1.1.6　罗德里格斯旋转公式

矩阵指数。给定一个n维方阵M，其指数可以定义为：

式中，I_n为n维单位矩阵。而e^M和M是同维的。在此有一些关于矩阵指数的重要性质。如果0_n是n×n的零矩阵，且M和N为两个n×n的矩阵，则：

矩阵对数。给定一个矩阵M，如果e^L=M，则称矩阵L是M的矩阵对数。对复数而言，其指数函数并不是一对一的方程，矩阵可能有多个指数。利用幂级数，可将方阵的对数定义为：

当M趋于单位矩阵时，其和是收敛的。

罗德里格斯公式。R↔（n,α）在某一旋转矩阵R中，会存在一个由单位向量n表示的轴和相对于该轴的角α，通过单位向量n和角度α亦可生成该矩阵R。该关系R↔（n,α）可由如下罗德里格斯公式得到：

第一个公式（i）可见习题1.4，公式（ii）是公式（i）的倒数。在这些公式中，符号αn^表示矩阵Ad（αn），见习题1.4。R=e^αn^是一旋转矩阵，n是一个与R的特征值1相关联的特征向量。

旋转矩阵的轴和角。给定某一旋转矩阵R，其轴可用特征值λ=1的归一化特征向量n表示（可以找到其中两个，但在此只需其中一个）。在此，可利用式αn=logR去计算α和n，如果R趋于单位矩阵，则该式计算效果很好。一般情况下，更适合使用以下定理：

定理：给定某一旋转矩阵R，则有R=e^αn^，其中：

证明：取一旋转矩阵R，其特征值为1，λ₁，λ₂，特征向量为n，v₁，v₂，考虑该广义多项式f（x）=x-x^-1，其中x是不确定的。根据特征值/向量的对应定理，f（R）=R-R^-1=R-R^T的特征值为f（1）=0，f（λ₂），f（λ₃），但其特征向量仍为n，v₁，v₂。由于f（R）是斜对称的，且f（R）·n=0，则有f（R）∝Adn。因此，向量Ad^-1（R-R^T）为矩阵R的与特征值1相对应的特征向量。R的轴便由其给出。利用矩阵的迹是相似不变的性质便可得到角度α，即对于任何可逆矩阵P，有tr（R）=tr（P^-1·R·P）。以P为旋转矩阵，使R绕第一轴旋转。可得：

该式给出了旋转角度。习题1.5从几何上证明了该定理。