基本法则的重要性

规则决定一切。如果没有规则，那么不可能也会变成可能。看看德·摩根和达德利遇到的化圆为方者和三等分角者就知道了！在数学中，公理和定义就是基本法则。它们包括在具体问题或者定理陈述中用到的假设，也包括那些使我们得以构建坚实数学证明的逻辑规则。如果我们忽略或者改变它们，就有可能完成先前被认为不可能的任务。

如果在我们的偶数例子中可以使用除法，就能从偶数获得奇数（14÷2=7 是一个奇数）。这样，不可能也成了可能。类似地，在给定规则下，劳埃德的 15 - 数字推盘游戏是无解的。但如果我们能把方块拿出来，然后重新组装，那它就是可解的。许多小孩子（和他们的家长）都曾用这种方法“复原”过魔方。数学中也存在这种类型的例子。欧几里得证明了三角形内角和是 180°。因此，不可能作一个内角和是其他数值的三角形。但是在 19 世纪，数学家们意识到，如果可以修改规则并且改变欧几里得的公设，他们就能创造出全新的、自洽的非欧几何体系。这些几何体系具有奇怪的表现。例如，三角形内角和可能不是 180°。在图 2.4 左图中，我们会看到球面上的一个三角形（三边均为大圆 5 上的弧）。这个三角形的三个角均为 90°，所以它的内角和是 270°，比 180°要大。在右图中，我们会看到一个马鞍形曲面上的三角形。这个三角形的内角和小于 180°。因此，如果改变规则，我们就能化不可能为可能。

5大圆指球上半径等于球半径的圆。——译者注

图 2.4　三角形内角和有可能大于（左）或小于（右）180°

这本书中的很多地方都将讨论，如果我们能改变规则会怎样——可能是使用额外的工具，也可能是舍弃一些工具，又或者是做一些完全不同的事情。然后我们将探究改变规则后又可以作什么图，尤其是，要解决古典问题需要做什么。

最后是一个警告：我们不能过分自信。我们确实可以肯定地说某事在数学上不可能，但是不能错误地认为这样的论证也适用于生活中的其他地方。1903 年 10 月 22 日，在莱特兄弟于北卡罗来纳州小鹰镇成功飞行还不到两个月前，约翰霍普金斯大学的数学教授西蒙·纽康（1835—1909）写了如下文字：^[11]

今天的数学家承认他们无法化圆为方、倍立方或者三等分角。类似地，我们的机械师们，会不会也最终被迫承认，在空中飞行也是人类永远无法解决的那一大类问题之一，并且不再尝试解决它？

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[1]　莎士比亚（1966，29 页）。

[2]　Merriam-Webster 网站（2017）。

[3]　在 10 瓶保龄球中，投出连续 12 次全倒（一次投球击倒全部 10 瓶）即可打出 300 分的完美回合。

[4]　1980 年，研究人员利用粒子加速器，把周期表上铅的下一位——铋变成了金（阿莱克莱特等，1981）。

[5]　德·拉瓦锡（1777）。

[6]　法灵顿（1900），马文（1996）。

[7]　1794 年，恩斯特·克拉德尼给出了陨石起源的第一个正确描述。但这一学说当时被强烈抵制，并且必须要和许多其他学说互相竞争（马文，1996）。说服怀疑该学说的人花了 10 年，而完全探明陨石的起源则又花了超过 150 年。

[8]　准确来说，我们必须证明一个整数不能既是偶数又是奇数。如果存在整数 ，使得 ，那么 是奇数。现在，为了推出矛盾，假设存在一个数 ，它既是偶数又是奇数，那么就存在整数 和 ，使得 并且 。所以 ，而这意味着 。因此 2 是 1 的因数，而这和我们所知矛盾。

[9]　萨姆·劳埃德被认为发明了 15 - 数字推盘游戏，直到去世前，他都坚持自己才是发明者。但最近的研究成果表明，这一游戏是由诺耶斯·帕尔默·查普曼在 1874 年发明的（斯洛科姆和索内维尔德，2006）。

[10] 约翰逊和斯托里（1879）。

[11] 纽康（1903）。