倍立方

“倍立方”这一名词可能听上去有些令人惊讶。我们在讨论平面几何，为什么会突然冒出三维的立方体？尽管名字听上去令人困惑，但倍立方确实是一个平面几何问题。我们先来看一个倍立方问题的简化版本：倍平方问题。^[4]

设线段 长为 ，能否作线段 ，使得边长为 长度的正方形的面积是边长为 长度的正方形面积的两倍？答案是肯定的。首先作一个以 为边、面积为 的正方形（图 1.4）。我们的任务是作一条线段，使得它是面积为 的正方形的一条边。我们很容易就能找到这样一条线段 ：原正方形的对角线！如果对角线的长度是 ，那么根据勾股定理，我们有 ，解得 。因此，这条对角线就是面积为 的正方形的边。

图 1.4　以 为边的正方形的面积是以 为边的正方形面积的两倍

在倍立方问题中，我们并不是要作一个立方体，而是要作立方体的一条边。

倍立方。已知线段 ，用尺规作线段 ，使得边长为 长度的立方体的体积是边长为 长度的立方体体积的两倍（图 1.5）。

图 1.5　已知线段 ，能否作线段 ，使得 ？

昔兰尼的埃拉托斯特尼（约公元前 276—公元前 195 或 194）是亚历山大港的图书馆员。他是一位博学家，在文学、哲学和科学领域都有所成就。“埃拉托斯特尼筛”是一种寻找质数的方法，所有学童都会学习这一方法。他在大约公元前 240 年写给托勒密三世的一封信中提到了有关倍立方问题的两个传说：^[5]

据说是古代的一位悲剧诗人把（半虚构的克里特王）米诺斯和这个问题联系了起来。米诺斯为（他的儿子）格劳科斯建了一座墓穴。当听说这墓穴在每个方向都长 100 尺的时候，他说：“你们把皇居建得太小，它应该加倍宽广。赶快把每条边都延长一倍，但不要改变形状。”

显然，这位数学水平欠佳的诗人搞错了一件事：把立方体的每条边加倍会让它的体积变为原来的八倍，而非两倍。希思评论这段诗“是某位无名诗人的作品，他在诗中展示的对数学的无知是使它臭名昭著并流传下来的唯一原因”。^[6]

在另一个传说中，雅典城瘟疫肆虐。绝望之下，雅典人派了一位代表求助于提洛岛上阿波罗的祭司。祭司提出，阿波罗的立方体祭坛必须要增大一倍才行。后来，士麦那的塞翁（活跃于公元 100 年）写道：^[7]

他们的工匠试图把一个几何体加倍成一个（类似的）几何体，结果陷入了困惑，于是他们求助于柏拉图，然后柏拉图说是祭司而不是神祇想要他的祭坛变大一倍。祭司给他们这个任务是为了羞辱古希腊人，因为他们忽视数学且轻视几何。

因为这一逸事，倍立方问题也被称为提洛岛问题。

一位作家把柏拉图（公元前 427—公元前 348 或 347）的答复比作冷战“先知”似的回答。这些人认为苏联发射斯普特尼克 1 号这件事刺激了美国加强科学教育，最终推动了太空竞赛。^[8] 自不用说，柏拉图是一位著名的、有影响力的哲学家。他是雅典城中柏拉图学院的创始人。柏拉图学院是西方第一所高等教育机构，诞生了许多杰出的校友。柏拉图不是数学家，但他大力推广数学。他相信每位哲学统治者都必须接受数学训练2。在学院的入口上方，有一句著名的话：“不习几何者不得入内。”人们常常说柏拉图不是数学的创造者，而是数学家的创造者。

2柏拉图以社会分工理论为基础，把政治统治权完全交给少数哲学家，他把现实国家的改造和理想国家实现的希望，完全寄托于真正的哲学家能够掌握国家最高权力。——译者注

然而，如果我们仔细研究时间线，就会发现这一传说站不住脚。希俄斯岛的希波克拉底（约公元前 470—约公元前 400）早在柏拉图可能与此问题有任何瓜葛的半世纪之前就在研究它了。有一种说法是，这一故事是学院为了自己的目的而捏造出来的。^[9] 它也有可能只是埃拉托斯特尼为了吸引人而创作出来的。^[10]

不过，亚伯拉罕·塞登伯格认为该传说（无论它是真的，还是部分是真的，抑或是全为编造的）相当重要，因为它揭示了几何的起源。它为宗教仪式是几何的古老源头这一说法提供了证据。“那些认为提洛岛祭司的故事只是逸事的说法并非有误，只是搞错了事情发生的顺序。也就是说，倍立方问题始于建造祭坛，并且一定有神学上的动机。当我们去掉了‘逸事’的部分，它也就成了纯粹的数学问题了。”^[11] 当我们讨论 的历史时还会再次提到这一说法：古印度人研究几何是为了建造祭坛——把两个方形祭坛合并成一个祭坛而不改变面积，或是建造一个和方形祭坛有着同样面积的圆形祭坛。

正如化圆为方问题可以简化为作长度为 的线段，倍立方问题也可以被简化成作一条线段。假设有线段 ，我们需要作线段 使得 。如果我们假定 为单位长度线段，那么 的长度就应该是 。因此，当且仅当能从长度为 1 的线段作出长度为 的线段时，我们才能解决倍立方问题。