这两个概念有本质的区别：行列式是一个特定算式，经过计算可求得只包含数字的行列式的值；而矩阵只是一个数表，它的行数和列数可以不同。

定义1-3　当矩阵与矩阵行数对应相等，列数也对应相等时，称、为同型矩阵。

例如，矩阵与是同型矩阵。

定义1-4　对两个同型矩阵与，如果它们的对应元素相等，即

那么称矩阵与矩阵相等，记作。

定义1-5　几种特殊形式的矩阵如下。

（1）元素全为零的矩阵称为零矩阵，的零矩阵记作

值得注意的是，不同型的零矩阵是不相等的。

例如：

（2）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量，记作

（3）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量，记作

（4）行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵，记作

此时，从左上角元素到右下角元素所形成的直线称为主对角线。

（5）主对角线下方的元素都为零的方阵称为上三角矩阵，即，记作

其中，未标出的元素均为0。

（6）主对角线上方的元素都为零的方阵称为下三角矩阵，即，记作

（7）除主对角线之外，其余元素都为零的方阵称为对角矩阵，即，记作

对角矩阵也常记作。

（8）主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵，记作

（9）主对角线上元素都等于1的对角矩阵称为单位矩阵，记作

（10）在方阵中，如果，则称为对称矩阵；如果，则称为反对称矩阵。

例如：是对称矩阵，是反对称矩阵。