2.2　保角变换理论简介

2.2.1　解析变换的保角性

设ω＝f（z）在区域D内解析且不恒为常数，则D的像G＝f（D）也是一个区域。

解析变换的保角性即为导数的意义，设ω＝f（z）在区域D内解析，z0∈D，在点z0有导数f′（z0）≠0，通过z0任意引一条光滑曲线C：z＝z（t）（to≤t≤t1）。

z0＝z（t0）则必z′（t0）存在z′（t0）≠0，则C在z0有切线，z′（t0）就是切向量，它的倾角为ψ＝argz′（t0），经过变换ω＝f（z），C的像曲线Γ＝f（C）的参数方程应为

Г在点ω＝ω（t0）的邻域内光滑。又由于ω′（t0）＝f′（t0）z′（t0）≠0，故Г在点ω0＝f（t0）也有切线，ω′（t0）就是切向量，其倾角为

即

假设

则必有

于是

且

如果假定x轴与u轴、y轴与v轴的正方向，而且将原曲线的切线正方向与变换后像曲线的切线方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则式（2.4）说明：像曲线Г在点ω0＝f（z0）的切线正向，可由原像曲线C在点z0的切线正向旋转一个角argf′（z0）得到。argf′（z0）只与z0有关，而与过z0的曲线C的选择无关，称为变换ω＝f（z0）在点z0的旋转角。这也就是导数辐角的几何意义。

式（2.5）说明：像点间的无穷小距离与原像点间的无穷小距离之比的极限是｜f′（z0）｜＝R，它仅与z0有关，而与过z0的曲线C的方向无关，称为变换ω＝f（z）在点z0的伸缩率。这也就是导数模的几何意义。

上面提到的旋转角与C的选择无关这个性质，称为旋转角不变性；伸缩率与C的方向无关的这个性质，称为伸缩不变性。

上述的讨论说明：解析函数在导数不为0的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性。

经点z0的两条曲线C1、C2的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角，今设Ci（i＝1，2）在点z0的切线倾角为ψi（i＝1，2）；C在变换ω＝f（z）下的像曲线Γi在点ω0＝f（z0）的切线倾角为Ψi（i＝1，2），则由式（2.4）可知：Ψ1－ψ1＝α及Ψ2－ψ2＝α。

即

所以

这里ψ1－ψ2是C1、C2在点z0的夹角（反时针方向为正），Ψ1－Ψ2＝α是Γ1和Γ2在像点ω0＝f（z0）的夹角（反时针方向为正）。由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持夹角的方向。

若函数ω＝f（z）在点z0的邻域内有定义，且在点z0具有：

（1）伸缩率不变性。

（2）过z0的任意两曲线的夹角在变换ω＝f（z）下，既保持大小，又保持方向。则称函数ω＝f（z）在点z0是保角的，或称ω＝f（z）在z0处是保角变换。如果ω＝f（z）在区域D内处处都是保角的，称为ω＝f（z）在区域D内是保角的，或称ω＝f（z）在区域D内是保角变换。

2.2.2　单叶解析变换的共形性

如果ω＝f（z）在区域D内是单叶且保角的，则称此变换ω＝f（z）在D内是共形的，也称它为D内的共形映射。

设ω＝f（z）在区域D内单叶解析，则

（1）ω＝f（z）将D共形映射成区域G＝f（D）。

（2）反函数z＝f－1（ω）在区域G内单叶解析，且

由此可见，如ω＝f（z）将区域D共形映射成区域G＝f（D），则其反函数z＝f－1（ω）将区域G共形映射成区域D。这时，区域D内的一个无穷小的三角形δ变换成区域G内的一个无穷小的曲边三角形Δ，由于保持了曲线间的夹角大小及方向，故δ与Δ“相似”。这就是共形映射这一名称的由来。

共形映射理论的基本任务是，给定一个区域D及另一个区域G，要求找出将D共形映射成G的函数f（z）以及唯一性条件。

2.2.3　多角形区域的共形映射

2.2.3.1　克里斯托菲尔－施瓦茨变换

定理：设

（1）Pn为有界的n角形，其顶点为A1，A2，…，An，其顶角为α1π，α2π，…，αnπ（0＜αj＜2，j＝1，2，…，n）。

（2）函数ω＝f（z）将上半平面Imz＞0共形映射成Pn。

（3）z平面实轴上对应于ω平面多角形Pn的顶点Aj的那些点aj：－∞＜a1＜a2＜…aj＜…an＜＋∞都是已知的。则

其中，z0、C和C1是3个复常数。

显然有

式（2.7）的逆变换z＝f－1（ω）将ω平面的单连通区域多角形Pn共形映射成标准区域上半z平面。

2.2.3.2　退化情形

克里斯托菲尔－施瓦茨定理的退化情形：首先，两直线在无穷远点的交角等于它们在第二交点（有限点）的交角反号。其次，2.2.3.1中定理的下列两个退化情形是有用的：

（1）n角形Pn有一个顶点是无穷远点的像，即a1，a2，…，an中有一个点例如an＝∞。如果n角形Pn的那些顶点中有一个顶点与无穷远点相应，则在式（2.7）中丢掉那个关于这个顶点的因子。

在实际应用上，可以利用条例（1）来简化克里斯托菲尔－施瓦茨积分。

（2）n角形Pn有一个或几个顶点在无穷远点（这时Pn称为广义多边形）。当多角形有几个顶点在无穷远处时，可以做同样的讨论。

因此，对于一个或几个顶点在无穷远处的多角形来说，克里斯托菲尔－施瓦茨积分公式仍然有效，只需把顶点在无穷远处的那两条直线间的角度用这两条直线在有限点处的交角反号代替。