3.2.2　对偶空间和对偶向量

向量的内积是一个函数，从同一空间取出两个向量v和w，并计算得到一个数，记为。

以Dirac符号定义的对偶空间和对偶向量有如下定义：

设H为Hilbert空间，Hilbert空间H*定义为线性映射的集合，定义空间H*的向量和，并有。也就是说，空间H中两个向量的内积属于空间H*，其中是同属于H空间的和的内积。

空间H*本身是一个复向量空间，称为与H相关联的对偶空间；是的对偶向量，是从中获取相应的行矩阵后，取每个元素的复共轭（埃尔米特共轭）得到的。

两个向量和的内积为，计算方法是以为行向量，为列向量，对应的元素乘积得到矩阵。例如，，，则两者内积为：

注意：此处的共轭是。如果两个向量的内积为零，则称其为正交向量。

的欧氏范数表示为，是它与自身内积后做平方根，即，范数为1的向量称为单位向量，一组相互正交的单位向量称为正交集。

考虑一个维数为的Hilbert空间H，当有且，当，则个组成空间H的一组正交基。例如就是一组满足任意两个向量内积为0、每个向量范数为1的一组正交基。按照该规则重新计算，的内积，有：