2.3 竖向荷载作用下地基附加应力计算
地基附加应力是指由新增加建筑物荷载在地基中产生的应力。对一般天然土层来说，土的自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地基沉降。因此，引起地基变形与破坏的主要原因是附加应力。目前采用的计算方法是根据弹性理论推导的。
2.3.1 竖向集中力作用下的附加应力
竖向集中力P作用于半空间表面（图2.12）在半空间内任一点M（x,y,z）引起的应力和位移解，由法国的布辛奈斯克（J.Boussinesq）根据弹性理论求得。共有6个应力分量和3个位移分量，其中竖向应力表达式为
利用图2.12中的几何关系
，式 （2.9）可改写为
式中 α——集中力作用下竖向附加应力系数，可由表2.1查得。
利用式（2.10）可求出地基中任意点的竖向附加应力值。如将地基划分为许多网格，并求出各网格点上的 σz 值，可绘出图2.13所示的土中附加应力分布曲线。从图2.13中可见，集中荷载产生的竖向附加应力σz在地基中的分布存在以下规律。
图2.12 集中力作用土中M点的应力
图2.13 σz的分布
表2.1 集中荷载作用下地基竖向附加应力系数α
1.在集中力P作用线上
在P作用线上， r=0的荷载轴线上，当z=0时，σz→∞。随着深z增大，σz逐渐减小。
2.在r ＞0的竖直线上
在r＞0的竖直线上，当z=0时，σz=0；随着z的增加，σz从零逐渐增大，至一定深度后又随着z的增加逐渐变小。
3.在z为常数的平面上
在z为常数的平面上，σz在集中力P作用线上最大，随着r增加而逐渐变小。随着深度z增加，这一分布趋势保持不变，但σz随r增加而降低的速率变缓。
若在空间将σz相同的点连接成曲面，可以得到图2.14所示的等值线，其空间曲面形状如泡状，所以也称为应力泡。
通过上述分析，可以建立起土中应力分布的概念：即集中力P在地基中引起的附加应力，在地基中向下、向四周无限扩散，并在扩散的过程中应力逐渐降低。此即应力扩散的概念，与杆件中应力的传递完全不同。
当地基表面作用几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力（图2.15中的a曲线、b曲线），然后根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和，如图2.15中c线所示。
图2.14 σz的等值线
图2.15 两个集中力作用下地基中σz的叠加
2.3.2 竖向均布矩形荷载作用下附加应力的计算
1.均布矩形荷载角点下的附加应力
在地基表面有一短边为b、长边为l的矩形面积，其上作用均布矩形荷载P（图2.16），须求角点下的附加应力。
图2.16 均布矩形荷载角点下的附加应力
设坐标原点O在荷载角点处，在矩形面积内取一微面积dxdy，距离原点O为x、y，微面积上的分布荷载以集中力dF=Pdxdy代替，则在角点下任意深度z处的O点，由该集中力引起的竖向附加应力dσz，可由式（2.11）计算得出，即
将式（2.11）沿整个矩形荷载面A进行积分可得均布矩形荷载P在角点下O的附加应力为
为计算方便，可将式（2.12）简写为
式中 αc——均布矩形荷载角点下附加应力系数，简称角点附加应力系数，可按l/b、z/b查表2.2 （注意：b为荷载面的短边边长）。
表2.2 矩形面积上均布荷载作用下角点的附加应力系数αc
续表
2.均布矩形荷载任意点下的附加应力
对于均布矩形荷载下的附加应力计算点不位于角点下的情况，可利用式（2.13）以角点法求得。图2.17中列出计算点不位于角点下的4种情况（在图2.17中O点以下任意深度z处）。计算时，通过O点把荷载面分成若干个矩形面积，这样，O点就必然是划分出的各个矩形的公共角点，然后再按式（2.13）计算每个矩形角点下同一深度z处的附加应力，并求其代数和。4种情况的算式分别如下。
图2.17 以角点法计算在均布矩形荷载作用下的附加应力
（a）荷载面边缘；（b）荷载面内；（c）荷载面边缘外侧；（d）荷载面角点外侧
（1）O点在荷载面边缘,有
式中 αcⅠ、αcⅡ——分别表示相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点应力系数。
必须指出，查表2.2 时所取用边长l应为任一矩形荷载面的长度，而b则为宽度，以下各种情况相同。
（2）O点在荷载面内，有
如果O点位于荷载面中心，则αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ，得σz=4αcⅠp0，此即利用角点法求均布的矩形荷载面中心点下 σz的解。
（3）O点在荷载面边缘外侧，此时荷载面abcd可看成是由Ⅰ（OGBF）与Ⅱ（OHAF）之差和Ⅲ（OECG）与Ⅳ（OEDH）之差合成的，所以
（4）O点在荷载面角点外侧，把荷载面看成由Ⅰ（OHCE）、Ⅱ（OHBF）、Ⅲ（OGDE）、Ⅳ（OGAF）代数和合成的，所以
【例2.4】 已知某中心受压柱下基础底面尺寸为2.5m×3m，基底压力pk为147kPa，基础埋深d=1.5m，试用角点法求基础中心O点下不同深度的地基附加应力和边外O′点在z=3m深处的附加应力。
【解】 （1）计算基底附加压力，有
（2）计算O点下的σz。
通过O将基础分为4个相等的矩形。求小矩形OADE的应力系数αcⅠ。
当z=3m、4m、5m、6m过程略，见表2.3，附加应力分布如图2.18所示。
表2.3 σz计算表
图2.18 ［例2.4］附图（单位：m）
（3）计算O′点下的σz应力系数。
通过O′点作矩形O′adf和O′bcf，其应力系数分别用αcⅠ、αcⅡ表示。
【例2.5】 如图2.19所示，荷载面积2m×1m，p0=100kPa，求A、E、O、F、G各点下z=1m深度处的附加应力，并利用计算结果说明附加应力的扩散规律。
【解】 （1）A点下的应力。
A点是矩形ABCD的角点，
=2，n=
=1，由表2.2查得KcA=0.1999，故A点下的竖向附加应力为
（2）E点下的应力。
图2.19 ［例2.5］附图（单位：m）
过E点将矩形荷载面积分为两个相等小矩形EADI和EBCI。任一小矩形m=1、n=1,由表2.2查得KcE=0.1752，故E点下的竖向附加应力为
（3）O点下的应力。
过O点将矩形荷载面积分为4个相等小矩形。任一小矩形m=1/0.5=2,n=1/0.5=2,由表2.2查得KcO=0.1202，故O点下的竖向附加应力为
（4）F点下的应力。
过F点做矩形FGAJ、FJDH、FKCH和FGBK。设矩形FGAJ和FJDH的角点应力系数为KcⅠ；矩形FGBK和FKCH的角点应力系数为KcⅡ。
故F点下的竖向附加应力为
（5）G 点下的应力。
过G点做矩形GADH和GBCH，分别求出它们的角点应力系数为KcⅠ和KcⅡ。
故G点下的竖向附加应力为
将计算结果绘制成图2.20（a）；将点O和点F下不同深度的σz求出,并绘制成图2.20（b），可以形象地表现出附加应力的分布规律。
2.3.3 竖向条形均布荷载作用下附加应力计算
当宽度为b的条形基础上作用均布荷载p0时，取宽度b的中点作为坐标原点（图2.21），地基内任意点M（x，z）的竖向附加应力为
式中 αsz——条形均布荷载作用下竖向附加应力分布系数，由表2.4查取。
图2.20 ［例2.5］计算结果（单位：m）
图2.21 条形均布荷载作用下地基内某点附加应力
表2.4 条形均布荷载作用下竖向附加应力分布系数αsz
2.3.4 有规则荷载分布和荷载面积下附加应力计算
大多数情况下，建筑物的基础是形状有规则的，分布荷载是均匀的。因此，就可以直接应用布西奈斯克的解进行积分，求得地基中任意一点的附加应力。根据分布荷载的面积可分成空间课题和平面课题两类。对于这两类课题，已知有积分的结果并制成表格使用。其中包括以下内容。
空间课题：矩形均布荷载角点下土中任意点竖向附加应力σz；矩形三角形荷载角点下土中某竖向附加应力σz；圆形均布荷载中心点下土中某点竖向附加应力σz。
平面课题：条行均布荷载下竖向应力σz，水平向应力σx和剪应力τxz。
在空间课题和平面课题中，荷载分布强度p0（kN/m2）表示，地基中的附加应力都是用一个相应的应力系数与荷载分布强度p0相乘。应力系数都是荷载形状的几何尺寸和计算点的相应坐标位置的函数。因此，事先可以假定各种荷载形状的几何尺寸和计算点的相应位置，把应力系数值计算出来，并制成表格,见规范。