第三节 几何方程——应变与位移的关系

再来讨论平面问题中应变分量与位移分量之间的几何关系式，即平面问题中的几何方程。

物体在平面内的变形状态有两类物理量：一是给出各点在x方向的位移u和在y方向的位移v；二是给出各点微小矩形单元体的应变ε_x、ε_y、γ_xy，其中ε_x和ε_y分别表示沿x方向和y方向的线应变，γ_xy表示剪应变。

一、分析各点的位移

过弹性能体内的任意一点P，沿x轴和y轴的方向，取两个微小长度的线段PA=dx，PB=dy，如图2-11所示。假定弹性体受力以后，P、A、B三点分别移到P′、A′、B′。P点移到P′点之后，它沿x方向的位移分量用u表示，沿y方向的位移分量用v表示。由于A点经P点有一个dx坐标增量，因而A点相对于P点沿x、y方向的位移分量也应该有一个微小的增量，所以，A点沿x、y方向的位移，应分别为和。同理，由于B点比P点有一个dy坐标增量，故B点沿x、y方向的位移，应分别为和。

二、求正应变ε_x、ε_y

在弹性力学的基本假定中，位移是微小的。因此，线段PA在变形后，它沿y方向的位称v，所引起的线段PA的伸缩是高一阶的微量，可以略去不计。于是，线段P′A′的长度可用P′A₂的长度来代替。同理，P′B′的长度用P′B₂来代替。见图2-11。

由正应变的定义可得

同理，由图2-11可得

三、求剪应变γ_xy

根据剪应变的定义，线段PA与PB之间的直角的改变称为P点的剪应变，并用γ_xy来表示。由图2-11可见，这个剪应变是由两部分组成的：一部分是由y方向的位移v引起的，即x方向的线段PA的转角α；另一部分是由x方向的位移u引起的，即y方向的线段PB的转角β。于是得γ_xy=α+β。

设P点在y方向的位移分量是v，则A点在y方向的位移分量将是。由图2-11可知，线段PA的转角是。

上式中，因α角很小，故可近似地取α≈tanα；又因与1相比很小，亦可能略去不计。

同理，可得线段PB的转角于是可见到，PA与PB之间直角的改变为

规定γ_xy以直角的角度减小时为正。

综合式（2-3）、式（2-4）、式（2-5），平面问题中三个应变分量ε_x、ε_y、γ_xy也就完全确定。得到平面问题中的几何方程：

但反过来，当三个应变分量确定时，位移分量却不能完全确定。为了说明这一概念，试令三个应变分量为零，即

先求出相应的位移分量。将式（a）代入几何方程式（2-6），得

将式（b）的前两式分别对x及y积分，可得

其中f（y）、g（x）为任意函数。式（c）代入式（b）中的第三式，得

式（d）右边是y的函数，而右边是x的函数，因而，只可能两边都等于同一常数，于是得

积分式（e），得

其中u₀、v₀、ω都为任意常数。将式（f）代入式（c），得

式（g）即为三个应变分量为零时的位移，当然也就是刚体平移。可以证明u₀及v₀分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移，而ω为物体绕z轴的刚体转动。应变为零存在刚体位移的概念，也可直接从物理意义上进行解释。人们熟知，引起物体位移的原因有两个：一个是由于弹性体受力或别的原因（如温度改变，材料膨胀、收缩等）产生变形引起的；另一个是由于物体做刚体运动引起的。例如，简支的伸臂梁，由于A支座沉陷ΔA，C点移到C′点，如图2-12所示。显然可见，此时AC杆并不产生应变（变形），但在C点去产生了位移ΔC。这就是清楚地说明，杆子应变为零，各点也可以生发位移。因此，虽然弹性体的应变已确定，但它仍可以做各种不同的刚体位移。在平面问题中，常数u₀、v₀、ω是任意的，反映位移是不确定的。为了确定这三个常数，消除刚体位移，就必须设有三个适当的约束条件，由此求出的位移才是完全确定的。

为了以后应用的方便，平面问题的几何方程式（2-6）可用列阵表示为