任务三 力矩和力偶

一、力对点之矩

力对刚体的运动效应包括移动效应和转动效应。其中，力对刚体的移动效应用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点之矩来度量。

以扳手拧螺母为例，如图2-12所示。在扳手A点加力F，将使扳手和螺母一起绕螺母中心O点转动。力F使扳手绕O点转动的效应，不仅与力F的大小成正比，而且还与O点到力F的作用线的垂直距离d成正比。另外，力F的方向不同，扳手绕O点转动的方向也随之改变，即用扳手既可以拧紧螺母，又可以松开螺母，转动效果是不同的。因此，可以用力F的大小与O点到力F的作用线的垂直距离d的乘积，再冠以正负号来表示力F使螺母绕O点转动的效应，称为力F对O点之矩，简称力矩。用符号m_O(F)表示，即

其中，O点称为“力矩中心”，简称“矩心”；矩心O点到力F的作用线的垂直距离d称为“力臂”；力F与矩心O点所确定的平面称为力矩平面。

式（2-3）中的正负号表示在力矩平面内力使物体绕矩心转动的方向。一般规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正；反之，力矩为负。可见，在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小和转向，因此，力矩是代数量。力矩的单位为N·m或kN·m。

由图2-13可以看出，力F对O点之矩的大小，在数值上等于以力F为底边、矩心O点为顶点所构成的三角形OAB面积的两倍，即

由力矩的定义可以得出如下结论：

（1）力对点之矩不仅与力的大小和方向有关，还与矩心位置有关。

（2）当力沿其作用线滑动时,不改变力对指定点之矩。

（3）当力的大小为零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。

二、合力矩定理

平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。

证明：如图2-14所示，已知正交两分力F₁、F₂作用于物体上A点，其合力为F_R。在力系平面内任取一点O为矩心。以O点为坐标原点，建立直角坐标系Oxy，并使Ox、Oy轴分别与力F₂、F₁平行。设A点的坐标为（x，y），合力F_R与x轴的夹角为α。根据力对点之矩的定义可得

由图2-14可见，d=OC·cosα=(y-xtanα)cosα。故有

合力矩定理可用来简化力矩的计算。例如在计算力对某点的力矩时，有时力臂不易求出，可将此力分解为相互垂直的两个分力，若两个分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两个分力对该点的力矩代数和，从而求得此力对该点之矩。

【例2-1】 试计算图2-15中力F对A点之矩。已知F、a、b。

解：本例题有两种解法。

（1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。

先求力臂d。由图中几何关系有

所以

（2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。

将力F在C点分解为正交的两个分力F_x和F_y，由合力矩定理可得

【例2-2】 已知挡土墙重F_G=75kN，铅直土压力F_N=120kN，水平土压力F_H=90kN，如图2-16所示。试分析挡土墙是否会绕A点倾倒。

解：挡土墙受自重和土压力作用，其中水平土压力对A点的力矩m_倾有使挡土墙绕A点倾倒的趋势，而自重和铅直土压力对A点的力矩m_抗起着抵抗倾倒的作用。若m_抗>m_倾，则挡土墙不会绕A 点倾倒；若m_抗<m_倾，则挡土墙将会绕A点倾倒。

由于∣m_抗∣＞m_倾，则挡土墙不会绕A点倾倒。

三、力偶及其性质

（一）力偶的概念

大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶。

力偶常用符号（F，F′）表示。力偶中两力作用线所确定的平面称为力偶作用面。两力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，如图2-17所示。

在日常生活和工程实际中，物体受力偶作用的情形是常见的。如图2-18（a）所示，钳工用丝锥在工件上加工螺纹孔时，双手加在铰杠两端的力；又如图2-18（b）所示，汽车司机转动方向盘时，双手加在方向盘上的两个力；还有拧瓶盖、开关水龙头等都是物体受力偶作用的例子。

需要注意的是，组成力偶的两个力虽然等值、反向，但由于不在同一直线上，因此力偶并不是平衡力系。

（二）力偶矩

实践表明，平面力偶对物体的作用效应取决于组成力偶的力的大小和力偶臂的长短，同时也与力偶在其作用平面内的转向有关。因此，可以用力偶中的力F的大小和力偶臂的乘积F·d，再冠以正负号来度量力偶对物体的转动效应。力与力偶臂的乘积称为力偶矩，用m(F,F′)表示，简记为m，即

在平面问题中，力偶矩是代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向。通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。

力偶矩的单位与力矩的单位相同，即为N·m或kN·m。力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面称为平面力偶的三要素。

（三）力偶的性质

力偶和力不同，它具有如下基本性质：

性质1：力偶不能简化为一个力，即力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。

性质2：力偶对其作用平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。

性质3：作用在同一平面内的两个力偶，若二者力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。

从以上性质可以得到两个推论：

推论1：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用平面内任意移动，而不改变它对刚体的作用效应。

推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变组成力偶的力的大小和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的转动效应。

四、力的平移定理

力的可传性表明，力可以沿着其作用线移动到刚体上的任意一点，而不改变力对刚体的作用效应。但当力平行于原来的作用线移动到刚体上的任意一点时，力对刚体的作用效应将会改变。为了将力等效平移，有如下的定理：

力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到同一刚体上的任意一点，为保持原有的作用效应，必须同时附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力平移点的力矩。

证明：设力F作用于刚体上A点，如图2-19（a）所示。为将力F等效的平行移动到刚体上的任意一点B点，根据加减平衡力系公理，在B点加上两个等值、反向的力F′和F″，并使F= F′=-F″，如图2-19（b）所示。由于力F和力F″等值、反向且作用线平行不共线，它们组成力偶（F，F″）。于是，作用在B点的力F′和力偶（F，F″）与原作用在A点的力F等效，即把作用在A点的力F平行移动到刚体上的任意一点B点，但同时附加了一个力偶，如图2-19（c）所示。由图可见，附加力偶的力偶矩为

力的平移定理表明，一个力可以分解为作用在同一平面内的一个力和一个力偶；反之，也可以将平面内的一个力和一个力偶合成为作用在另一点的一个力。

力的平移定理不仅是力系向一点简化的依据，而且可以用来分析工程中的某些力学问题。如图2-20所示的偏心受压柱，若将偏心力F平移到柱截面形心O点，便得到一个中心压力F′和一个力偶矩为m的力偶。力F′使柱产生压缩变形，而力偶使柱产生弯曲变形。可见，偏心受压对构件的安全是不利的。

应当注意的是，力的平移定理只适用于刚体，而不适用于变形体，并且力只能在同一刚体上平行移动。