任务二 静力学公理

静力学公理是人们在长期的生活和生产实践中，经过反复观察和实验总结出来的普遍规律。它阐述了力的一些基本性质，是静力学理论的基础。所谓“公理”，就是不需要证明即被公认的真理。

公理1：二力平衡公理

作用在同一个刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，如图2-2所示。

二力平衡公理表明了作用于刚体上的最简单力系平衡时所必须满足的条件。必须指出，这个公理只适用于刚体，而不适用于变形体。例如，绳索的两端若受到一对大小相等、方向相反的拉力时可以保持平衡，但若是压力就不能保持平衡。

工程结构中的构件受两个力作用处于平衡的情形是常见的。如图2-3（a）所示的支架，若不计杆件AB、AC的重量，当支架悬挂重物处于平衡时，每根杆在两端所受的力必等值、反向、共线，且沿杆两端连线方向，如图2-3（b）、（c）所示。

仅在两个力作用下处于平衡的构件称为二力构件或二力杆件，简称二力杆。二力杆与其本身形状无关，它可以是直杆、曲杆或折杆。

公理2：加减平衡力系公理

在作用于刚体的任意力系上，加上或减去平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

该公理的正确性是显而易见的。因为平衡力系中的各力对于刚体的运动效应抵消，从而使刚体保持平衡。所以，在一个已知力系上，加上或减去平衡力系不会改变原力系对刚体的作用效应。不难看出，加减平衡力系原理也只适用于刚体，而不能用于变形体。

公理3：力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力，合力的大小和方向，由这两个力所构成的平行四边形的对角线表示。

如图2-4（a）所示，F₁、F₂为作用于物体上A点的两个力，以力F₁和F₂为邻边作平行四边形ABCD，其对角线AC表示两共点力F₁和F₂的合力F_R。合力矢与分力矢的关系用矢量式表达为

即合力矢等于这两个分力矢的矢量和。

力的平行四边形法则可以简化为力三角形法则，如图2-4（b）、（c）所示。力三角形的两边由两分力矢首尾相连组成，第三边则为合力矢F_R，它由第一个力的起点指向最后一个力的终点，而合力的作用点仍在二力交点。

将力的平行四边形法则加以推广，可以得到求平面汇交力系合力矢量的力多边形法则。

设刚体受平面汇交力系作用如图2-5（a）所示，根据力的平行四边形法则将这些力两两合成，最后求得一个通过力系汇交点O的合力F_R。若连续应用力三角形法则将各力两两合成求合力F_R的大小和方向，则更为简便。如图2-5（b）所示，分力矢和合力矢构成的多边形abcde称为力多边形。由图可知，作图时不必画出中间矢量F_R1、F_R2，只需按比例将各分力矢首尾相连组成一开口的力多边形，而合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。合力的作用线通过力系的汇交点。由于矢量加法符合交换率，故可以任意变换各分力的作图次序，所得结果完全相同，如图2-5（c）所示。综上所述，可得出如下结论：平面汇交力系合成的结果是一个通过汇交点的合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定，即合力矢等于各分力矢的矢量和。用矢量式可表示为

根据力的平行四边形法则也可将一个力分解为作用在同一点的两个分力。以该力为对角线作平行四边形，其相邻两边即表示两个分力的大小和方向，如图2-6（a）所示。由于同一对角线可作出无穷多个不同的平行四边形，因此解答是不确定的。工程实际中，常将一个力F沿直角坐标系x、y轴分解，得到两个互相垂直的分力F_x和F_y，如图2-6（b）所示。

公理4：作用与反作用定律

两个物体间相互作用的力总是同时存在的，两力的大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在这两个物体上。

这个公理说明了两物体间相互作用力的关系。力总是成对出现的，有作用力就必有反作用力，且总是同时产生又同时消失。

例如，图2-7（a）中物体A放置在物体B上。N₁是物体A对B的作用力，作用在物体B上。N是物体B对物体A的反作用力，作用在物体A上。N₁和N是作用力与反作用力的关系，即大小相等N₁=N，方向相反，沿同一直线KL，如图2-7（b）所示。

根据上述静力学公理可以导出下面两个重要推论：

推论1：力的可传性

作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体上的任意一点，而不改变它对刚体的作用效应。

证明：设力F作用在刚体上的A点，如图2-8（a）所示。在力F的作用线上任取一点B，根据加减平衡力系公理，在B点加上一对平衡力F₁和F₂，且使-F₁=F₂=F，如图2-8（b）所示。由于F₁与F构成平衡力系，故可以去掉，只剩下一个力F₂，如图2-8（c）所示。又因为F₂和原力F等效，这就相当于把作用在A点的力F沿其作用线移到了B点。

上述力的可传性很容易为实践所验证。例如，沿同一直线用同样大小的力推车或拉车，对车产生的运动效应是等效的，如图2-9所示。

应当指出，力的可传性只适用于刚体，而不适用于变形体，否则将导致物体的变形效应。例如，直杆两端受等值、反向、共线的两个拉力F₁和F₂作用将产生伸长变形，如图2-10（a）所示，若将F₁和F₂分别沿其作用线移动到另一端，如图2-10（b）所示，这时直杆将产生压缩变形，变形形式发生变化，即作用效应发生改变。

推论2：三力平衡汇交定理

刚体在三个力作用下处于平衡时，若其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过该点，且三力共面。

证明：在刚体的A₁、A₂、A₃三点上，分别作用着相互平衡的三个力F₁、F₂、F₃，如图2-11所示。设力F₁和F₂的作用线相交于O点。根据力的可传性，将力F₁和F₂移到汇交点，然后由力的平行四边形法则得到此二力的合力F_R12，则力F₃和F_R12平衡。由二力平衡公理可知，F₃和F_R12必共线，所以力F₃的作用线必通过O点并与力F₁和F₂共面。定理得证。

三力平衡汇交定理常用来确定刚体在不平行三力作用下平衡时其中某一未知力的作用线。