4.3 动量方程
将牛顿第二定律应用于理想流体得到欧拉运动微分方程，对其积分可以得到流场中压强和速度的分布。但由于方程数学上求解困难，方程应用有限。而工程实际往往关心的是流体与固体边界的相互作用，不必知道流体内部压强和速度分布的详细情况，可将物理学上的动量定理应用于流体质点系。质点系动量定理指出：质点系的动量对于时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和，即
质点系的动量定理为拉格朗日研究方法，可以将其转换成欧拉法来表示，即选取固定空间为控制体，建立控制体内流体的动量方程。在工程中经常运用动量方程求解控制体内流体对固体壁面的作用力。总流的动量方程连同前面介绍的连续性方程、伯努利方程组成流体力学最基本的三大方程。下面根据质点系动量定理，推导总流的动量方程。
4.3.1 总流的动量方程
在恒定总流中，任取1-1、2-2两渐变流过流断面，面积分别为A1、A2，以两过流断面及总流的侧表面围成的空间为控制体，如图4.12所示。
图4.12 总流动量方程
若控制体内的流体经dt时段，由1-2运动到1′-2′位置，则产生动量变化dK应等于1′-2′与1-2流段内流体的动量K1′-2′和K1-2之差，即
dK=K1′-2′-K1-2=(K1′-2+K2-2′)t+dt-(K1-1′+K1′-2)t
对于恒定流动，1′-2流段的几何形状和流体的质量、流速均不随时间而改变，因此K1′-2也不随时间改变，即
(K1′-2)t+dt=(K1′-2)t
则
dK=K2-2′-K1-1′
为了确定动量K2-2′和K1-1′，在上述总流内任取一元流进行分析。令过流断面1-1上元流的面积为dA1，流速为u1，密度为ρ1，则1-1′流段内元流的动量为ρ1u1dtdA1u1。因过流断面为渐变流断面，各点的速度平行，按平行矢量和法则，可对断面A1直接积分，得1-1′流段内总流的动量
同理
对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，有
式中：β为动量修正系数，修正以断面平均流速代替实际流速计算动量时引起的误差，即
β值取决于过流断面上速度的分布情况，流速分布较均匀时，β=1.02～1.05，通常取β=1.0。
由质点系动量定理，有
即
式（4.30）即为总流的动量方程，表明单位时间内流出和流入控制体的流体动量差，等于作用在该控制体内流体的合外力。式（4.30）是一个矢量方程，为方便计算，常将它投影到三个坐标轴上，即
式中：v1x、v1y、v1z和v2x、v2y、v2z分别为1-1、2-2断面的平均流速在x、y、z轴方向的分量；∑Fx、∑Fy、∑Fz为作用在控制体内流体上的所有外力在三个坐标方向的投影代数和。
4.3.2 总流动量方程的应用条件和注意事项
应用总流动量方程时必须满足下列条件：
（1）恒定流动。
（2）所取过流断面为渐变流或均匀流断面。
（3）不可压缩流体。
应用总流动量方程时还需注意以下各点：
（1）总流动量方程对理想流体和实际流体均适用。
（2）正确选取控制体，全面分析作用在控制体内流体上的外力。特别注意控制体外的流体通过两过流断面对控制体内流体的作用力，此力为断面上相对压强与过流断面面积的乘积。
（3）总流动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒。
（4）由于动量方程是矢量方程，宜采用投影式进行计算。正确确定外力和流速的投影正负，若外力和流速的投影方向与选定的坐标轴方向相同则为正，相反则为负。关于坐标轴的选择，可根据实际情况确定。
（5）流体对固体边壁的作用力F与固体边壁对流体的作用力F′是一对作用力和反作用力。应用动量方程可先求出F′，再根据F=-F′求得F。
【例4.3】 如图4.13所示，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1=500mm，d2=400mm，转角θ=45°，断面1-1处流速v1=1.2m/s，相对压强p1=245kPa。若不计弯管水头损失，试求水流对弯管的作用力分量Fx、Fy。
解：取过流断面1-1、2-2及管壁所围成的空间为控制体。
图4.13 ［例4.3］图
分析作用在控制体内流体上的力，包括：过流断面上的压力P1、P2；弯管对水流的作用力F′x、F′y；选直角坐标系xoy，重力在xoy水平面上无分量。
令β1=β2=1，列总流动量方程x、y轴方向的投影式：
由连续性方程，得
以管轴线为基准，列1、2断面伯努利方程：
得
将各量代入动量方程，得
水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方向相反，即
Fx=26.38kN，方向与ox轴方向相同
Fy=21.98kN，方向与oy轴方向相同
图4.14 ［例4.4］图
【例4.4】 如图4.14所示，水平方向的水射流以v0=6m/s的速度冲击一斜置平板，射流与平板之间夹角α=60°，射流过流断面面积A0=0.01m2，不计水流与平板之间的摩擦力，试求：（1）射流对平板的作用力F；（2）流量Q1与Q2之比。
解：取过流断面1-1、2-2、0-0及射流侧表面与平板内壁为控制面构成控制体。
因整个射流在大气中，过流断面1-1、2-2、0-0的压强可认为等于大气压强。因不计水流与平板之间的摩擦力，则平板对水流的作用力F′与平板垂直。
（1）求射流对平板的作用力F。列y轴方向的动量方程：
其中
代入动量方程，得平板对射流的作用力：
F′=0.312kN
则射流对平板的作用力：
F=0.312kN，方向与oy轴方向相反
（2）求流量Q1与Q2之比。列x轴方向的动量方程：
分别列0-0、1-1断面及0-0、2-2断面的伯努利方程，可得
v 1=v2=v0=6m/s
因
Q 0=Q1+Q2
代入上式，解得
