1.2　欧拉角

1.2.1　定义

在相关文献中，1770年欧拉为了表示空间内刚体的方向，提出了一些没有明确定义的角度。在此主要区别橫滚—偏航—橫滚、橫滚—俯仰—橫滚以及橫滚—俯仰—偏航三种表达。因为要将其施加于移动机器人语言中，所以后文将对其进行选择。在橫滚—俯仰—偏航规划中，欧拉角有时被称为卡尔丹角。R³内的任意旋转矩阵可以用以下三个矩阵内积的形式来表示：

其合并形式为：

角度φ，θ，ψ就是欧拉角，并将其分别称为自转角、章动角和进动角。而橫滚角、俯仰角和偏航角则是一组常用术语，并分别对应于自转角、章动角和进动角。

万向节死锁。当（即cosθ=0），可得：

因此：

这对应于一个奇异点，即当时，便无法用欧拉角在旋转矩阵SO（3）的流形上实现全方位移动。这意味着一些轨迹R（t）便不能跟随欧拉角。

欧拉角的旋转矩阵。给定某一旋转矩阵R，可根据式（1.9）很容易解出这三个欧拉角，其公式如下：

通过限定其取值范围，ψ[-π，π]，可得：

此时，atan2是二变量的反正切函数，可由下式定义：