1.1.3　李代数

代数是一个基于K之上的代数结构（A，+，×，·），如果：①（A，+，·）是K上的一个向量空间；②A×A→A的乘法规则×是左右分配的+；③对于所有的α，βK和全部的x，yA，αx×β·y以及（αβ）·（x×y）。值得注意的是，一般情况下代数是不满足交换律（x×y≠y×x）和结合律（（x×y）×z≠x×（y×z））的。李代数（G，+，[]，·）是不满足交换律和结合律的，其中，乘法用所谓的李括号表示。可得：①[·，·]是双线性的，即对每个变量都是线性的；②[x，y]=-[y，x]（反对称性）；③[x，[y，z]]+[y，[z，x]]+[z，[x，y]]=0（雅可比关系式）。

对于李群，可以定义其相关的李代数。通过李代数，便可以考虑给定元素（即旋转矩阵）周围的无穷小运动，以便使用导数或微分方法。

考虑到SO（n）的旋转矩阵I对应于单位矩阵，如果通过增加一个小矩阵R^n×n的A·dt来移动I，通常不会获得一个旋转矩阵。对于矩阵A而言，I+A·dt 2 SO（n），由此可得：

因此，A是斜对称的。这意味着，我们可以通过增加一个不是SO（n）元素的无限小的斜对称矩阵A·dt，在SO（n）中的I周围移动。这对应于SO（n）中的一个新运算，该运算并不是之前所做过的乘法运算。形式上，将与SO（n）相关联的李代数定义如下：

其对应于斜对称矩阵R^n×n。

如果想要在SO（n）内的任意矩阵R周围移动，则需生成一个绕I的旋转矩阵并将其传递给R。可得R（I+A·dt），其中A是斜对称的，这意味着将矩阵R·A·dt加到R上。

在机器人学中，李群通常用来描述变换（如平移或旋转），李代数对应于速度或等价于无穷小的变换。李群理论是很有用的，但需要一些超出了本书知识范畴的重要的数学背景。我们将尝试聚焦于SO（3），或使用一些更为经典的方法，诸如欧拉角和旋转向量等，这些方法可能不常见，但是足以实现控制的目的。