1.1.7　坐标系变换

令R₀：（o₀，i₀，j₀，k₀）和R₁：（o₁，i₁，j₁，k₁）为两个坐标系，u为R³内的一个向量（见图1.3），则有如下关系：

式中，（x₀，y₀，z₀）和（x₁，y₁，z₁）分别为坐标系R₀和R₁中u的坐标。

那么，对于任意向量v，均有：

分别取v=i₀，j₀，k₀，可得如下三个关系式：

图1.3　从坐标系R₀到R₁的变换

然而，由于R₀的基（i₀，j₀，k₀）是标准正交的，且〈i₀，i₀〉=〈j₀，j₀〉=〈k₀，k₀〉=1以及〈i₀，j₀〉=〈j₀，k₀〉=〈i₀，k₀〉=0，因此可将上述三个关系式转化为：

或用矩阵形式表示为：

从上式可以看出，存在一个旋转矩阵，表示在绝对坐标系R₀中时，其列的坐标为i₁，j₁，k₁。有：

该矩阵是随时间变化的，并将坐标系R₁和R₀关联起来。由于中包含这两个坐标系的基向量的方向余弦，因此通常将其称为方向余弦矩阵。同样地，如果有多个坐标系R₀，R₁，…，R_n（见图1.4），则有：

航位推测法。例如，考虑一个机器人在3D环境中移动的情况。引入R₀：（o₀，i₀，j₀，k₀）作为其参考坐标系（比如，初始时刻该机器人的坐标系）。用坐标系R₀中的向量p（t）表示机器人的位置，用旋转矩阵R（t）表示其姿态（即其方向）。该旋转矩阵R（t）代表在t时刻，R₀中所表示机器人的坐标系R₁中向量i₁，j₁，k₁的坐标，由此可得：

图1.4　坐标系变换图

该矩阵可通过一个安装在机器人上的精确姿态单元得到。如果该机器人也装备有一个多普勒计程仪（DVL），它可为机器人返回一个表示在坐标系R₁中的，相对于地面或者海底的速度向量v_r，那么该机器人的速度向量v满足：

即

航位推测法便是由R（t）和v_r（t）合并而来的该状态方程组成。