数学上不可能

某事在数学上不可能是指什么呢？我们又如何证明它不可能呢？

让我们来看看不可能性定理的一个简单例子。这个例子是有关偶数的，比如 0、8、- 102 等。我们都知道偶数是什么，但为了在数学中运用偶数，我们必须清楚明白地定义它们：如果存在整数 ，使得 ，则 是偶数。因为 0 = 2·0，8 = 2·4，-102 = 2(-51)，所以它们都是偶数。

我们可以用这个定义和整数的性质来证明一个我们都知道的定理：两个偶数的和不可能为奇数。证明如下：设 和 是偶数，则存在整数 和 ，使得 ，。那么 。因为整数的和还是整数，所以 是整数。因此 是偶数。一个整数不可能既是偶数又是奇数，所以我们的不可能性定理得证。^[8]

我们从这个例子中能学到几件事。正如存在无穷多偶数一样，用尺规可以作无穷多的图形。我们不必检查所有可能的和来证明上述定理，只需要整数和偶数的一般性质来证明它。同样，可以用直线和圆的一般性质来证明我们的不可能性定理。

此外，如果我们只有偶数，那么它们的和也总是偶数。无论用什么顺序，加了多少个偶数，我们永远也不会“离开”偶数的集合并得到一个奇数。我们的和不会是 257 或者 1301，这不可能。我们将会看到，这和第 1章提到的可作图数的集合类似；如果对可作图数进行特定的算术运算，我们只会得到其他可作图数。

偶数相加的例子可能看起来太简单了（尽管并非如此），并且可能有点儿牵强。因此，我们现在要来看一个更有趣一点儿的不可能性的例子。这次，我们的证明还是关于奇数和偶数的集合的。