3.3　马尔可夫状态转换回归模型

可以用不可观察的离散随机变量θt替代式（3-4）中可观察的机制指示器st，θt包含r个不同的值{v1,…,vr}，且独立于εt。当假设σj=σ>0，j=1,…,r，可得到另一种状态转换回归模型。序列{θt}可以被假定为独立同分布变量的序列，或者遵循典型的一阶马尔可夫链，其转换（或者保持）概率为

pij=Pr{θt=vj|θt-1=vi},i, j=1,…,r

（3-10）

在遵循典型的一阶马尔可夫链的情形下，把这个模型称为马尔可夫状态转换（MS）或者隐马尔可夫回归模型，可以把模型写为

其中，εjt=σjεt，{εt}～iidN（0,1）。然而，由于我们经常假定σj=σ>0，j=1,…,r，所以，式（3-11）中的误差方差为常数。Lindgren（1978）对此模型以及该模型参数极大似然估计量的性质进行了讨论。然而，式（3-11）与式（3-10）中的思想至少可以追溯到Baum、Petrie、Soules和Weiss（1970）。例如，在经济学中，这个模型已经用于描述商业周期，在此情形下，潜在的变量可以代表周期的阶段。其他的运用包括利率行为，其中，θt的集合{v1,…, vr}可以显示经济政策机制。在经济运用中，通常r=2，有些情况下r=3，即便存在，r>3的情况也非常少见。机制的数量通常是通过先验的理论或信息进行选择，而不能通过数据来决定。在经济运用中，这是常见的现象，即使当隐含在模型背后的经济理论并没有规定机制的具体数量。

式（3-11）和式（3-10）构成的MS模型是线性动态回归模型的推广。类似地，也可把线性向量自回归模型扩展为马尔可夫状态转换（MS-VAR）模型。MS方程具有如下形式

理论上讲，误差协方差矩阵也可以随时间变化，但是这样的话，就有可能使模型太复杂，特别是在宏观经济运用中给定数据数量的情况下。至于更多的细节和MS-VAR模型的应用，可参阅Krolzig（1997）的文献。

在单变量情况下，式（3-11）中，zt=wt，Tyssedal和Tjøstheim（1998）称生成模型为突变自回归（SCAR）模型，并将它运用于描述股票价格变动。运用于日收益序列的另外一个演化为ϕ′jzt≡c的模型，j=1,…,r，因此，在这种情况下，只有单变量过程的方差是随时间而变化的。这个模型可以作为条件异方差性模型的一个替代，这将在第8章进行讨论。可以在Ryden、Teräsvirta和Asbrink（1998）找到该模型在标普500股票指数的日收益中的应用。他们讨论了由数据决定的机制数量的问题，并且基于序贯试验提出了该问题的一个解决方法。

然而，在宏观经济中，式（3-11）或者其单变量形式并不是最常用的马尔可夫状态转换模型。相反，根据Hamilton（1989）的发现，很多计量经济学家和应用宏观经济学家更喜欢以下的设定

其中，对于所有的i，j，μ（vi）≠u（vj）。从式（3-12）可以看出，参数化的灵活性是因为转换截距可以获得2p+1种不同的取值，而自回归系数为常数。应该注意的是，即使σj=σ>0，j=1,…,r，这个模型也没有嵌套在式（3-11）的MS模型里。

MS模型或者隐马尔可夫回归模型都仅仅是状态空间模型的一个小子集。状态空间模型将在第9章详细讲解。隐马尔可夫回归模型的解决方法将在第9.5节讨论，参数估计方法在第9.6.5节讲解。