2.1 控制系统数学模型的概念

在控制理论中，数学模型有多种形式。常用的时域模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域模型有传递函数、结构框图；频域模型有频率特性等。

1.数学模型的类型

数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，可分为以下几种类型。

1）静态模型与动态模型

根据数学模型的功能，将数学模型分为静态模型与动态模型。静态模型是描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，一般用代数方程表示，数学表达式中的变量与时间无关，代表输入输出之间的稳态关系。动态模型是描述系统动态或瞬态特性的模型，一般用微分方程等形式表示。实际上，静态模型可以看作动态模型的特例。

2）输入输出模型与内部描述模型

描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出模型，如微分方程、传递函数以及频率特性等。状态空间模型描述系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，称为内部描述模型。内部描述模型不仅给出了系统输入输出之间的关系，而且给出了系统内部信息之间的关系，所以比输入输出模型更能深入揭示系统的动态特性。

3）连续时间模型与离散时间模型

根据数学模型所描述的系统中是否存在离散信号，将其分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。连续模型有微分方程、传递函数及状态空间表达式等，离散模型有差分方程、Z域传递函数及离散状态空间表达式等。

4）参数模型与非参数模型

从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程及状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的实验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应及频率特性曲线等。

数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。例如，一个集中参数系统，可以用输入输出模型表示，也可以用内部描述模型表示；可以用连续时间模型表示，也可以用离散时间模型表示；可以用参数模型表示，也可以用非参数模型表示。

2.数学模型的特点

实际系统的数学模型复杂多样，具体建模时，要结合研究目的、条件，合理地进行建模，系统的数学模型具有以下两个共同的特点。

1）相似性

实际中存在的控制系统，不管它们是机械的、电气的，还是液体的，它们的数学模型可能是相同的，即具有相同的运动规律。因而在研究数学模型时，不再考虑方程中符号的物理意义，只把它们看成抽象的变量；也不再考虑各系数的具体意义，只是把它们看成抽象的参数。只要数学模型形式相同，不管变量用什么符号，它的运动性质是相同的。对这种抽象的数学模型进行分析研究，其结论自然具有一般性，普遍适用于各类相似的物理系统。因此，相似系统是可以相互模拟研究的。

2）简化性和准确性

同一物理系统，数学模型不是唯一的。由于精度要求和应用条件不同，可以采用不同复杂程度的数学模型。这是由于具体物理系统中各变量之间的关系比较复杂，一般都存在非线性因素，而且参数也不可能是集中参数。因此，要想准确描述，真正的控制系统数学模型应该是非线性偏微分方程，但是求解非线性偏微分方程相当困难，有时甚至是不可能的。因此，即使方程非常准确也毫无意义。为了使方程有解，而且比较容易求出，常在误差允许的范围内，忽略一些对性能影响较小的物理因素，用简化的数学模型表达实际的物理系统。这样，同一系统就有完整的、复杂的数学模型和简单的、近似的数学模型。而在建模过程中，应当折中考虑模型的准确性和简化性，无须盲目强调模型准确而使模型过于复杂，以致分析困难。当然，也不能片面强调模型简单，以致分析结果与实际出入过大。

3.建立数学模型的方法

建立控制系统数学模型的方法有两大类：一类是机理分析建模，称为机理分析建模法；另一类是实验建模，称为系统辨识法。

机理分析建模法是通过对系统内在机理的分析，运用物理、化学等定理，推导出描述系统变量间关系的数学表达式。采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结构，所以常称之为“白箱”建模方法。机理建模得到的模型揭示了系统的内在结构与联系，较好地描述了系统的特性。但是，机理分析建模法具有一定的局限性，特别是当系统内部过程变化机理尚不清楚时，很难采用机理建模方法。而当系统结构比较复杂时，所得到的机理模型往往比较复杂，难以满足实际控制的要求。此外，机理建模总是基于许多简化和假设，所以机理模型与实际系统之间往往存在建模误差。

系统辨识法是利用系统输入、输出的实验数据或者正常运行数据，构造数学模型的建模方法。因为系统建模方法只依赖系统的输入输出关系，即使对系统内部机理不了解，也可以建立模型，所以常称为“黑箱”建模方法。由于系统辨识法是基于建模对象的实验数据或正常运行数据，所以建模对象必须是已经存在的，并能够进行实验。而且辨识得到的模型只能反映系统输入输出的特性，不能反映系统的内在信息，难以描述系统的本质。

最有效的建模方法是将机理分析建模法与系统辨识法结合起来。事实上，在建模时，人们对系统不是一点都不了解，只是不能准确地描述系统的定量关系，只能够了解系统的部分特性，例如系统的类型、阶次等，因此，系统像“灰箱”。实用的建模方法是尽量利用对物理系统的认识，由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计模型参数，这种方法常称为“灰箱”建模方法。

无论是分析法还是实验法建立的数学模型，都存在着精度和复杂性之间的矛盾，即控制系统的数学模型越准确，它的复杂程度就越高，微分方程的阶数也越高，对控制系统进行分析和设计就越困难。因此，在控制系统的工程实践中，在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。在建立数学模型时，常做许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的近似数学模型。