2.1　保角变换理论发展概况

保角变换在工程问题中的应用研究最早就是在流体力学方面。在平面弹性理论中，关于基本边值问题和混合边值问题也有大量的研究结果。1952年在加利福尼亚大学专门召开了首届保角变换应用的国际会议。保角变换是数学中的古典问题之一。16世纪初，由于航海术的发达，遂有“Mercator投影”的出现，这些都是保角变换（保形映射）的萌芽。到了19世纪，Cauchy已经建立起近代解析函数理论的基础，引导出分析中的几何内容。但是，在保角变换的发展历史中，奠基性的工作是由Riemann完成的，这就是保角变换的Riemann定理。在Euler时代，流体力学的研究需要许多数学工具，复变函数就是其中的一部分。至于映射函数的存在性证明，在19世纪末，Neumann、Schwarz、Picard、Painleve都曾经作了严密的讨论和证明。但关于边界的对应，他们却未能深入。这个问题的完全解决，应归功于Poincare。以后Caratheodory彻底地解决了边界对应问题，才有了现今最为常见的Riemann定理的证明方法。Schwarz和Christoffel给出了任意的多边形内部和上半平面之间的变换方法。Schwarz自己又提出并且证明了在保角变换中十分重要的一条定理，通常叫作Schwarz引理。

通常可将保角变换的方法分为解析法和数值法。解析法的基础是黎曼定理，黎曼定理指出，任意一个边界多于一个点的单连通区域，总可用一个解析函数将其变换为单位圆盘。基于变分法的各种数值保角变换的基础是最小面积原理和最小周长原理。由于保角变换的数值方法在处理实际工程问题中具有独特的优势，因而科研工作者对其倾注了极大的心血，力图使其更加系统和完备。

保角变换理论在渗流方面的研究成果也很丰硕。例如，1980年周保中利用保角变换建立了无限深透水地基上不透水铺盖斜墙土坝的渗流计算模型；1987年师树范等利用保角变换理论推导出平面板地下水渗流的公式；同年，胡亚安等对理想缝隙流问题利用保角变换理论作了分析研究；1988年吴金全利用保角变换推导出椭圆断面河（渠）稳定渗流量的计算公式；1993年沙金煊应用保角变换求出渗流扬压力；1995年梁仲章等在重力坝坝基的渗流控制计算中应用保角变换理论进行分析；同年，王晓松对半无限深透水地基上闸底板的渗流场利用保角变换进行分析；2001年吕贤弼对越过截渗墙渗流自由面的问题进行求解。

以上的研究成果都非常值得借鉴，尤其是周保中利用保角变换建立的不透水铺盖斜墙土坝的渗流计算模型，虽然公式较为复杂，但基本能解决无限深透水坝基水平铺盖的渗流计算问题。