1.2　基于网格的方法

数值计算方法通常可以分为两种:基于网格的方法和无网格方法。通常对于物理控制方程的描述有两种基本方法:欧拉描述法和拉格朗日描述法。欧拉描述法是对空间的描述方法,其典型代表是有限差分法;拉格朗日描述法是对物质点的描述方法,其典型代表是有限元法。欧拉描述和拉格朗日描述对应着两种不同的区域离散化网格:欧拉网格和拉格朗日网格。针对不同类型的问题,这两种网格在数值方法中都得到广泛应用。

1.2.1　拉格朗日网格

基于拉格朗日网格的数值方法在整个计算过程中网格是固定或附着于物质上的,网格会随着物质的运动而运动,所以在物质点上的所有场变量的整个时间历程都可以很容易地追踪,常见的方法如有限元法等。

基于拉格朗日网格方法的优点是:由于在相关的偏微分方程里不存在迁移项,所以程序在方案设计上会变得相对简单,而且运行较快;由于只需在问题域内布置网格,问题域外不需要布置,所以计算效率很高;不规则或者复杂的几何形状可以用不规则的网格来处理。由于具有以上这些优点,拉格朗日方法得到广泛的应用,并且能成功地求解计算固体力学问题。

然而,基于拉格朗日网格的方法难以应用于具有极大网格变形的情况,因为其公式的形式是以网格为基础的,当网格变形太大的时候,公式的精度和求解都会受到很大的影响。另外,由于时间步长是由最小单元尺寸所控制的,若网格太小就会影响计算的效率,甚至会导致计算失败。

1.2.2　欧拉网格

相对于拉格朗日网格,欧拉网格刚好相反,它是固定在模拟对象所处的空间上的,模拟对象在固定网格单元上运动。因此,在物质流过网格时,所有网格节点和网格单元依然固定在空间上而且不会随时间的改变而改变。通过模拟质量、动量和能量经过网格单元边界的通量,可以计算质量、速度和能量等的分布。在整个计算过程中网格单元的形状和体积都保持不变^[1]。

由于欧拉网格在时间和空间上都是固定的,物体的大变形不会引起网格本身的任何变化,所以在以物质流动为主体的计算流体力学的领域里,较为广泛应用的是欧拉法。

但是,欧拉法仍然有很多缺点。由于欧拉法不能用固定网格来追踪物质的运动,所以很难分析物质上固定点的场变量的变化情况而只能得到空间上固定的欧拉网格的场变量的变化情况;由于欧拉法追踪的是流过网格单元边界的质量、动量和能量的通量,所以自由表面、变形边界和运动物质交界面的位置就很难精确确定;由于欧拉法需要在整个计算区域上都覆盖网格,所以有时为了提高计算效率而使用较粗糙的网格,这样就会降低离散化区域的求解精度。

1.2.3　基于网格的数值方法的局限性

传统的基于网格的数值方法如有限差分法和有限元法已经广泛地应用于计算流体力学和计算固体力学的各个领域中,是现在进行区域离散化和数值离散化模拟的主要方法。但是基于网格的数值方法在很多方面仍存在不足之处,比如在计算流体动力学中的大变形、运动物质交界面、自由表面等问题时,由于网格产生畸变导致计算误差过大或无法进行计算,使其在许多问题的应用上受到限制。

在基于网格的数值方法中,数值模拟的先决条件就是在问题域生成网格。对于基于欧拉网格的方法,在固定的欧拉网格上要精确确定自由表面、变形边界、运动交界面和不均匀物质之间的位置是一项非常困难的工作。而且欧拉方法也不适用于研究如粒子流动这类问题,即需要在固定的物质体内监控材料特性的问题。对于拉格朗日网格法如有限元法,进行模拟前必须要在研究对象上建立网格,这项操作常常占用很大的计算工作量。当所研究对象是一系列离散的物质点时,同样不适合使用基于网格的方法,用连续的基于网格的方法对这些离散系统进行模拟通常不是好的选择。

在计算大变形问题时,比如高速碰撞、金属加工成型、动态裂纹扩展、流固耦合和应变局部化等,基于网格的方法遇到的困难更大。原因是发生大变形时,网格畸变过大,使得计算中断,有限元方法通常采用单元“消蚀”法或网格重分技术来克服这种困难。但是单元“消蚀”法本身缺乏物理依据,纯粹是为了使计算进行下去的一种数值手段。而网格重分技术在节点重新分配物理量时,很难保证系统动量、能量守恒,因而导致计算的精度下降。此外,网格重分技术不是很容易实现,为了更好地解决大变形问题,必须对网格有新的处理方法或去除网格,所以各种无网格方法相继被提出来。