三等分角

三等分角问题陈述起来很简单，但也很容易被误解。很多业余数学家、数学爱好者和科妄误认为它可以被解决，并且相信自己已经成功了。

三等分角：已知 ，用尺规作点 ，使得 。

令人迷惑的地方在于，我们的目标是三等分任意角，但是有些角确实能被三等分。我们在图 1.1 中作了一个直角，所以 270°角能被三等分。我们能作等边三角形，而等边三角形的角都是 60°，所以我们能三等分 180°角。同理，我们也能三等分 90°角和 45°角。事实上，我们还能三等分无穷多的角。但是对于这之中的每个角，我们的作法都是不同的。不存在一个能三等分任意角的通用方法，但二等分角的通用作法却是存在的。

运用与正多边形问题中类似的分析方法，我们可以得出，如果已知一条长为 1 的线段，那么当且仅当可以作长度为 的线段时，我们才能三等分角 。

能够证明这些问题不可解，这件事乍一看可能让人无法理解。但是若我们用数学的眼光来考察这些问题，就能看到需要关注的东西了。某图形是否可作图可以被简化为特定长度的线段是否可作图。在本书的后面，我们还会介绍可作图数的集合 3。我们将会看到，图 1.8 中的四个数，也就是 、、（对于特定 ）以及 （对于特定 ），均不在这个集合中。

3英文为“constructible number”，指可以用尺规作图作出的实数。也可译为规矩数。——译者注

图 1.8　为了解决古典问题，我们必须用尺规，从长度为 1 的线段出发，来作出有图中这些长度的线段

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[1]　《圣经》里的这句话（《但以理书》12:4）也是弗朗西斯·培根《新工具论》的卷首插图中出现的铭文。插图描绘了一艘船穿过曾被认为是知识边界的“海格力斯之柱”4。

4在西方经典中，海格力斯之柱是形容直布罗陀海峡两岸边耸立的海岬的短语。它表示这里是离开已被探明的地中海进入大西洋的出口。——译者注

[2]　阿里斯托芬（2000，155 页）。参见希思（1921a，220-221 页）的解释。

[3]　转引自维克（1922，140-141 页）。

[4]　柏拉图在《美诺篇》（82b - 85b）中提到了倍立方问题。他描述了苏格拉底和美诺的一个奴隶男孩之间的对话。苏格拉底问这位男孩，如何求得面积为 2 乘 2 的正方形面积两倍的正方形的边长。男孩一开始说是 4。但苏格拉底指出那样的正方形面积是 16，而不是 8。随后男孩提出答案是 3。当苏格拉底指出这答案依然不正确时，男孩就不再猜了。苏格拉底最后向男孩展示，圆正方形的对角线就是所要求的线段。

[5]　关于欧托修斯对阿基米德《论球与圆柱》的评价中这封信是否真实，尚存争议。参见克诺尔（1993，17-24 页）以及希思（1921a，244-245 页）。这段摘录出自塞登伯格（1961）。

[6]　希思（1921a，245 页）。克诺尔（1993，23 页）给出了一种翻译，其中没那么容易看出错误。这首诗可能想说把每条边——而不是体积——延长一倍。克诺尔写道：“显然，埃拉托斯特尼因为想要找到对这个问题感兴趣的先例，而误解了这段话。”

[7]　转引自希思（1921a，245-246 页）。

[8]　卡扎里诺夫（1970，28 页）。

[9]　这段论述可以在克诺尔（1993，22-23 页）中找到。

[10] 士麦那的塞翁提到，这个故事出现在埃拉托斯特尼的《柏拉图哲学》中。这是范德瓦尔登在范德瓦尔登（1954，161 页）中的结论。

[11] 塞登伯格（1961）。另见塞登伯格（1981）。