2.2　引例

在给出反馈线性化的原理之前，考虑一个引例。如图2.1所示单摆，该系统的输入为施加于单摆上的力矩u。

图2.1　状态向量为x=（x₁，x₂）的单摆

假设其状态表达式为：

当然，这是一个归一化的模型，即将其系数（质量、重力以及长度）设定为1。欲使单摆的位置x₁（t）与一些随时间变化的期望位置w（t）相同。通过利用一个反馈线性化方法（稍后会详述），可得到一个状态反馈控制器以使误差e=w-x₁在exp（-t）（即设定极点为-1）处趋近于0。在此对y求导，直到出现单独u为止，即

可选择：

其中，v对应于新的所谓的中间输入，从而我们可以得到：

由于这样的一个反馈能将非线性系统转化为线性系统，因此将其称为反馈线性化。可用标准的线性方法对通过此方法得到的系统进行稳定。举例说明，一个比例–微分控制器为：

将该表达式代入式（2.5）中，可得：

则有：

式中，e=w-x₁为单摆的位置与其期望点之间的误差。控制器的完整表达式为：

一旦通过该瞬态，如果想要实现单摆的角度x₁等于sin t，只需令w（t）=sin t。那么，，。因此，该控制器如下式所示：

在这个简单的例子中可以看出，期望的控制器是非线性的且依赖于时间，而且并没有利用线性化的近似计算。当然，为了使系统线性化，在第一次反馈时就已完成了线性化，但该线性化并没有引入任何近似计算。