第三节 假设检验的基本原理

前面讲了样本均数抽样分布的问题。抽样研究的目的是用样本信息来推断总体特征。但是由于样本均数包含抽样误差，用包含抽样误差的样本均数来推断总体均数，其结论并不是绝对正确的。因而要对样本均数进行统计假设检验。

假设检验又叫显著性检验（test of significance），是统计学中一个很重要的内容。假设检验的方法很多，常用的有t检验、F检验和χ2检验等。尽管这些检验方法的用途及使用条件不同，但其检验的基本原理是相同的。本节以两个平均数的差异检验来阐明假设检验的基本原理。

一、假设检验的基本思想

两个总体间的差异如何比较？一种方法是研究整个总体，即由总体中的所有个体数据计算出总体参数进行比较。这种研究整个总体的方法是很准确的，但常常是不可能进行的，因为总体往往是无限总体，或者是包含个体很多的有限总体。因此，不得不采用另一种方法，即研究样本，通过样本研究其所代表的总体。

由两样本均数和的差异来推断总体平均数μ₁、μ₂相同与否，不能仅依据样本均数表面上的差异直接得出结论，其根本原因在于抽样误差（实验误差）的不可避免性。对于接受不同处理的两个样本来说，有，。这说明两个样本均数之差也包括了两部分：一部分是两个总体均数的差（μ₁ − μ₂），叫做实验的处理效应（treatment effect）；另一部分是抽样误差（实验误差）。因此，仅凭就对总体均数 μ₁、μ₂是否相同下结论是不可靠的。只有通过假设检验才能从中提取结论。对（进行假设检验就是要分析：实验的表面效应主要是由处理效应（μ₁ − μ₂）引起的，还是主要由抽样误差（实验误差）所造成。虽然处理效应（μ₁ − μ₂）未知，但实验的表面效应是可以计算的，借助统计方法可以对实验误差作出估计。所以，可从实验的表面效应与抽样误差（实验误差）的权衡比较中，间接地推断处理效应是否存在，这就是假设检验的基本思想。

假设检验应用的是小概率反证法思想。所谓小概率思想是指小概率事件（如P < 0.05）在一次实验中基本上不会发生。反证法思想是先提出检验假设（无效假设H₀），再用适当的统计方法给出判断假设不成立时所冒的风险大小，如果此风险足够小（P < 0.05），则认为假设不成立，若此风险大（P > 0.05），则还不能认为假设不成立。

二、假设检验基本步骤

（一）对实验样本所在的总体作假设

假设两总体均数相等，即假设 μ₁ = μ₂或 μ₁ − μ₂ = 0，其意义是实验的表面效应是由于抽样误差引起，处理无效，这种假设称为原假设（又称无效假设）（null hypothesis），记作H₀（样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起）。原假设是被检验的假设，通过检验我们需要做决定，是拒绝原假设，还是不拒绝原假设。提出 H₀：μ₁ = μ₂或 μ₁ − μ₂ = 0 的同时，相应地还要提出对应假设，称为备择假设（alternative hypothesis），记作H₁（样本与总体或样本与样本间存在本质差异）。备择假设是异于原假设，且在原假设被拒绝时可能采用的统计假设。

原假设和备择假设必须由题意来决定。在一般情况下总是把检验的目的作为备择假设，这样可以有充分的把握拒绝原假设。

（二）选择显著水平，确定样本的统计量和分布

在假设检验中，显著水平α表示出现当原假设为真而我们却拒绝原假设，接受备择假设的错误概率不超过α。

假设检验时选用的显著水平，除α = 0.05外，也可选α = 0.10或α = 0.01等。到底选哪种显著水平，应根据实验的要求或实验结论的重要性而定。如果实验中难以控制的因素较多，实验误差可能较大，则显著水平可选低些，即α值取大些。反之，如实验耗费较大，对精确度的要求较高，不容许反复，或者实验结论的应用事关重大，则所选显著水平应高些，即α值应该小些。显著水平α对假设检验的结论是有直接影响的，所以它应在实验开始前即确定下来。一般预先设定的检验水准为0.05。

在原假设H₀：μ₁ = μ₂成立的前提下，选择合适的统计量，研究实验所得统计量（的抽样分布，计算P值。

（三）根据“小概率事件实际不可能性原理”下推断结论

若随机事件的概率很小，例如小于0.05，称之为小概率事件。在统计学上，把小概率事件看成是在一次实验中实际上不可能发生的事件，称为小概率事件实际不可能原理。根据这一原理，当拒绝H₀所冒的风险P值小于0.05时，可以认为在一次实验中拒绝H₀时犯错误是不可能的，因而否定原先所作的无效假设 H₀：μ₁ = μ₂，接受备择假设 H₁：μ₁ ≠ μ₂，即认为实验的处理效应是存在的。当P值大于0.05时，则说明拒绝无效假设H₀：μ₁ = μ₂所冒的风险大，因而也就不能接受备择假设 H₁：μ₁ ≠ μ₂。

例5-7

某药厂长期生产某种丸药，规定标准为每丸重9g。本月开始使用一台新购置的联合制丸机。根据经验知道其方差为0.25，现抽取100丸药，称得丸重均数为9.1，标准差为0.158，问制丸机工作是否正常？

解：由已知μ₀ = 9，，σ = 0.25，n = 100，S = 0.158，确定α = 0.05

（1）建立假设，确定检验标准

H₀：μ = μ₀ = 9（原假设）

H₁：μ ≠ μ₀ = 9（备择假设）

（2）计算统计量

（3）做出结论：

所以拒绝假设H₀，接受备择假设H₁，即制丸机工作不正常。

1.CHISS软件的假设检验

本例题可以用2种方法解。

（1）使用原始数据

1） 进入数据模块：点击“数据”→“文件”→打开“数据库表”，找到文件名为“b5-7.dbf”的数据库→“确认”。

2） 进入统计模块进行统计计算：点击“统计”→“统计推断”→“t检验”→“用原始数据t检验”，反应变量：丸重→“确认”。单组比较时的总体均数（9.0）→OK（确认）。

3） 进入结果模块查看结果：点击“结果”，见表5-9。

（2）使用数据的均数和标准差

1） 进入数据模块：点击“数据”→“文件”→打开“数据库表”，找到文件名为“b5-8.dbf”的数据库→“确认”。

2） 进入统计模块进行统计计算：点击“统计”→“统计推断”→“t检验”→“用均数t检验”，反应变量：总体均数、样本均数→“确认”

3） 进入结果模块查看结果：点击“结果”，结果见表5-10。

综上，假设检验，从提出无效假设与备择假设，到根据“小概率事件实际不可能性原理”来否定或接受无效假设，这一过程实际上是应用所谓“概率性质的反证法”对实验样本所属总体所作的无效假设的统计推断。

2.SAS软件的假设检验

结果如图5-28：

3.Stata软件的假设检验

*导入样例b5-7的csv文件

import delimited E:\example\b5-7.csv，encoding（GBK）clear

*单样本t检验统计推断，结果如图5-29

ttest 丸重 = 9.0

4.SPSS软件的假设检验

此数据库已建立在文件夹中，文件名为：b5-7sav。

首先，打开文件，单击“文件”→“打开”→“数据”，找到文件名“b5-7sav”，点击“打开”。

第二，点击“分析”→“比较平均值”→“单样本T检验”，如图5-30所示，弹出“单样本T检验”对话框，如图5-31所示，检验变量中填入“丸重”，检验值为“9”，点击“选项”，弹出“单样本T检验：选项”对话框如图5-32所示，置信区间百分比为“95%”，点击“继续”，点击“确定”。

结果显示如图5-33所示。

三、假设检验的两种类型错误

由于显著性检验是根据“小概率事件实际不可能性原理”来决定是否拒绝无效假设的，所以不论是拒绝还是不拒绝无效假设，都没有100%的把握。也就是说，在检验无效假设H₀时可能犯两类错误。

第一类错误（或Ⅰ型错误）：是原假设H₀为真而被拒绝，又称弃真。Ⅰ型错误，就是把非真实差异错判为真实差异，即 H₀：μ₁ = μ₂为真，却接受了 H₁：μ₁ ≠ μ₂。犯Ⅰ型错误的概率不会超过α。

第二类错误（或Ⅱ型错误）：是原假设H₀不真但被”接受”，又称存伪。Ⅱ型错误，就是把真实差异错判为非真实差异，即 H₁：μ₁ ≠ μ₂为真，却未能否定 H₀：μ₁ = μ₂。

Ⅱ型错误发生的原因可以用图5-34来说明。图中左边曲线是H₀：μ₁ = μ₂为真时，的分布密度曲线；右边曲线是 H₁：μ₁ ≠ μ₂ 为真时，的分布密度曲线（μ₁ > μ₂），它们构成的抽样分布相叠加。有时我们从 μ₁ − μ₂ ≠ 0 总体抽取一个恰恰在H₀成立时的接受域内（如图中横线阴影部分），这样，实际是从μ₁ − μ₂ ≠ 0总体抽的样本，经显著性检验却不能否定H₀，因而犯了Ⅱ型错误。犯Ⅱ型错误的概率用β表示。错误概率β值的大小较难确切估计，它只有与特定的H₁结合起来才有意义。一般与显著水平α、原总体的标准差σ、样本含量n、以及相互比较的两样本所属总体平均数之差μ₁ − μ₂等因素有关。在其他因素确定时，α值越小，β值越大；反之，α值越大，β值越小；样本含量n及μ₁ − μ₂越大，σ越小，β值越小。

由于β值的大小与α值的大小有关，所以在选用检验的显著水平时应考虑到犯Ⅰ、Ⅱ型错误所产生后果严重性的大小，还应考虑到实验的难易及实验结果的重要程度。若一个实验耗费大，可靠性要求高，不允许反复，那么α值应取小些；当一个实验结论的使用事关重大，容易产生严重后果，如药物的毒性实验，α值亦应取小些。对于一些条件不易控制、误差较大的实验，可将α值放宽到0.1，甚至放宽到0.25。

在控制第一类错误α较小时，为了减小犯Ⅱ型错误的概率，可适当增大样本含量。因为增大样本含量可使分布的方差σ2（1/n₁ + 1/n₂）变小，使图5-3左右两曲线变得比较“高”“瘦”，叠加部分减少，即β值变小。我们的愿望是α值不越过某个给定值，比如α = 0.05或0.01的前提下，β值越小越好。因为在具体问题中μ₁ − μ₂和σ相对不变，所以β值的大小主要取决于样本含量的大小。

图5-34中的1 − β称为检验功效或检验力（power of test），也叫把握度。其意义是当两总体确有差别（即H₁成立）时，按α水平能发现它们有差别的能力。例如1 − β = 0.9，意味着若两总体确有差别，则理论上平均100次抽样比较中有90次能得出有差别的结论。

两类错误的关系可归纳如下（表5-11）：

四、假设检验应注意的问题

1.为了保证实验结果的可靠及正确，要有严密合理的实验或抽样设计，保证各样本是从相应同质总体中随机抽取的。且处理间要有可比性，即除比较的处理外，其他影响因素应尽可能控制相同或基本相近。否则，任何假设检验的方法都不能保证结果的正确。

2.选用的假设检验方法应符合其应用条件。由于研究变量的类型、问题的性质、条件、实验设计方法、样本大小等的不同，所用的假设检验方法也不同，因而在选用检验方法时，应认真考虑其适用条件，不能滥用。

3.合理建立统计假设，正确计算检验统计量。

4.结论不能绝对化。经过假设检验最终是否否定无效假设，是由被研究事物有无本质差异、实验误差的大小及选用显著水平的高低决定的。同样一种实验，实验本身差异程度不同，样本含量大小不同，显著水平高低不同，统计推断结论可能不同。否定H₀时可能犯Ⅰ型错误，“接受”H₀时可能犯Ⅱ型错误。尤其在P接近α时，下结论应慎重，有时应重复实验来证明。总之，具有实用意义的结论要从多方面综合考虑，不能单纯依靠统计结论。

5.报告结论时应列出由样本算得的检验统计量值（如t值），注明是单侧检验还是双侧检验，并写出P值的确切值或范围，如0.01 < P < 0.05，以便读者结合有关资料进行对比分析。

（尹立群　王泓午　赛晓勇）