第一节　平面汇交力系的合成与平衡

一、平面汇交力系合成的几何法

设有作用于刚体上、作用线汇交于一点A的四个力F1、F2、F3、F4,如图2-1(a)所示。由力的可传性,将各力的作用点移至汇交点A。根据力的三角形法则,可将F1,F2合成一合力FR1,将FR1与F3合成一合力FR2,将FR2、F4合成一合力FR,FR为最后合成的结果。其实,在作图时,可不把中间过程FR1和FR2画出来,只需四个力F1、F2、F3、F4首尾相接,则由第一个力的起点a向最末一个力的终点e作矢径,得ae即合力矢FR,如图2-1(b)所示。

各力矢与合力矢构成的多边形称为力矢多边形,表示合力矢的边称为力矢多边形的封闭边,用力矢多边形求合力的几何作图规则称为力的多边形法则,这种作图方法称为几何法。

必须指出,任意变换力的次序,可得到不同形状的力多边形,但合力FR的大小和方向仍然不变,如图2-1(c)所示。由此可知,合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。

上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况,得结论如下:平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由力矢多边形的封闭边来表示,即等于各力矢的矢量和。矢量式为

二、平面汇交力系平衡的几何法

当力矢多边形自行封闭,即图2-1中a、e点重合,它表示力系的合力FR为零,于是该力系平衡。反之,平面汇交力系平衡,则合力FR为零,力矢多边形将自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要充分条件是:力矢多边形自行封闭,或平面汇交力系的合力等于零。有矢量式为

根据封闭的力矢多边形的几何关系,用三角公式求解所需量的方法,称为求解平面汇交力系平衡问题的几何法。

三、力在坐标轴上的投影

设力F与轴x的夹角为α,如图2-2所示,力在坐标轴上的投影定义为力矢量F与x轴单位矢量i的标量积,记为

在力F所在的平面内建立直角坐标系Oxy,如图2-3所示,x和y轴的单位矢量为i、j,由力的投影定义,力F在x和y轴上的投影为

其中cos(F·i)、cos(F·j)分别是力F与坐标轴的单位矢量i、j夹角的余弦称为方向余弦,(F·i)=α、(F·j)=β称为方向角。力的投影可推广到空间坐标系。

如图2-3(a)所示,若将力F沿直角坐标轴x和y分解得分力Fx和Fy,则力F在直角坐标系上投影绝对值与分力的大小相等,但应注意投影和分力是两种不同的量,不能混淆。投影是代数量,对物体不产生运动效应;分力是矢量,能对物体产生运动效应;同时在斜坐标系中投影与分力的大小是不相等的,如图2-3(b)所示。

力F在平面直角坐标系中的解析式为

若已知力F在平面直角坐标轴上的投影Fx和Fy,则力F的大小和方向为

力既然是矢量,就满足矢量运算的一般规则。根据合矢量投影规则,可得到一重要结论,即合力投影定理:合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴投影的代数和。

四、平面汇交力系合成的解析法

设一平面汇交力系由F1、F2、…、Fn组成,其合力记为FR,于是根据合力投影定

从而可得

五、平面汇交力系平衡的解析法

平面汇交力系平衡的必要充分条件是平面汇交力系的合力等于零。由式(2-8)应有

欲使上式成立,必须同时满足

【例2-1】　图2-4(a)所示拖拉机的制动蹬,制动时用力F踩踏板,通过拉杆CD使拖拉机制动。设F=100N,踏板和拉杆自重不计,求图示位置拉杆的拉力FT和铰链B处的支座反力。

解:(1)取研究对象,作受力图。

因为踏板ACB上既有已知力F,又有未知力FT和B处的约束反力,所以取ABC为研究对象。注意到ACB上受有F,FT和B处约束反力FB三个力作用而平衡,故可用三力平衡汇交定理确定FB的方向。至于FB的指向,可先假设,待计算之后根据FB的正负号再判断其真实方向。

另外,拉杆CD是二力杆,按二力平衡公理可直接确定C端约束反力的方向,因此不必单独取拉杆CD作为研究对象。受力图如图2-4(b)所示。

(2)列平衡方程式。

1)选择平衡方程的类型。由于ACB上受一个平面汇交力系作用,故选用平面汇交力系的平衡方程,共有两个投影式,即式(2-9)。

2)选择投影轴如图2-4(b)所示。

列方程

3)解方程组(a)得

最后由计算结果知:FB为正值,说明受力分析时假定的方向与实际方向一致。

分析讨论:

本例中所研究的力系是由三个力组成的平面汇交力系。对于这样的问题,亦可采用几何法求解,即利用平面汇交力系平衡的几何条件,将三个力组成自行封闭、各力首尾相接的力三角形,并根据几何关系求得未知力FT与FB。力三角形如图2-4(c)所示。

根据正弦定理可以解出

按力三角形自行封闭的矢序规则,可确定出FB的方向。

【例2-2】　铰车系统如图2-5(a)所示,其中直杆AC和BC铰接于C点,自重不计。C处滑轮尺寸不计。重物P=20kN通过钢丝绳悬挂于滑轮上并与铰车相连。试求平衡时杆AC和BC所受的力。

解:由题意,滑轮尺寸不计,而AC和BC均为二力杆,因此本题中各个力都交于C点,构成一个平面汇交力系,可取销钉C作研究对象,其受力如图2-5(b)所示。而且已知其中绳的张力均为P,即FT1=FT2=P。

对于平面汇交力系,应选用方程式(2-9),因此可以列出两个投影方程。注意到力系中的两个未知力FAC和FBC互相垂直,于是就按它们的方向取投影轴,从而得

在这里容易看到:由于坐标轴的方向刚好与其中一个未知力垂直,因此每个投影方程中只包含了一个未知量,很容易从中解得

假如当初不这样选取投影轴,而是以水平方向和铅垂方向为投影轴,则得到的方程组将是一个联立的方程组,虽然也可以得未知反力FAC和FBC,但求解过程将比较繁琐。

另外在所得到的结果中,FAC是负值,表明其实际方向与假设的方向相反,即AC杆与BC杆一样,均受压力。

还需说明,本题虽然也是平面汇交力系问题,但却不宜用几何法求解,因为共有四个力,将构成一个不规则的四边形,几何法求解比较麻烦。因此,解析法比几何法实用性更强。