3.1 流体运动的形式和本构方程
当流体运动时，由于速度场的不均匀性，流体产生变形，流体内部存在应力。黏性流体应力与变形速度之间的关系十分复杂。应力与变形的关系是分析流体流动的一个重要问题。本节将在讨论流体运动分类和运动的分解基础上，建立应力与变形速度之间的关系式，即本构方程[1-10]。
本节分为3小节，包括流体运动的分类和分解、力的分类和应力张量、表述应力与应变关系的本构方程。
3.1.1 流体运动的分类和分解
为了研究问题和建立工程问题数理模型的方便，将流体运动进行分类。流体运动要比刚体复杂，因为它除了平动和转动外，由于流体的易流动性，流体微团还要变形。为了描述流体的复杂运动，需分解流体的复杂运动。
本小节介绍流体运动的分类和流体流动的分解[2]~[4]，包括流体运动的分类、亥姆霍兹速度分解定理、流体微团运动的三种形式3部分。
3.1.1.1 流体运动的分类
在流体力学中，以雷诺数Re(Reynold number)来判别流体流动性质，聚合物流体大多数流动是小雷诺数流动。流体运动有三种分类形式，包括以流体运动的形式为标准分类、以时间为标准进行分类、以空间为标准分类。首先介绍雷诺准数，再介绍流体运动的分类。
在黏性流体的流动中，一般用雷诺数Re判别流体流动的性质。雷诺数Re代表了惯性力与黏性力之比。当Re很小时，可忽略惯性力。以管中流体流动为例，定义雷诺数Re，为
式中，u流体流动的速度，ν为流体运动黏度，d管的直径。
(1)以流体运动的形式为标准分类
设q1，q2，q3三维正交坐标系，流体运动的所有物理量用欧拉法描述，速度场为
若场内物理量不依赖于矢径r则称之为均匀场，反之称之为不均匀场。黏性流体流动中，研究的大多数问题是不均匀场。若在整个流场中，速度旋度为零rotu＝0，则此流动为无旋流动，反之为有旋流动。因为，绝大多数流体运动都具有平动和变形，因此对于这两种运动形式不加分类。于是流体运动以运动形式为标准进行分类，分为无旋流动和有旋流动两种。
如果需要考虑温度的影响，就分别有等温流速场和非等温流速场
(2)以时间为标准进行分类
若场内函数依赖于时间t称为非定常（不稳定）场，如式(3.1.2)所示；反之如式(3.1.3)所示为定常（稳定）场。流体运动以时间为标准进行分类，分为定常场和不定常场两种。
(3)以空间坐标为标准分类
设流场所有有关的物理量依赖于一维正交坐标u＝u(q1)、二维正交坐标u＝u(q1，q2)和三维正交坐标u＝u(q1，q2，q3)的运动，分别称为一维、二维和三维的运动。流体运动以空间坐标分类，分为一维、二维和三维运动3种。
运用流体流动的分类简化实际流体的流动，便于数学上表达求解简化的传递方程组和相应的边界条件。从简单的运动形式着手，研究流体流动的内在规律，在此基础上再进一步处理更复杂的流体流动。在后面章节学习中，要运用分类的方法简化聚合物工程的问题。
3.1.1.2 亥姆霍兹速度分解定理
从物理学和理论力学中得知，任何一个刚体运动可分解成平动和转动之和，其速度可表示为
式中，u0是刚体选定点的平动的速度，r是刚体选定点到点O的矢径，ω是刚体围绕定点O转动的瞬时角速度，在同一时刻ω＝rotu/2，将其代入式(3.1.4a)，得到
该式为刚体的速度分解公式。
流体运动要比刚体复杂。由于流体的易流动性，流体微团除了平动和转动外，还要变形。为了描述流体的复杂运动，需将流体的复杂运动分解。
在流场中取流体微团平行六面单元体dxdydz，如图3.1.1所示，设微团质量中心点A(x，y，z)在瞬时的速度为u(x)＝uxi+uyj+uzk，与点A相距极近的C点为C(x+dx，y+dy，z+dz)，在同一瞬时，速度近似式为略去二阶以上C(x+dx，y+dy，z+dz)无穷小量的泰勒公式
图3.1.1 流体微团的单元体
因此，速度梯度张量L的表达式为
用注记符号表示的矩阵分量表达式为
对速度近似式
作恒等变形，在式
的第一项中人为地增加
项，并将式中的最末两项也改写成带1/2系数的4项，于是式
变为
按此方法将
写成类似的形式，使用表3.1.1中的符号将速度近似式改写成为
式(3.1.6)是流体微团的速度分解公式，称为亥姆霍兹速度分解定理。
表3.1.1 流体微团速度分解公式的物理意义和符号
3.1.1.3 流体微团运动的3种形式
若在整个流场中，流体运动若以空间坐标分类，流体运动可分为一维、二维和三维流动。为了说明式(3.1.6)中各项符号的含义，将流体空间流动的复杂情况加以分解。为了讨论的方便，首先分析图3.1.2是平面流动，即二维流动的情况，将式(3.1.6)简化为平面流动速度分解公式
图3.1.2 流体微团的平面运动
此式包含了表3.1.1中的各种不同的符号，不影响对问题的分析。流体微团的运动可以分解为下面几种形式。
(1)平移运动u
式(3.1.7)右端的第一项ux，uy，说明流体微团中的任一点C点有随流体微团质量中心A一起作平移运动的成分。如果θxx＝θyy＝εxy＝εyx＝ωz＝0，则如图3.1.3(a)所示，经过dt时间后，ABCD平移到A′B′C′D′位置，微团形状不变。ux，uy称为微团的平移速度。
(2)直线和剪切变形运动
由于流体的易流动性，运动流体流动，流体微团发生直线变形，流体微团线性伸长或缩短，用下式表示
的物理意义是ux沿x方向的变化率，θxxdx是C、A两点（也代表CB、DA两条线）的x方向分速度的变化量。θyydy是C、A两点（也代表CD、BA两条线）的y方向分速度的变化量。不可压缩流体的
＝0，如果ux＝uy＝εxy＝εyx＝ωz＝0，则变成如图3.1.3(b)所示的A′B′C′D′形状。这种运动称为流体微团的直线变形运动。其中θxx，θyy，θzz称为直线应变速度，θxxdx，θyydy，θzzdz则称为流体微团的直线变形速度。
在流体运动中，流体微团发生剪切变形，即角变形。分析表3.1.1中第二列的项
式中，
是ux沿y方向的变化率，也叫作ux沿y方向的速度梯度，
是C、A两点（也代表CD、AB两条线）的x方向分速度的变化量；
是uy沿x方向的变化率，也叫作uy沿x方向的速度梯度；
是C、A两点（也代表CB、AD两条线）的y方向分速度的变化量。由于这两个速度梯度的存在，如果ux＝uy＝θxx＝θyy＝0，则经过dt后，如图3.1.4所示，ABCD要变成AB″C″D″的形状，分别得到
图3.1.3 流体微团的各种运动形式
图3.1.4 流体微团的旋转与剪切变形
一般情况下，
，则dθ1≠dθ2。假定dθ1>dθ2，则令
于是
上式说明，总可用式(2)所示的另外两个角度dα与dβ的和与差来表示两个不相等的角度dθ1和dθ2。可以设想ABCD先整体同向旋转一个dβ角变成AB′C′D′，然后互相垂直的两边再反向各自剪切一个dα角，于是AB′C′D′最终就会变成原来由dθ1和dθ2所决定的AB″C″D″的形状了。
流体微团一个边的剪切角为
由式(3)得到流体微团一个边的剪切角速度为
流体微团整体的剪切角为
由式(5)得到流体微团整体的剪切角速度为
当ux＝uy＝θxx＝θyy＝ωz＝0，即
，dθ1＝dθ2的特殊情况时，经过dt时间，ABCD发生剪切运动变成如图3.1.3(d)所示的AB′C′D′形状。使用式(1)至式(6)的推导方法，同理得到三维剪切变形（角变形）公式为
为了使用的简便，用注记符号表示法，即循环下标号表示剪切变形（角变形）为
(3)转动运动
流体微团像刚体转动一个角度。从式(1)可解出，流体微团整体的旋转角为
由式(7)可得流体微团整体的旋转角速度为
ωz的物理意义是流体微团整体绕通过A点之z轴的转动角速度，εxy的物理意义是流体微团一个边绕通过A点之z轴的剪切变形角速度。式(3.1.6)第一式中的ωzdy和εxydy两项自然是代表由于这两个角速度而引起的C点之x轴方向上的线速度。同样第二式中的ωzdx和εyxdx则是这两个角速度所引起的C点在y方向上的线速度。由此可见，当ux＝uy＝θxx＝θyy＝εxy＝εyx＝0时，经过dt时间，ABCD发生旋转运动变成如图3.1.3(c)所示的AB′C′D′形状。
用流体平面运动的推导方法，得到流体空间运动的表3.1.1所示的ωx和ωy，得到旋度矢量ω为
用注记符号表达上式，有
将流体变形运动的符号的物理意义也列在表3.1.1中。表3.1.1中代表变形运动的符号称为流体微团的变形速度，它的9个元素组成一个沿主对角线成对称的变形速度张量S，也称为应变速度矩阵，直角坐标系的表达式为
用注记符号表达变形速度张量Sij＝S，有
通过上面详细分解式(3.1.6)的含义，得到亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。
亥姆霍兹速度分解定理 一般情况下流体微团运动可以分解为平动、直线与剪切变形、转动三种运动之和。
亥姆霍兹的重要贡献是找到了这三种运动的数学表达式，为确定应力与变形速度的关系奠定了数学分析的基础。比较式(3.1.4)和式(3.1.6)可知，刚体和流体微团运动的主要区别在于流体微团运动多了变形速度的部分。还要注意的是，刚体速度分解定理对整个刚体而言是成立的，流体速度分解定理只在流体微团内成立，它是局部性的定理。
例题3.1.1 速度梯度张量L一般为非对称张量，请将L分解成直角坐标系的一个对称张量S与一个反对称张量ω，并说明对称张量S与反对称张量ω的物理意义。
解：按照第二章介绍张量的性质，一个二阶张量可以分解成一个对称张量与一个反对称张量之和。将速度梯度张量式(3.1.5b)恒等变形，有
将上式写成注记符号表达式
分析式(3.1.11)可见，等式右边第一个式子是一个二阶对称张量，与式(3.1.10)相同，物理意义是变形速度张量S，表征了材料变形的速率；右边第二式子就是反对称张量，与式(3.1.9)相同，物理意义是旋转速率张量ω，与材料的变形无关。
例题3.1.2 任一张量可分解为对称张量与反对称张量之和，证明该分解是唯一的。
证明：假设速度梯度张量为L＝S+ω，令
用注记符号表达上式，分别有
可见该分解是唯一的。
在场论的学习中，已经了解了流体运动以运动形式为标准分类时，若在整个流场中rotu＝Δ×u＝0，则此流动为无旋流动，反之为有旋流动。于是流体运动可分无旋流动和有旋流动两种。因为绝大多数流体运动都具有平动和变形，因此对于这两种运动形式不加分类。
变形速度张量S具有二阶对称张量的性质。
①变形速度张量S恒有三个互相垂直的主轴，以这三个主轴为正交直角坐标系，变形速度张量S可写成下列标准形式
由此可见，变形速度张量S完全由三个主相对拉伸速度决定，也就是说流体微团在主轴上的线元以
的相对拉伸速度变形，变形后仍在主轴方向。
② 变形速度张量有三个不变量
式中：IS，IIS，IIIS分别为变形速度张量的第一、第二和第三不变量。
例题3.1.3[2]现考察IS的物理意义。
解：根据场论散度的定义
通过封闭曲面S的速度通量∯u·dS等于体积∂V的变化率，于是
取直角坐标系的单位体积元∂x，∂y，∂z，∂V＝∂x∂y∂z，将其代入到上式中，有
由此可见，不变量IS等于速度场的散度divu，其物理意义是流体的相对体积膨胀率。当IS>0流体体积膨胀；IS＝0流体无体积变化，IS<0流体体积收缩。
可用速度散度的公式来判断流体压缩性质。当divu＝0，流体的相对体积膨胀率为零，即该流体为不可压缩流体。当divu≠0，流体的相对体积膨胀率不为零，即该流体为可压缩流体。divu＝Δ·u＝0是不可压缩流体的一种数学表示。
3.1.2 力的分类和应力张量
本小节简单介绍流体流动时所受的力及其性质。在流体中取一封闭曲面S为界面的体积元V的流体，在控制体上作用的力有两类，一类是作用在体积内所有流体微团上的体积力，如质量力。另一类是控制体外部流体和固体对控制体内流体的作用力，即作用在流体表面的表面力，包含压应力和剪切应力（摩擦阻力）。这些力可能是已知量，也可能是未知量，可能是流体固有的，可能是由于动量变化而产生的。这些力的作用情况有时相当复杂，将在下一章针对具体情况做详细的分析讨论。为了使问题简化，在此只讨论作用在控制体上诸力的积分。
本小节介绍力的分类和二阶应力张量[2]，包括质量力和表面力、二阶应力张量2部分。
3.1.2.1 质量力和表面力
这里分别介绍质量力和表面力的物理意义和数学表达式。
(1)质量力
首先引入密度的定义。
密度的定义 在连续介质中，在流体中取一点M，围绕M点作体积元素ΔV，它的质量为Δm，当ΔV向M点无限收缩，若极限值
存在，则称此极限为流体在M点的密度，以ρ＝ρ(x，y，z，t)表之，kg/m3。密度的物理意义就是单位体积内流体的质量。
由式(1)得出
流体的总质量为式(2)的体积分
可见，质量与密度和体积成正比。
质量力是一种体力。质量力是指作用在所考察的流体整体上的外力。作用在体积V各个流体微团上的力称为质量力。质量力包括直线运动惯性力和离心惯性力。它与流体微团的质量大小有关，并且集中作用在流体微团的质量中心，用同样的方法作用在每个分子上。
质量力用空间的分布密度f表示。在体积V内取一点M，围绕M点作体积元素ΔV，它的质量为Δm，当ΔV向M点无限收缩，若极限值
的极限存在，这极限值f代表M点上单位质量流体所受到的质量力。f＝f(x，y，z，t)是空间坐标和时间的函数，称为在空间中的质量力分布密度函数。由式(3)得到作用在体积元上的质量力为
dF＝ρfdV
积分上式，得到作用在有限体积上的质量力
式中，F为单位质量流体微团所受的质量力。若dV是体积元，F的大小很有限，则作用在dV上的质量力dF是三阶无穷小量，量纲为
。
作用在流体微团的质量力包括重力和惯性力。在聚合物流变学中，仅限于考察处于重力场作用下的流体，用重力加速度g代替式(3.1.16)中的f，得到质量力为
式中，g为重力加速度，等于9.81m/s2。
(2)表面力
与界面S接触的流体或固体作用于流体团表面S上的力称为表面力，简称面力T。例如压力、摩擦力都是面力。此种力由与该流体微团毗邻的外部流体而来的，由静压力和黏性力所提供。
面力用表面上的分布密度来表示。在连续介质中，在流体中取一点M，围绕M点作面积元素ΔS，设ΔS的法线方向为n，n所指向的流体或固体作用在ΔS面上的面力为ΔT，当ΔS向M点无限收缩，若极限值
存在，则它代表M点上以n为法线的单位面积上所受的面力，也称为表面力。Tn不仅是x，y，z，t的函数，而且依赖于作用面的方向。一般来说，作用面的方向不同，Tn也不同。Tn被称为面力在S面上的分布密度，或称为应力。由式(3.1.18)作用在dS面上的面力为
积分上式，得到作用在有限面积S上的面力为
显然面力和面积呈正比。若dS是面积元素，Tn的大小有限，则作用在dS上的面力dT是二阶无穷小量，量纲为
。
过任一点M可作无数个不同方向的表面，作用在这些不同表面上的面力一般是互不相等的，Tn是矢径r和表面法向单位矢量n两个矢量的函数。从第1章张量的学习中可知，只要知道3个坐标面上的应力，则任一以n为法线方向的表面应力都通过它们和n表示出来，也就是说3个矢量或9个数量分量描述了一点的应力状态，即可用应力张量描述一点的应力状态。
3.1.2.2 二阶应力张量
这里介绍二阶应力张力的物理意义和各种数学表达式。
在外力或外力矩作用下，物体会产生流动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生相应的应力。应力通常定义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa(1Pa＝1N·m－2)或MPa(1MPa＝106Pa)。在黏性不起作用的平衡流体和理想运动流体中，作用在流体微团表面的表面力只有与表面相垂直的压应力，而且压应力又具有一点上各向同性的性质。也就是说，在流体微团表面上，作用的表面力只有与表面相垂直的压应力（压强）。在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。在实际流体的运动中，由于流体的黏性，作用在流体微团体上不仅有压应力，而且还有剪切应力。
在黏性流体的流动或形变中，由于黏性的作用，流体微团的平移、旋转和剪切变形运动使流体微团内部存在相互挤压或拉伸和剪切的作用，存在压应力和剪切应力。黏性流体流动时，在流体微团的同一位置，通过面积相等取向不同面元的力也是不相同的。也就是说，作用力与截面的取向有关，用数量无法表示。必须用二阶张量来描述黏性流体流动所受的力。在流变过程中，聚合物液体既有黏性形变又有弹性形变，其内部应力状态相当复杂。要全面描述非牛顿流体内部的黏弹性应力及其变化情形，需要引入应力张量的概念。
如果在流体内某点通过任意取向的单位面积的力能够计算出来，就可以完全清楚该点的相互挤压或拉伸和剪切的作用。下面用例题引入流体应力张量的概念。
例题3.1.4 求解描述黏性流体流动的流体形变应力。
解：在流体内取定一点M，包围M作一个四面体元ABCD，如图3.1.5所示。ABC面取任意方向，其余三面分别垂直于x1，x2，x3轴。规定ABC面以外侧为正，n是它的外法线。其余3个侧面分别以x1，x2，x3轴的正方向为正。设ABC面元矢量dSn＝dS1e1+dS2e2+dS3e3，则
式中，βni为n与xi轴夹角的余弦。在n与xi轴呈锐角的情况下，dSi就是垂直于xi轴的那个侧面的面积；在呈钝角的情况下，二者有一符号之差。
图3.1.5 四面体元
设矢量T1，T2，T3分别为朝坐标轴正方向通过三个侧面的单位面积的力，Tn为朝n方向通过ABC面单位面积的力。四面体元通过三个侧面所受到的力分别是dS1T1，dS2T2，dS3T3。略去自重等体力比侧面力高一阶的无穷小量。
朝n方向通过面元ABC的力
由四面体元力的平衡条件，由式(2)得
将式(1)代入上式(3)，得
设矢量T1，T2，T3的分量分别为T11，T12，T13；T21，T22，T23；T31，T32，T33，代入式(4)得
由式(3.1.21)可知，通过任意给定取向面元上单位面积的力由上式中的9个数量Tij确定，即流体形变应力——应力张量为二阶张量。
通过上面的讨论可知，当考察通过黏性流体内任一面元的力时，既要考虑这个面元的方向，还要考虑通过这个面元上力的方向。这种二重取向的特殊性使得这类物理量在三维空间中要用9个数量表示。
在黏性不起作用的平衡流体和理想运动流体中，在流体微团表面上，作用的表面力只有与表面相垂直的压应力（压强）。在实际流体的运动中，由于流体的黏性，作用在流体微团体上不仅有压应力，而且有剪切应力。
例题3.1.5 在实际运动流体的直角坐标系中，确定流体流动应力张量的表达式。
解：在直角坐标系中，取出流体边长dx，dy，dz的六面体微团A(x，y，z)。由于黏性的影响，作用在微元体ABCDEFGH上的表面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ。一点上的压应力也不再具有各向同性的性质。流体微团每个表面上的表面力都有3个分量，共有9个数量。将9个应力分量分别标注在包含A(x，y，z)点在内的三个微元表面上，矩阵T中对角线分量是法向应力，非对角线分量是切向应力，如图3.1.6所示。
图3.1.6 流体微团上的应力
实际流体中—点，A(x，y，z)点上的应力可用9个元素组成的一个应力矩阵，即直角坐标系的二阶应力张量T表示为
广义形式应力矩阵张量T方阵表示式(2.2.9)
式中，应力的第一个下标表示应力作用面的法向方向，第二个下标表示应力的方向。
应力张量 Tij描述任意一流体微团A(x，y，z)处相互挤压或拉伸和剪切的作用。其中所有Tii(i＝1,2，3)分量都作用在相应面元的法线方向上，称为应力张量的法向分量。法向力的物理实质是弹性力，即拉力或压力。所有Tij(i≠j；i，j＝1,2，3)分量都作用在相应面元的切线方向上，称为应力张量的剪切分量。剪切应力的物理实质是黏滞力（内摩擦力）。
这里观察到一个问题，在力学中一般把与各个坐标正向方向的力和加速度作为正的。但是，根据作用力和反作用相等的牛顿定律，必须会想到一个问题。如果在某面的一侧施加了一个力，那么在该面的另一侧也就施加了一个大小相等、方向相反的力。如何约定应力分量的正负号？
特别强调指出，关于应力的正负号，国外聚合物流变学领域的专著使用不同的约定。米德尔曼[8]应力的正负号约定：在某面正侧的材料向该面负侧的材料施加应力Tij，如果力的作用力线沿着xi的正方向，它就是正的；反之，某面负侧的材料向该面正侧的材料施加的应力，如作用线沿着xi的负方向，这一应力也是正的。如图3.1.6所示，剪切应力都是从3个平面负侧材料产生的，图中指示出的方向是应力各分量的正方向。Macosko[9]第47页提请读者注意，他的书使用拉伸应力是正的符号约定。其他一些专著，特别是1987年Birder的书中选择张力是负的(tension as negative)。
本书使用米德尔曼[8]应力的正负号约定。在求解工程问题时，不同应力正负号的约定求解同一问题得到的解是一样的。前提是在求解一个问题时，自始至终使用一种约定。使用中非常容易发生混用的情况，不可能得到正确的解。
还需要注意，dS面法线方向的定义，如果dS是封闭曲面的一部分，则取外法线方向为dS的正方向。如果dS所在的曲面不封闭，则约定取一方向为法线的正方向，法线n指向的那一边流体作用在面上的应力以Tn表之，而位于与n相反方向的流体微团作用于dS面上的应力以－Tn表之。
按Cauchy应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外力矩等于零。可知，平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等，即
Tij＝Tji(i，j＝1，2，3)
此式表明，在物体平衡时，应力张量只有6个独立分量。其中，3个为法向应力分量为Tii(i＝1，2，3)，3个为剪切应力分量分别为T12＝T21，T13＝T31，T23＝T32。可见，聚合物流变的应力张量是二阶对称张量。因此，它具有对称张量所有的性质：
① 应力张量具有三个互相垂直的主轴方向。在主轴坐标系中，应力张量可写成下列对角线形式
式中，p11，p22，p33称为法向主应力。于是在与主轴方向垂直的面上，只有法向应力。切向应力等于零。
② 应力张量的3个不变量
通过学习可知，在无黏性理想流体流动中，在流体微团表面上，流体表面力只有与表面相垂直的压应力（压强），而且压应力又具有一点上各向同性的性质。令法向应力的共同值以－p表示，则
p 11＝p22＝p33＝－p(x1，x2，x3，t)
p称为理想流体的压强，它是x，y，z，t的函数，压强的方向与作用面的法线方向恰好相反。由此可见，在理想流体中，应力张量变为T＝－pI，只要用一个数量便完全描述任一点的应力状态。理想流体同一点上各个不同方向的法向应力是相等的。
在静止流体中，不论是黏性还是理想流体，根据流体的易流动性，静止的流体不能承受剪切应力，因此同样有T＝－pI，－p代表的是静力学压应力函数，它表征静止流体每一点上的应力状态。
3.1.3 表述应力与应变关系的本构方程
不同种类的流体其应力和变形的关系不同。可按应力与变形的关系来区分流体的类型。这一节利用流体本身具有黏性这一特性，讨论牛顿性流体应力与变形速度之间的关系，导出应力与变形速度关系的方程——本构方程。建立牛顿流体本构方程的依据是牛顿内摩擦定律。
本小节介绍表述应力与变形关系本构方程的基础知识[2]，包括应力与变形速度张量的关系、偏应力张量和膨胀黏性系数、正交曲线坐标系的应变速率张量3部分。
3.1.3.1 应力与变形速度张量的关系
这里分别介绍剪切应力、法向应力与变形速度张量的关系。
(1)剪切应力与变形速度张量的关系
由2.3.2节知道，牛顿内摩擦定律二维表达式(2.3.13)为
由3.1.1节流体微团速度的分解得知，由于速度梯度存在，经过dt时间后，原来的矩形流体微团发生剪切变形成为平行四边形，其剪切角为
，即速度梯度等于剪切变形的角速度
。
牛顿内摩擦定律可改写为
由3.1.1节已知，流体微团一个边的剪切角速度如图3.1.4所示，为
流体微团整体的剪切角速度
图3.1.7 流体微团的剪切变形与切应力
将图3.1.7(a)绕A点旋转成图3.1.7(b)或图3.1.7(c)，则形成与图3.1.4相同的剪切运动形式。将式(2)代入式(1)，再根据Cauchy应力定律得
斯托克斯假设流体各向同性，应力与变形速度成线性关系。将切向应力与角变形率的线性关系推广到三维空间流动，在三个正交平面上得到流体微团剪切应力与剪切应变速度的关系式，即在流体三维运动情况下牛顿内摩擦定律的推广式
按照Tadmor[10]应力正负号的约定，剪切应力与剪切应变速度的关系式，即牛顿内摩擦定律的推广式为
特别强调，使用本书关于应力正负号的约定，牛顿内摩擦定律的推广式为(3.1.25)。在求解工程问题时，两种约定求解同一问题使用不同的用应力表示的运动方程，得到的解是一样的。前提是在求解一个问题时，自始至终使用一种约定。
(2)法向应力与变形速度张量的关系
流体黏性也阻碍流体微团运动中的直线变形。分析法向应力与直线变形速度之间的关系。当ABCD经过发生dt时间变成如图3.1.7 (a)所示的AB′C′D′时，流体微团单元体在x方向拉长，在x方向的黏性阻力阻止其伸长，反之相反，流体微团单元体在x方向缩短在x方向的黏性阻力阻止其缩短。由于黏性而引起的沿流体微团表面法向作用的应力大小必然与各该方向的直线变形速度有关，而与直线变形的方向相反。因而按照剪切应力与剪切应变速度的关系可以类似地写出，为
由上式可以看出，由于各个方向的直线变形速度不相等，因此黏性阻碍作用所产生的法向应力也是各向不等；
统称为一点上的各向异性压强。于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上由于黏性影响而与直线变形有关的各向异性压强。法向应力由两部分组成：
① 由流体静压力产生，流体微团承受压缩应力，发生体积变形；
② 由流体流动时黏性应力的作用产生，使流体微团在法线方向上承受拉伸或压缩应力，发生线性变形。
最后，可得到法向应力与直线变形速度之间的关系为
式中，附加应力为
对于不可压缩流体，有速度散度为零，即divu＝0，式(3.1.26)简化为
将式(3.1.25)与式(3.1.27b)代入式(3.1.22)，得到应力矩阵，为
即
式(3.1.28a)和式(3.1.28b)就是全面反映各向同性不可压缩牛顿流体应力与变形速度关系的本构方程。
对于可压缩流体，将式(3.1.28b)写成三维应力张量T——本构方程的表达式
应力张量和变形速度张量之间的关系满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。例如工程中常用的油漆、颜料、橡胶、塑料等为非牛顿流体。实践证明，牛顿内摩擦定律的适用范围远远超出人们所能预料的，它不仅适用于超音速气流，甚至适用于高超音速气流，只有在物理量变化极端剧烈的激波层内，它的适用性才存在问题。
3.1.3.2 偏应力张量和膨胀黏性系数[2,6,9]
利用张量代数运算，分解应力张量。讨论偏应力张量和膨胀黏性系数。
(1)偏应力张量
若流体微团的应力状态由应力张量T描述，根据力的性质不同，应力张量可以分解为各向同性压力和偏应力张量两部分，有
用注记符号表达上式，有
由上式得到，最常见的一种应力张量T的分解形式为
式中，trT为张量T的迹，I为单位张量；τ为偏应力张量。
若定义
则T分解成
或写成注记符号分量式
式中，p为各向同性压力（静水压力）；
称为Kroneckerδ，是单位张量I的一种表示法。式(2.2.13)曾给出I的表达式
在任何状态下，牛顿流体内部都具有各向同性压力。它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。
由分量τij组成的应力张量τ称为应力偏量，或偏应力张量，其值等于全应力张量减去代表均载荷的分量。偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到流体流动、黏性和弹性的变形的描写，是流变学研究的重点。
注意式(3.1.28)定义的各向同性压力－p具有一定的任意性，它并不一定真正等于液体内部的真实静水压力，由此，它将影响到偏应力张量法向分量τii(i＝1,2，3)的值。
下面将证明，偏应力张量中法向分量的绝对值τii并无很大意义，重要的是沿不同方向的法向应力分量的差值，它们对于描述非牛顿流体的弹性行为十分重要。分析式(3.1.33a)，按照Cauchy应力定律，平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均等于零。因此可知，全应力张量和它的偏应力张量的剪切分量都是相等的，即
由上两式，得到应力偏量的主要特征，它的第一不变量等于零
当各向同性压力－p按式(3.1.33b)定义时，应力偏量为
平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切应力应相等。与应力张量相似，偏应力张量也是对称张量，仅有6个独立分量。有偏应力张量的3个法向应力τii(i＝1，2，3)，3个剪切应力分量τij(i，j＝1，2，3)。
下面用几个例题讨论牛顿流体特殊流动的内应力。
例题3.1.6 确定静止液体或流体的内应力。
解：静止液体或流体内只有法向应力，实际上就是各向同性压力，应力张量只有各向同性压力；无剪切应力，即偏应力张量为零张量。由广义形式应力张量为
得到各应力分量为
任何静止的平衡液体，或是静止或流动的无黏流体都处于这种应力状态。
例题3.1.7 设流体流动时只受到一个方向的拉力或压力，除此之外不再有任何其他作用力，由流体应力张量式，确定流体流动时均匀拉伸或压缩的应力。
解：根据该流体流动时的受力状态，分析应力张量T的各应力分量为
此时流体体系处于沿x1方向的均匀拉伸或压缩状态。τ>0为拉伸，τ<0为压缩。纺丝过程中，在单轴拉伸流场中，材料处于这种应力状态。
例题3.1.8 设流体流动时流体微团仅受到均匀剪应力，由流体应力张量确定流体流动的剪切应力。
解：流体微团仅受到均匀剪切应力，设流体应力只有剪切分量τ12＝τ21＝τ＝常数，而所有其他剪切分量为零。这表示流体体系在x2等于常数的平面上沿x1方向受到剪切应力τ21；按剪切应力对等原则，在x1＝常数的平面上沿x2方向也有剪切应力τ12存在。这种剪切应力称均匀剪切应力。在许多仪器、设备、模具内的材料流动场中，可用简单剪切流场来分析。
(2)膨胀黏性系数[2]
当流体运动消失时，τij等于零，它只和流体变形有关。τij＝λεkkδij+2μεij，将其代入式(3.1.33b)，有
引进第二黏性系数，即膨胀黏性系数
于是式(1)可写成
需要说明，流体微团所有方向上法应力的平均值等于x，y，x三个方向上法应力的平均值，它是不随坐标系改变的不变量。
对于不可压缩流体divu＝0，通常的液体、低速运动的气体都是不可压缩流体，其平均法应力等于运动流体的压力p，第二黏性系数μ′自动不出现，本构方程中只出现动力黏性系数μ；对于可压缩流体，divu≠0，高速运动的气体是可压缩流体。在运动过程中，液体的体积发生膨胀或收缩，它将引起平均法应力的值发生μ′divu的变化，因此称μ′为膨胀黏性系数。除了高温和高频声波这些极端的情况，对一般情况下运动的气体，斯托克斯提出假设在分子运动理论中得到证实，近似地认为
μ′＝0
对于聚合物流体的流动，由式(3.1.40)得到斯托克斯假设
式(3.1.41)说明流体一点上的各向同性压强也就是不可压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值，因此它代表一点上的流体动压强。在平衡流体中，它代表一点上的流体静压强。它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。
斯托克斯假设给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便，无须进一步研究各向异性压强，只要找出各同性压强与其他流动参数之间的关系，则可据此算出各向同性压缩实际运动流体一点上的流体动压强。由此可知，压强p有三种不同的含义：
① 在平衡流体中，代表一点上的流体静压强；
② 在理想流体中，它代表一点上的流体动压强；
③ 在不可压缩实际运动流体中，它代表一点上流体动压强的算术平均值，因此它也代表一点上的流体动压强。
现在考察在简单剪切流场中材料所受的法向应力的情况。这里重点强调牛顿流体与聚合物流体在简单剪切流场中不同的应力状态。
牛顿流体只有黏性而无弹性，因此在应力张量T中与弹性变形联系的各法向应力分量相等，均可归于各向同性压力，Tii＝－p。而偏应力张量τij中，各法向应力分量等于零，τii＝0。应力张量分解为
由此可见，偏应力张量中只有一个独立分量——剪切应力分量τ，故只需定义一个黏度函数，就可以完全描述其力学状态。
聚合物熔体或液体是黏弹性流体，在剪切场中既有黏性流动又有弹性变形，一般情况下三个坐标轴方向的法向应力分量不相等，τ11≠τ22≠τ33≠0。因此要完整描述聚合物液体的应力状态，偏应力张量τij中至少需要有4个应力分量τ12，τ11，τ22，τ33，有
流变函数除了黏度函数外，还要定义与法向应力分量相关的函数。
偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关。注意到式(3.1.28)给出的各向同性压力的定义有一定任意性，这就使得应力张量的分解方法有多种结果。下面用一例题说明，同一应力张量的有多种分解方法。
例题3.1.9 有一个应力张量
，给出两种不同的分解方法。
解：按照张量加法的运算法则，将应力张量分解成两个应力张量的和，有
或者
两种结果中各向同性压力的值不同，由此导致偏应力张量中法向应力分量τii的值不同。用这叠加原理，分析平行平面的相对平行移动产生的简单剪切流动，该稳态剪切流动中，T13＝T31＝0，T23＝T32＝0，黏弹性流体应力张量可表示为
由上式可知，在不可压缩材料中，只有假设各向同性压力才能由应变或应变历史确定出应力状态。可见，应力张量中的任一法向分量的绝对值没有流变意义。但是，法向应力差不会由于任何各向同性压力的加入而改变，主要依靠材料的流变性质。可以看出，不管应力张量如何分解，偏应力张量中两个法向应力分量的差值τ11－τ22，τ22－τ33，始终保持不变。这给予重要的启示，在聚合物液体流变过程中，单独去追求法向应力分量绝对值没有多大意义。于是，定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为。
第一法向应力差函数为
第二法向应力差函数为
用N1、N2和黏度函数这3个函数就可以完整描写简单剪切流场的聚合物流体的应力状态和黏弹性。
3.1.3.3 正交坐标系的应变速率张量
变形速度的数学描写与选择的参考坐标系紧密相关。工程中常使用柱坐标系和球坐标系。读者可以使用第2.4.4节正交曲线坐标系场的变化率一节介绍的拉梅系数和张量运算公式，确定正交曲线坐标系的应力与变形速度梯度关系。这里不详细推导。
由于工程中常用应变速率张量
的分量表示剪切应力与变形的关系。因此，这里直接给出切变速率张量
不同坐标系的分量公式。
(1)直角坐标系应变速率张量的分量
(2)柱坐标系应变速率张量的分量
(3)球坐标系应变速率张量的分量
