1.1　数值仿真

1.1.1　数值仿真的作用

在科学研究和工程应用中,复杂的问题一般通过理论分析、做实验或者用计算机进行数值仿真来解决。理论分析方法往往要求将问题简化成特殊情况,采用数学推演的方式求解控制方程,才能得出解析解。对于非线性情况,只有少数问题能得到解析解,所以理论分析方法的使用范围受到了很大限制。虽然实验方法得到的结果非常真实,但是实验通常要受到各种客观条件的影响,比如人力、物力和财力等。因此,实验方法也只能适用一些简单问题的研究,而对很多复杂的系统工程问题很难予以解决,无法满足工程实际问题的需要。

数值仿真方法则克服了前面两种方法的弱点,它将实际问题转换为数学描述下的离散形式,使用计算机重新构造和求解问题,再根据分析人员的需求客观地揭示现象。这种数值方法借助不断发展的计算机能力,从初始问题的所有细节开始,不需要对求解的问题做太多的假设,优于在假设和近似基础上进行理论构造的方法。数值仿真为科学研究提供了一个变通的工具,可以代替在实验室或者工地进行的昂贵、费时甚至危险的实验。对于不能通过直接计算、观察或者其他方法获得的比较具体而且完整的信息,数值计算比传统的实验方法更加实用。

数值仿真作为实验验证和理论分析之间的桥梁,随着计算机软硬件的发展,在科学研究中的作用越来越重要,已经逐渐成为解决复杂问题的一种重要的手段,数值仿真和理论分析、实验之间的联系如图1⁃1所示。

图1⁃1　数值仿真、理论分析和实验之间的联系

1.1.2　数值仿真一般求解过程

数值仿真方法首先将复杂物理现象进行分析,提取其中重要的物理特性进行一些可行的简化和假设,然后建立起数学模型,这些数学模型一般是用具有边界条件的控制方程来描述。这些方程包括连续方程、动量方程、能量方程、本构方程、状态方程等,然后把连续的微分方程组离散,最后通过计算机求解离散方程组获得问题的近似解。数值仿真的一般求解过程如图1⁃2所示。

图1⁃2　数值仿真的一般求解过程

对控制方程进行数值求解,必须将问题域的几何结构进行离散化,对问题域进行离散化的方法因数值方法的不同而各不相同。区域离散化将连续的问题域离散化为有限数量的单元,数值近似的精度取决于所划分单元的大小和形状;数值离散化以函数近似理论为基础,将控制方程的积分或者导数运算的连续形式转换为离散化形式。在区域离散化和数值离散化后,初始的物理方程被转换为一系列可用现有的数值方法进行求解的代数方程或常微分方程。

在流体力学问题的数值仿真过程中,控制方程一般通过三个守恒定律来建立。由三个基本守恒定律、边界条件、材料特性和初始状态可以完全地确定流体的行为特性。这些物理定律可以通过一些基本的数学方程也就是控制方程来表示,一般情况下控制方程为偏微分方程。为了得到控制方程或者偏微分方程的解,先将积分或微分方程中的积分或微分操作离散化,通常是离散为简单的代数求和形式,然后用离散化的表达式在空间上近似积分或微分方程中的相应部分。这种近似将得到一系列代数方程或者仅仅与时间导数相关的常微分方程,通过求解这一系列方程组可以得到离散点在时间或者空间上场函数的数值,如密度、压力、速度等。典型的CFD(计算流体动力学)问题的数值仿真包括以下因素:

① 由质量、动量、能量方程组成的控制方程;

② 合适的边界条件或初始条件;

③ 数值离散化方式;

④ 求解代数方程或常微分方程的数值方法。