4.4 动量矩方程
质点系动量矩定理指出：质点系对某轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的力矩的矢量和。
令恒定总流动量方程式（4.30）中的β1=β2=1，并将两端对某轴取矩，矢径为r，得恒定总流的动量矩方程：
式（4.32）表明，单位时间内流出和流入控制体的流体动量矩矢量差，等于作用在该控制体内流体的各外力的合力矩矢量。
动量矩方程主要应用在旋转式流体机械上，利用它可以确定运动流体与旋转叶轮相互作用的力矩及其功率等，进而建立叶轮机械的基本方程。
如图4.15所示为离心式泵或风机的叶轮。叶轮以一定的角速度ω旋转，流体从叶轮的内圈入口流入，经叶轮通道从外圈出口流出。将整个叶轮两面轮盘及叶轮内外圈间的所有流道作为控制体，流道中的流动相对于匀速旋转的叶轮来讲是恒定的。不考虑黏性，则通过内外圈控制面作用在流体上的表面力为径向分布，力矩为零；由于对称性，作用在控制体内流体上的重力对转轴的力矩之和也为零，因此外力矩只有叶片对流道内流体的作用力对转轴的力矩，其总和为M。假设流体的密度为ρ；流过整个叶轮的流量为Q；流体在叶轮进、出口处的绝对速度v1、v2沿周向数值不变，且与切线方向的夹角α也不变。由式（4.32）得
图4.15 叶轮内的流动
式中：v1u、v2u分别为进、出口绝对速度v1、v2在圆周切线方向的投影；r1、r2分别为叶轮内、外圈的半径。
单位时间叶轮作用给流体的功：
将上式两边同除以通过叶轮的流体的重量流量，可得单位重量理想流体通过叶轮所获得的能量：
式（4.33）即为叶轮机械的基本方程。理论扬程HT仅与流体在叶轮进、出口处的运动速度有关，而与流动过程无关，它的大小反映出叶轮机械的基本性能。
图4.16 ［例4.5］图
【例4.5】 如图4.16所示，离心风机叶轮的转速n=1725r/min，叶轮进口直径d1=125mm，进口气流角α1=90°，出口直径d2=300mm，出口安放角β2=30°，叶轮流道宽度b1=b2=b=25mm，流量Q=372m3/h。试求：（1）叶轮进口处空气的绝对速度v1与进口安放角β1；（2）叶轮出口处空气的绝对速度v2与出口气流角α2；（3）单位重量空气通过叶轮所获得的能量HT。
解：（1）叶轮进口牵连速度。
叶轮进口绝对速度：
叶片进口安放角：
（2）叶轮出口绝对速度。
因
故
（3）单位重量空气通过叶轮获得的能量。因：v1u=0，由式（4.33）得
