3.4　平滑状态转换回归模型

3.4.1　标准平滑状态转换回归模型

平滑状态转换回归（STR）模型是与状态转换回归模型相联系的，也是一种非线性回归模型。具有可观测的状态转换变量的两机制状态转换回归模型是标准STR模型的一种特殊情况，但是包含两机制以上的状态转换回归模型并没有嵌套在标准的状态转换回归模型当中。相应地，作为一种特殊情形，单变量平滑转换自回归模型包含两机制门限自回归模型。实际上，在Bacon和Watts（1971）的著作中提到，平滑状态转换自回归模型起源于一种状态转换回归模型的推广形式。作者考察了两条回归线，并设计在这两个回归线之间进行平滑转换的模型。在计量经济学文献中，Goldfled和Quandt（1972，pp.263-64）独立地提出了STR模型，作为式（3-5）的SR模型估计问题的解决方法。在这个模型中，似然函数具有不连续性，因为I（st≤c1）是一种阶梯函数（注意，c1是一个需要估计的参数）。作者提出把阶梯函数用如下正态分布N（c1,τ2）变量的累积分布函数进行替换。

同时，假定，这就建立起了STR模型。Maddala（1997，p.396）推荐用逻辑（logistic）函数替代式（3-13），这已成为现行标准。比如，可参阅Teräsvirta（1998）的文献。Bacon和Watts（1971）采用了与正态累积分布函数和逻辑函数都很接近的双曲正切函数。因此，可把STR函数定义为

yt=ϕ′zt+Ψ′ztG（γ,c,st）+εt={ϕ+ΨG（γ,c,st）}′zt+εt,t=1,…,T

（3-14）

其中，在前一节已对zt进行了定义，ϕ=（ϕ0,ϕ1,…,ϕm）′与Ψ＝（ψ0,ψ1,…,ψm）′是参数向量，c=（c1,…，cK）′是位置参数向量，c1≤…≤cK,εt～iid（0,σ2）。此外，转换函数G（γ,c,st）是st的有界函数，在参数空间处连续。式（3-14）中最后的表达式表示这个模型可以被解释为一个有随机时变系数ϕ+ψG（γ,c,st）的线性模型。逻辑转换函数的一般形式的表达式为

其中，γ>0是识别约束条件。式（3-14）和式（3-15）共同定义逻辑STR（LSTR）函数。对K最常见的选择是，K=1和K=2。对于K=1，函数st的系数向量ϕ+ψG（γ,c1,st）从ϕ到ϕ+ψ单调递增。对于K=2，逻辑函数可以取得它的最小值，系数向量围绕中间值（c1+c2）/2发生对称变化。最小值处于0和1/2之间。当γ→∞时，达到0；当c1=c2，γ<∞时，达到1/2。斜率参数γ控制斜率，c1和c2控制转换函数的位置。

具有K=1的LSTR函数（LSTR1模型）能够描述非对称行为的特征。例如，假设st可以测度商业周期的阶段。然后，一方面，LSTR1模型可以描述在扩张时期和衰退时期具有不同动态属性的过程，从一极端机制到另一极端机制的转换函数是平滑的。另一方面，在st的较大值和较小值处，动态行为相似，而在st的中间位置，动态行为不同，在这种情况下，LSTR2模型是合适的。

当γ=0时，转换函数G（γ,c,st）≡1/2，所以STR模型式（3-14）嵌套着线性模型。在另一端，当γ→∞时，LSTR1模型接近于具有两机制和的SR模型。对于LSTR2模型，当γ→∞时，近似结果是具有三机制的SR模型，使得在首尾两端的两机制中模型相同，而处于中间的机制时，模型表现不同于其他两机制。应该提出的是，存在LSTR2的替代模型，就是所谓的指数STR（ESTR）模型。它通过式（3-14）和具有如下的转换函数给出

GE（γ,c,st）=1-exp{-γ（st-c）2},γ>0

（3-16）

这个函数在st=c附近对称，且具有相似的形状，尽管当式（3-15）在斜率参数γ的低端和中间位置，该函数具有不同的最小值（0）。因为它包含一个小于LSTR2模型中的参数，所以可以被当作相应的逻辑转换函数的有用的替代。然而，这个模型有一个缺点。当γ→∞，由于在st=c和两者相等的任何位置，转换函数等于0，式（3-14）和式（3-16）实际上变成了线性的。因此，当后者γ更大，且同时c2-c1不小时，ESTR模型并不是对LSTR2模型的好的近似。

在实际当中，转换变量st是一个随机变量，而且通常是zt的一个元素。它也可以是若干变量的线性组合。在一些情况下，它可以是差分zit-zi,t-1，对单变量的例子，可参阅Skalin和Teräsvirta（2002）的文献。这一模型与动量TAR模型的平滑状态转换相对应。当st=t时，该特殊情形将产生包含确定变化参数的线性模型。除了其他方面，这个模型在参数稳定性检验中起着重要作用，可参阅第6.3节的讨论。通常把这种类型的单变量模型称为时变自回归（TV-AR）模型。

在式（3-14）中，当zt=wt=（1,yt-1,…,yt-p）′，且st=yt-d或者st=Δyt-d，d>0时，STR模型成为单变量平滑转换自回归模型（STAR）。在时间序列文献中，Chan和Tong（1986）提出了逻辑STAR（LSTAR）模型。然而，他们选择的转换函数是式（3-13）所表述的累积分布函数。指数STAR（ESTAR）模型已经在Haggan和Ozaki（1981）中出现过。后来，Teräsvirta（1994）定义了包括LSTAR和ESTAR模型在内的STAR模型族，并且设计了数据导向的建模方法，这种方法的目的在于，除了其他方面，帮助使用者在这两种可替代方法中进行合理的选择。STR模型可以通过最大似然法进行估计，并且在标准正则性条件下，最大似然估计量是一致的，并且是渐近正态的。当需要估计的斜率参数γ较大时，数值问题可能出现。这部分将在第16.3节讨论。STR或STAR模型的构建将在第16.3节讨论。

3.4.2　加法、多重的时变STR模型

式（3-14）的标准STR模型可在很多方面进行推广，其中一种可以通过增加非线性部分而变成加法STR模型。这一模型可能具有以下形式的表达式

Van Dijk和Franses（1999）在满足zt=wt，sjt=yt-d,j=2,…,n的条件下提出了该模型。请注意，把所有的转换函数限制为相同的转换变量，将会引致整体的未识别的模型，因此，为了对模型进行识别，很有必要对参数施加约束条件。至于n=3且没有把转换变量限制为可识别的情形，在对估计的STR模型的附加非线性进行检验时，式（3-17）作为备择模型，可参阅第16.3节。

Van Dijk和Franses（1999）也提出了另一种STAR模型，将其称之为多重机制STAR（MRSTAR）模型。其定义的表达式为

yt=ϕ′0wt+ϕ′1wtG（γ1,c1,s1t）+ϕ′2wtG（γ2,c2,s2t）+ϕ′12wtG（γ1,c1,s1t）G（γ2,c2,s2t）+εt

（3-18）

由于需要对存在于商业周期中非线性进行细致入微的研究，所以，MRSTAR模型应运而生。即使标准STAR模型有两个极端机制，在这种情形下，这两个机制分别为扩张期和衰退期，可把式（3-18）视为在两个极端机制的基础上增加了一个机制，即“温和增长”时期。多机制STR模型可以按相似的方式定义。当γ1,γ2→∞，式（3-18）就成为一种在第3.2节讨论过的2×2机制的MSR模型。对于基本STR或STAR模型的另一扩展，可参阅Öcal和Osborn（2000）的相关成果。

MRSTAR的一种重要特殊模型是在式（3-18）中s2t=t的模型。这个模型称为时变STAR（TV-STAR）模型，可参阅Lundbergh、Teräsvirta和van Dijk（2003）的相关论述。在该模型中，嵌套着标准STAR模型和时变自回归模型，当γ2=0时，为标准STAR模型；当γ1=0时，为时变自回归模型。因此，事实上，可以运用该模型对时间序列中明显的非线性是否能够仅仅归因于时变参数进行研究，这是在最新的文献中经常提到的话题，可参阅Potter和Koop（2001）对这方面的讨论。Van Dijk、Strikholm和Teräsvirta（2003）以及Teräsvirta、Strikholm和Van Dijk（2003）研究国际工业生产季度序列的季节模式随时间发生变化的原因，采用了时变STAR（TV-STAR）模型。

3.4.3　向量平滑转换自回归模型

我们可以将平滑转换的思想推广到向量情形中。p阶逻辑向量STAR（LVSTAR）模型可以表述为

其中，yt是m×1的向量，μ0和μ1是m×1的截距向量，Φj和ψj，j=1,…,p，都是m×m的参数矩阵，并且

G（γ,c;st）=diag{G1（γ1,c1,s1t）,…,Gm（γm,cm,smt）}

（3-20）

是类似于式（3-15）转换函数m×m的对角矩阵。此外，εt～iid N（0,Σ），Σ>0。当Gj（γj,cj,sjt），j=1,…,m是标准逻辑函数，且式（3-15）中的K=1时，则当且仅当和, |z|≤1时，式（3-19）的模型是稳定的。

式（3-19）定义了十分一般化的LVSTAR模型。对此进行简化的方法之一是，对所有的方程式，假定转换变量和转换函数的参数都是一样的。在这种情况下，G（γ,c;st）=G（γ,c,st）Im。Rothman、van Dijk和Franses（2001）运用这个简化方式的LVSTAR，对美国货币总量和产出中非线性Granger因果关系的方向进行了研究。令sjt=t，j=1,…,m，可以得到LVSTAR模型，该模型定义了用LM类检验验证参数稳定性的备择模型，可参见第6.3.2节。Anderson和Vahid（1998）发展了LVSTAR模型的检验。Camacho（2004）用一个二元LVSTAR模型描述了美国实际国内生产总值和世界大企业联合会的领先指标综合指数的非线性关系。他们提出了一种用于对向量STAR模型建模的堪比单方程式STR模型的系统方法。单方程建模方法将在第16.3节讨论。