3.3 地基附加应力
地基附加应力是指由基底附加应力在地基中产生的应力，是引起地基变形与破坏的主要因素。计算地基附加应力时一般假定地基土是连续、均质、各向同性的半无限体，以便直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。
另外，在计算地基附加应力时通常将基础底面视为半无限体的表面，基底附加应力视为柔性荷载直接作用在该平面上。
3.3.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
法国学者布辛奈斯克（Boussinesq，1885）用弹性理论推出在弹性半空间表面上作用有竖向集中力P时，在弹性体内任意点M所引起的应力的解析解。如图3.11所示，以集中力P的作用点为坐标原点，以P的作用延长线为Z轴建立空间坐标系（OXYZ）， M（x，y，z）为半空间内的任意一点，M′（x，y，0）为M点在OXY平面的投影。
图3.11 一个竖向集中力作用引起的应力
（a） 半空间内任意点M；（b）M单元体
布辛奈斯克用弹性理论推导出M点的6个附加应力分量σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx和3个位移分量u、v、w的解答，其中竖向正应力和竖向位移为
式中：R为M 点至坐标原点O的距离，R=
；r为M′点至坐标原点O的距离；E、μ分别为土体的弹性模量和泊松比；β为OM与Z轴方向的夹角。
利用图3.11（a）中的几何关系R2=r2+z2，式（3.12）可改为
式中：α为集中力作用下的地基附加应力系数，无因次，是r/z的函数，可由表3.1查得。
表3.1 集中力作用下的竖向附加应力系数α
由式（3.14），可绘出如图3.12所示土中竖向附加应力沿水平面和铅直面的分布图，由此可知集中力作用下半无限地基中附加应力σz的分布规律：
（1）在距离地基表面不同深度z的各水平面上，集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小，距地基表面越深，水平面上附加应力的分布范围越广。
（2）同一铅直剖面上附加应力随深度而变化，在集中力作用线上σz随着深度增大而减小，其余各垂线σz随深度增大先由零逐渐增大然后又减小。
上述规律表明，集中力P在地基中引起的附加应力σz可向深部、向四周无限传播，在传播过程中应力的大小逐渐降低，此即应力扩散的概念。
图3.12 集中力作用下土中应力分布
图3.13 σz的等值线图
若在剖面图上将σz相同的点连接起来，可得到如图3.13所示的σz等值线图，由于其空间图形成泡状，所以也称为应力泡。
当地基表面作用有多个竖向集中力时，可根据叠加原理，认为地面下深度z处某点M的附加应力为各集中力单独作用时在M点引起的附加应力的总和，即
图3.14为两个集中力Pa、Pb作用的情况：距地表深度z平面处的附加应力分布线c由Pa、Pb单独作用下的附加应力分布线a、b叠加而得。
图3.14 两个集中力作用下σz的叠加
实际建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基，对于不同的基础形状和基础底面上的压力分布，均可利用上述集中荷载引起的附加应力的计算方法和应力叠加原理，计算地基中任意点的附加应力。
具体求解时根据应力形状的特征划分为空间问题和平面问题。
3.3.2 空间问题的附加应力计算
设基础长度为l，宽度为b，当l/b<10时，其地基附加应力计算问题属于空间问题。
图3.15 垂直均布荷载作用时角点下的附加应力
1.矩形基底面上均布垂直荷载
当竖向均布荷载p作用于矩形基底面时，以荷载面角点为坐标原点O，在荷载面内（x，y）处取一微单元dA=dxdy，其上作用的集中荷载为dp=pdxdy，则在矩形荷载面积角点O下任一深度z处M点由此集中力引起的附加应力可由式（3.12）确定为
将上式沿长度l和宽度b（l≥b）两个方向对整个荷载面A积分（图3.15）：
得
式中：αc为均布矩形荷载面角点下的竖向附加应力分布系数，无量纲，由式（3.18）计算，也可由m=l/b及n=z/b查表3.2。
对于均布矩形荷载作用下地基中任意点的附加应力可利用式（3.19）和应力叠加原理求得。此方法称为“角点法”，如图3.16所示。
图3.16 角点法的应用
（a）计算荷载面内一点；（b）计算荷载面边缘一点；
（c）计算荷载面外侧一点；（d）计算荷载面角点外侧一点
计算矩形荷载面内任一点o之下的附加应力时 ［图3.16（a）］，αc为
计算矩形荷载面边缘上一点o之下的附加应力时 ［图3.16（b）］，αc为
计算矩形荷载面外侧一点o之下的附加应力时 ［图3.16（c）］，αc为
其中Ⅰ为ofbg，Ⅲ为oecg。
计算矩形荷载面角点外侧一点o之下的附加应力时［图3.16（d）］，αc为
其中Ⅰ为ohce，Ⅱ为ogde，Ⅲ为ohbf。
图3.17 三角形分布荷载作用时角点下的附加应力
2.矩形基底面上三角形分布垂直荷载
矩形面积上作用的竖向荷载沿基础b边呈三角形分布，最大荷载强度为pt，如图3.17所示。取荷载零值边角点1为坐标原点O，在荷载面内（x，y）处取一微单元dA=dxdy，其上作用的集中荷载为
，则在矩形面积角点1下深度z处M 点由该集中荷载引起的附加应力dσz同样可由式 （3.12）确定，通过积分求得1点下任意深度处的附加应力σz为
式中：αt1为矩形面积垂直三角形荷载角点1下的附加应力分布系数，其值可由m=l/b、n=z/b、αt1=f（m，n）从表3.3查得。
同理，荷载最大值边的角点2下任意深度z处的附加应力σz为
式中：αt2为角点2下的附加应力分布系数，其值可由m=l/b、n=z/b从表3.3查得。
表3.2 矩形基底受垂直均布荷载作用角点下的竖向附加应力系数αc
表3.3 矩形基底受垂直三角形分布荷载作用角点下的竖向附加应力系数αt1和αt2
续表
3.圆形基底面上均布铅直荷载
如图3.18所示，设圆形基础底面半径为r0，其上作用有均布荷载p，若以圆形荷载面得中心点为坐标原点O，并在荷载面积上取微面积dA=rdθdr，以集中力pdA代替微面积上的分布荷载，则可用类似于求αc、αt的推导步骤，得出圆心O点下z深度处的附加应力计算公式为
图3.18 圆形面积作用均布荷载时中心点下的附加应力
式中：α0为圆心O点下附加应力系数，其值由z/r0决定，从表3.4查取。
同理，可确定圆形荷载周边下的附加应力
式中：αr为圆形荷载周边下的附加应力系数，其值由z/r0决定，由表3.4查取。
表3.4 均布圆形荷载中点及周边下的附加应力系数α0和αr
【例3.3】 某基础底面面积如图3.19（a）所示，l×b=2m×1m，其上作用均布荷载为p=200kPa。试求荷载面积上点A、E、O以及荷载面积外点F、G下z=1m深度处的附加应力，并根据计算结果分析附加应力分布规律。
解：
（1）A点下的应力。A点是矩形荷载面ABCD的角点，由
查表3.2得αc=0.1999，故
σzA=αcp=0.1999×200=40.0(kPa)
（2）E点下的应力。通过E点将矩形荷载面积分为两个相等矩形EADI和EBCI，矩形面EADI（或EBCI）的角点应力系数αc：m=1，n=1，查表3.2得αc=0.1752，故
σzE=2αcp=2×0.1752×200=0.35×200=70.1(kPa)
（3）O点下的应力。通过O点将原矩形荷载面分为4个相等矩形OEAJ、OJDI、OICK和OKBE，求矩形面OEAJ （或其中任一矩形）角点应力系数
，n
，查表3.2得αc=0.1202，故
σzo=4αcp=4×0.1202×200=0.48×200=96.2(kPa)
（4）F点下的应力。过F点作矩形FGAJ、FJDH、FGBK和FKCH。
设αcI为矩形FGAJ和FJDH的角点应力系数；αcII为矩形FGBK和FKCH的角点应力系数。
图3.19 ［例3.3］图
（a）矩形荷载面；（b）z=1m处附加应力分布；（c）沿深度附加应力分布
（5）G点下的应力。过G点作矩形GADH和GBCH，分别求出它们的角点应力系数αcⅠ和αcⅡ。
故 σzG=（αcⅠ-αcⅡ）p=（0.20165-0.1202）×200=0.0814×200=16.3（kPa）
将计算结果与若干补充结果绘于图3.19（b）、（c）中，表明了距离荷载越远、附加应力强度越低的应力扩散分布规律。
3.3.3 平面问题的附加应力计算
当一定宽度的无限长基底面积承受均布荷载时，在土中垂直于长度方向的任一截面附加应力分布规律完全相同，且在长边延伸方向地基的应变和位移均为0，这类问题称为平面问题。
对于平面问题，荷载沿宽度方向可有任意分布形式，但在沿长度方向不变，计算中只要算出任一截面上的附加应力，即可代表所有其他平行截面。
实际建筑中并没有无限长的荷载面积。研究表明，当基础的长度比l/b≥10时，计算的地基附加应力值与按l/b=∞时的解相差甚微。因此墙基、路基、坝基、挡土墙基础等均可按平面问题计算地基中的附加应力。
条形荷载面下附加应力的求解基于线荷载作用下的弹性解答。
1.线荷载
如图3.20所示在弹性半空间表面一无限长直线上作用有均布荷载p，在线荷载上取微分长度dy，将作用其上的荷载pdy看做集中力，在地基内M点引起的附加应力dσz按式（3.12）可得
则可用下列积分求得M点的附加应力σz为
该解答由弗拉曼（Flamant，1892）首先得出，故也称弗拉曼解。
实际意义上的线荷载是不存在的，可以将其看做是条形面积在宽度趋于零时的特殊情况，以该解答为基础，通过积分可求解各类平面问题地基中的附加应力。
图3.20 均布竖向线荷载下地基附加应力
图3.21 均布竖向条形荷载下地基附加应力
2.均布竖向条形荷载
当基础宽度为b的条形基础上作用有均布荷载p时，取宽度b的中点作为坐标原点（图3.21），则地基中某点的竖向附加应力可由式（3.24）进行积分求得
式中：αsz为条形基础上作用均布垂直荷载时竖向附加应力分布系数，αsz=f（m，n），由表3.5查取。
表3.5 条形基底受垂直均布荷载作用时的竖向附加应力系数αsz
3.三角形分布的竖向条形荷载
图3.22为条形基础受三角形分布的垂直荷载的情况，荷载最大值为pt。将坐标原点取在零荷载处以荷载增大的方向为x正向，通过式（3.24）积分可得
式中：αtz为条形基础上作用三角形分布荷载时竖向附加应力分布系数，由表3.6查取。
表3.6 三角形分布竖向条形荷载作用时地基附加应力系数αtz
图3.22 三角形分布竖向条形荷载下地基附加应力
图3.23 ［例3.4］图
【例3.4】 某条形基础如图3.23所示，基础上作用荷载F=300kN，M=50kN·m，试求基础中点下的附加应力分布。
解：
（1）求基底附加压力。
基础及上覆土重
G=2×1.5×20=60(kN)
偏心距
基底压力
基底附加压力（此例题为了说明梯形荷载分布时地基中附加应力的计算方法，特将基底附加压力表示成梯形）
（2）基础中点下的附加应力。将梯形分布的附加压力视为作用于地基上的荷载，并分成均布和三角形分布的两部分。其中均布荷载p0=75.9kPa，三角形分布的pt=151.2kPa。
分别计算z=0m、0.5m、1.0m、2.0m、3.0m、4.0m处的附加应力，计算结果列于表3.7中。
表3.7 附加应力计算结果
续表
如果根据基底附加压力p0=p-γd=180-28.5=151.5（kPa），并利用对称性和叠加原理，本题计算将会得到同样的结果，且计算更简捷。