2.3 流体运动的描述和基本定律_聚合物流变学及其应用-QQ阅读男生武侠网

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2.3 流体运动的描述和基本定律

聚合物材料加工过程中，聚合物流体在加工成型设备中流动和变形，需要学习如何从物理和数学上定性和定量地描述流体的运动。本节介绍如何描述流体的运动和基本定律[1-10]，分为3小节，包括描述流体运动的基本知识、传递过程的重要定律和通量、物理量的质点导数。

2.3.1 描述流体运动的基本知识

本小节介绍描述流体运动的基本概念，包括连续介质的假设、流体的性质及其分类、描述流体运动的两种方法3部分。

2.3.1.1 连续介质的假设

实际流体由大量有空隙并进行复杂微观运动的大量分子组成，每个分子作无休止不规则的运动，分子之间交换动量和能量。在时间和空间上，流体的微观结构和运动是不均匀、离散和随机的。用仪器测量观测到流体的宏观结构以及流体运动具有均匀性、连续性和确定性。因此研究流体的宏观机械运动时，流体力学一般采用连续介质的假设，当流体系统的特征长度远远大于流体分子运动自由程，即≫，流体流动的系统可看成是连续系统。

连续介质假设是流体力学中第一个根本性的假设。认为流体微团连续地充满流体所在的整个空间。所谓的流体微团指的是微观上充分大，宏观上充分小的分子团。也就是说，一方面在微观上流体微团的尺度足够大，大到包含大量的分子，使得统计平均后能得到其物理量的确定值；另一方面在宏观上流体微团的尺度又足够的小，远小于所研究问题的特征尺度，使得其平均物理量可看成是均匀不变的，因而可将它近似看成几何上没有维度的一个质点。

当流体力学引进了连续介质假设，大量离散分子运动将近似为连续充满整个空间流体微团的运动问题，不再考虑流体的分子结构，流体被看成是宏观均匀连续体，而不是微观的包含大量分子的离散体。流体质点的位移，不是指个别分子的位移。而是指包含大量分子的流体微团的位移。这样就可以把流体的物理量作为空间和时间的连续函数，利用数学分析工具研究流体流动的问题。即流体微团所具有的质量、速度、压力和温度等宏观物理量满足一切应该遵循的物理定律和性质，例如牛顿定律、质量、能量守恒定律、热力学定律，以及扩散、黏性、热传导等输运性质。

描述流体运动状态的物理量主要是速度，与流体运动密切相关的流体特性有压强、密度、浓度、温度和能量，可统称为流动的基本特性参数。由前一节可知，其中速度和压力是矢量，密度、浓度、温度和能量是数量。

2.3.1.2 流体的性质及其分类

这里简要介绍流体的易流动性、黏性和压缩性等宏观性质，并介绍基于流体性质的流体分类[6]。

(1)易流动性

流体是液体和气体的总称，是由大量的不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的，它的基本特征是没有一定的形状和具有流动性。流体与固体不同，静止的流体不能承受切向应力，只要连续施加不管多小的切向应力，都能使流体流动发生任意大的变形。这是流体区别于固体的主要特性。在静止时，流体只有法向应力而没有切向应力，而静止的固体可以承受切向应力。液体的这个宏观性质称为易流动性。固体中分子间的作用力较强，有固定的平衡位置，因而固体不但具有一定的体积，而且具有一定的形状。固体承受外界力作用时，它可作微小的变形，然后承受住剪切应力不再变形。与其相反，流体和气体中分子间的作用力较弱或很弱，很小的剪切应力都可能使其产生任意大的变形发生流动。

需要注意到，有些物质的性质介于固体和流体之间，例如胶状物、沥青等一类触变物质在不同的条件下有不同的特性，浓缩的聚合物同时存在着类似固体和流体的性质，第4章和第5章将分别详细介绍聚合物流体的流动特性和流变模型。

(2)理想流体和黏性流体

黏度为零的流体称为理想流体，有时也称为“完全流体”。实际上自然界并不存在理想流体，真实流体运动时都会表现出黏性。黏性是流体的固有属性。但是，考虑流体的黏性，将使流体运动的分析变得非常复杂。在流体力学中，为了简化理论分析，通常引入不考虑黏性的“理想流体模型”。引入理想流体的概念，对研究实际流体起着很重要的作用。理想流体运动的基本方程是欧拉方程。在运动时，流体相邻两层流体之间存在相对运动，流体抵抗相对滑动的速度，这种抵抗力称为黏性应力。流体所具有的这种抵抗两层流体相对滑动速度，或普遍来说抵抗变形的性质称为黏度。黏度大小依赖于流体的性质，且显著地随温度而改变。除了黏性外，流体还有热传导和扩散等性质。可以说，理想流体是不考虑黏性、热传导、质量扩散等扩散特性的流体。

(3)不可压缩流体和可压缩流体

当运动流体微团的质量一定时，由于压力、温度等因素的改变，流体微团的体积或密度多少有所改变。在一定压力差或温度差的条件下，运动流体微团的体积或密度可以改变的性质称为压缩性。按照流体的压缩性将流体分成不可压缩流体和可压缩流体两大类。

实际流体都是可以压缩的，其压缩程度依赖于流体的性质和外界条件。在通常压力或温度条件下，液体的压缩性很小。在液体中分子之间存在着一定的作用力，它使分子不分散远离，保持一定的体积，因此要使液体改变体积是较难的。在通常的压力和温度下，液体压缩性很小，例如水在100个大气压下，体积缩小0.5%，温度从20℃升高到100℃，体积降低4%。因此在一般情况下，通常液体可近似看成不可压缩的流体。对于某些压力非常大的特殊情况，如水中爆炸或水击等问题，水是可压缩的流体。

对气体而言，分子间作用十分小，它不能保持固定的形状及大小。因此，在同样外界条件作用下，气体可较大改变其体积。但是，对低速运动而温度差又不大的气体也可近似视为不可压缩的流体，而高速运动的气体是可压缩流体。由此可见，实际流体都具有压缩性，不可压缩流体是在某种条件下实际流体的近似模型。

2.3.1.3 描述流体运动的两种方法

描述流体的运动要表示空间点的位置、速度和加速度，已经建立了描述流体运动的拉格朗日法和欧拉法两种基本研究方法[6,7]。本小节介绍这两种方法，包括拉格朗日法、欧拉法、欧拉变数和拉格朗日变数的相互转换3部分。

(1)拉格朗日法 (Lagrange)

这种方法是质点力学系研究方法的自然延续。着眼点是流体质点，以流场中个别质点的运动作为研究的出发点，从而进一步研究整个流体的运动。通过两个方面来描述整个流动的情况：

① 某一运动的流体质点的密度、速度等各种物理量随时间的变化；

② 相邻质点间这些物理量的变化。

由于流体质点是连续分布的，在每一时刻每一质点都占有唯一确定的空间位置，点的矢径r＝f(M，t)＝r(M，t)是点的标志和时间的函数，在t＝t₀时刻，流体质点所在坐标系的位置a，b，c作为质点的标志。任意流体质点(a，b，c)在空间运动时，各质点在任意时刻的空间位置，将是a，b，c和时间t的函数，在直角坐标系中位置表示为

式中，a，b，c，t称为拉格朗日变数。

在r＝r(a，b，c，t)中，不同的质点将有不同的(a，b，c)值：

① 当a，b，c固定时，t变化，此式表示某一流体质点的运动轨迹；

② 当t不变，a，b，c变化，表示t时刻不同流体质点的位置分布函数。

式(2.3.1)可以描述所有质点的运动。因为矢径函数r不是空间坐标的函数，而是质点标志的函数。不同的a，b，c代表不同的质点。若用矢径r＝xi+yj+zk表示质点位置，各质点在任意时刻的空间位置r＝r(a，b，c，t)，将是a，b，c，t这4个量的函数。显然，在t＝t₀时刻，各质点的坐标值等于a，b，c，即

同理，其他物理量也表示为拉格朗日变数a，b，c，t的函数。在直角坐标系中，用拉格朗日法表示流体的速度、加速度分别为

即

流体的密度、压力、温度也可表示为拉格朗日变数a，b，c，t的函数

ρ＝ρ(a，b，c，t)

p＝p(a，b，c，t)

T＝T(a，b，c，t)

举一个例子说明拉格朗日法和拉格朗日变数在工程中的应用。

例题2.3.1[7]已知用拉格朗日变数表示流体的速度为

式中，a，b是t＝0时刻流体质点的直角坐标值。试求：

① t＝2时刻流场中质点的分布规律；

② a＝1，b＝2这个质点的运动规律；

③ 确定流体运动的加速度。

解：将已知速度代入式(2.3.4)，得

积分上式，得

将初始条件，t＝0时刻x＝a，y＝b代入式(2)，得

求解上式确定积分常数C₁＝－1和C₂＝－1，将积分常数再代入式(2)，得各流体质点的一般分布规律

① t＝2时刻，流场中质点的分布规律，由式(3)得

② 确定a＝1，b＝2质点的运动规律，由式(3)得

③ 确定流体加速度，使用式(2.3.5)对式(3)求二阶导数，或对速度式(1)求导得

在任意曲线坐标中可以使用拉格朗日(Lagrange)法。例如，在任意正交曲线坐标q₁，q₂，q₃中，流体质点的分布规律可写成

q_i＝q_i(a，b，c，t) (i＝1，2，3)

式中，a，b，c为t＝t₀时刻的q_i坐标值，可写成

(2)欧拉法(Euler)

它不着眼于研究个别质点的运动特性，而是以流体流过空间某点时的运动特性作为研究的出发点，从而研究流体在整个空间里的运动情况。欧拉法着眼点是空间的点，用场论研究物理量的变化，在空间中每一点上描绘出流体运动随时间的变化状况。欧拉法通过两个方面来描述整个流场的情况：

① 在空间固定点上流体的各种物理量随时间的变化；

② 在相邻的空间点上这些物理量的变化。

流体运动时，同一空间点在不同的时刻由不同的质点所占据。在欧拉法中，各物理量将是空间点坐标q₁，q₂，q₃和时间t的函数。例如，流体的速度、压力和密度可分别表示为

式中，用以识别空间点的坐标值q₁，q₂，q₃和时间t称为欧拉变数。

在直角坐标系中速度场可表示为

按照欧拉法的观点，整个流动问题的研究从数学上看就是研究一些含有时间t的矢量场和数（标）量场。如用N代表流体的某个物理量，则表达式为

N＝N(q₁，q₂，q₃，t)

此式表述了两个含义:

① 当t变化，q₁，q₂，q₃固定，它代表了空间中某固定点上，某物理量函数随时间的变化规律；

② 当t固定，q₁，q₂，q₃变化，它代表某一时刻中，在空间中，某物理量函数的分布规律。

(3)欧拉变数和拉格朗日变数的相互转换

同一个物理现象用两种不同的方法描述，这两种方法一定是等价的。对于同一个流动问题，既可用拉格朗日法也可用欧拉法来描述，在数学上这两种方法可以互相转换。

① 拉格朗日变数变换为欧拉变数

若已知用拉格朗日变数表示的函数N＝N(a，b，c，t)，将a＝a(x，y，z，t)，b＝b(x，y，z，t)，c＝c(x，y，z，t)代入N＝N(a，b，c，t)中，可得到用欧拉变数表示的函数

N＝N[a(x，y，z，t)，b(x，y，z，t)，c(x，y，z，t)，t]

如速度可表示为

即u(r，t)＝u(x，y，z，t)为欧拉变数表示的速度函数。

② 欧拉变数变换为拉格朗日变数

若已知u(r，t)＝u_xi+u_yj+u_zk是由三个方程组成的确定r(t)的常微分方程组，有

积分此式，可得

式中，C₁，C₂，C₃为积分常数，它们与t＝t₀时刻的拉格朗日变数a，b，c有关，于是有

当t＝t₀， r＝r₀，反解之得， r₀＝r(C₁，C₂，C₃)，则 C₁＝C₁(r₀)，C₂＝C₂(r₀)，C₃＝C₃ ( r₀)。为确定曲线坐标C₁， C₂， C₃的方程，将C_i取为区别不同质点的曲线坐标a， b， c，这样得到r＝r( a，b，c，t)，即欧拉变数变换为拉格朗日变数。

用拉格朗日法的观点讨论质点的运动，是通过描述不同流体质点运动规律的途径来描述整个运动，流体质点的运动规律表示为r＝r(a，b，c，t)，它的几何表示是轨迹，即流体质点在不同时刻所形成的曲线为质点运动的迹线或轨迹。由物理学知识可知，质点运动迹线或轨迹方程为

式中，t为自变量，x，y，z是t的函数，对时间t积分，积分后在所得的表达式消去时间t后，即得到质点运动的迹线或轨迹。

用欧拉法描述流体运动，矢量场为流速场，矢量线就是流线。对于三维流动瞬时速度为u(r，t)＝u_xi+u_yj+u_zk，在给定的某一瞬时t，取流场流线上的点M，又在点M处沿流线取一微分线段dr，由于dr无限小，故它与点M处的切线重合，即与u方向一致。微分线段dr的表述

dr＝dxi+dyj+dzk

得流线方程为

dr×u＝0

即

从上式可得到流线方程为

用一例题说明欧拉法和拉格朗日这两种方法的转换。

例题2.3.2[7]已知直角坐标系速度场，其欧拉法表达式为u_x＝x+t，u_y＝y+t。求：

① 一般的迹线方程，令t＝0，x＝a，y＝b；

② 在t＝1时刻，过x＝1，y＝2点的质点迹线；

③ 在t＝1时刻，x＝1，y＝2的流线，并求其方向；

④ 以拉格朗日变数表示速度分布u＝u(a，b，t)。

解：① 由迹线方程式(2.3.11)，得

注意求迹线是对时间积分。对时间积分上式，得

确定积分常数，当，解出，得积分常数为

将上式代入式(1)，得到随时间变化的一般迹线方程

② 在t＝1，在点(1,2)上，即质点在

求出

将上式代入式(2)，得到过点(1,2)的质点迹线为

③ 确定在t＝1，过点(1,2)的流线。由流线方程式(2.3.12)，得

(t是常数)

积分此式，得

ln(x+t)＝ln(y+t)+lnC

即

x+t＝C(y+t)

由初始条件t＝1，过点(1,2)，代入上式，定出常数C＝2/3，再代入上式，得

x+t＝2(y+t)/3

因此，在t＝1时刻，过x＝1，y＝2点的流线方程为

x+1＝2(y+1)/3

整理后，即

y＝3x/2+1/2

定出一点u_x，u_y的方向可知流线的方向。因为u_x＝x+t，u_y＝y+t，当t＝1时，u_x>0，u_y>0，t＝1时刻的流线方向，如图2.3.1所示。注意流线不是时间的函数。

图2.3.1t＝1时流线方向

④ 因为，由拉格朗日变数表示的速度为

把迹线方程(2)代入以欧拉变数表示的速度分布线，也可得到式(3)。

2.3.2 传递过程的重要定律和通量

传递现象是自然界和工程技术中普遍存在的现象。传递过程特指物理量朝平衡转移的过程。在传递过程中，传递的物理量有动量、能量、质量和电量等。平衡状态是指物系内具有强度性质的物理量不存在梯度，例如平衡状态的流体温度、组分浓度是相等的。对于任何处于不平衡状态的物系，一定会有某些物理量由高强度区向低强度区转移。例如，热物体向冷物体传递热量，最后两物体温度趋于一致达到温度平衡。动量、热量与质量的传递既可以由分子的微观运动引起，也可由旋涡混合造成的流体微团的宏观运动引起。前者称为分子传递，后者称为涡流传递。

由于分子的不规则运动，在各层流体间将交换着动量、质量和能量，使不同流体层内的平均物理量均匀化，这种性质称为分子运动的传递性质。动量传递在宏观上表现为黏性现象，能量传递则表现为热传导现象，质量传递表现为扩散现象。流体的宏观性质，如黏性、热传导、扩散等是分子输运性质的统计平均。

本小节介绍描述动量传递、能量传递和质量传递三种现象的定律和通量[5，6，8，9]，包括三个重要的定律、传递的通量两部分。

2.3.2.1 三个重要的定律

(1)牛顿黏性定律

对于任何处于不平衡状态的流体物系，一定会有某些物理量由高强度区向低强度区转移。用牛顿黏性定律(Newton’s Viscosity Law)描述由分子运动引起的动量传递。

动量传递 ( Momentum Transfer)——在垂直于实际流体流动方向上，动量由高速度区向低速度区转移。

动量传递在宏观上表现为黏性现象。1687年，牛顿第一个做了一个著名的流体平面剪切运动的实验，建立了切向应力和剪切变形之间的关系。如图2.3.2所示，在无限大的两平行平板之间进行流体运动的实验。两块相互平行两板之间距离大大小于板的长度和宽度。两板之间有静止的流体，当下板静止，上板以不大的恒速U₀向右运动。由于流体的黏性，紧黏在板上的一层流体随平板一起运动，获得沿x方向的动量，并将其动量传递给与之邻近的流体层，两板间的流体作层流流动，建立了速度分布。由于动量传递而使两流体层之间产生剪应力。该流体的剪切流动是平面问题，由图2.3.2可见，流体微片面上的一对大小相等、方向相反的剪切应力τ_xy和τ_yx。

实验证明，剪应力与黏度和相对速度成正比，动量通量的方向与速度梯度的方向相反，得到牛顿黏性公式为

式中，在小片上下表面τ_yx为剪切应力，它们是一对大小相等方向相反的力，N/m2；为速度梯度或剪切速率；μ为动力黏度系数（黏度系数），kg/(m·s)；“ ±”号表示动量朝着速度降低的方向传递。

图2.3.2 黏性与动量传递

张也影[5]强调指出，牛顿摩擦定律的剪切应力的“±”号是为了保持剪切应力的正值。当时，式中取“+”号；当时，式中取“－”号，以保持剪切应力的正值。

黏度系数是流体的一种物理常数，是流体抵抗变形的内摩擦的度量。黏度系数μ依赖于流体的性质，它是流体组成、压力和温度的状态函数，与速度梯度无关。对于黏性很小的流体，μ的值很小。对于黏性很大的流体，μ的值很大，可以是水黏性系数的几千倍。实际气体和液体的黏度一般随压力的升高而增加，理想气体的黏度与压力无关。黏度系数μ显著地依赖于温度，液体的黏度随温度的升高而降低，气体的黏度随温度升高反而上升。对于气体，黏度系数μ和温度的关系用索士兰特(Sutherland)公式表示[6]，为

式中，C≈110.4 K。

该式在相当大的范围(T<2000K)对空气是适用的。由于其复杂性，在实际中常采用幂次的公式[6]

来表达近似真实的黏性关系，其中幂次的范围为1/2≤n≤1。在T>3000K的高温时，n≈1/2；在低温时可取为1。在90K<T<300K的温度范围，n≈8~9，它与索士兰特公式的计算误差不超过5%。可从工程手册查到大多数流体的黏度系数，也可用专门的黏度仪器实验测量。第7章将介绍流变测量仪的基本原理和应用。

牛顿流体是遵循牛顿黏性定律的流体，包括气体、水和低相对分子质量的大多数液体。

非牛顿流体是不遵循牛顿黏性定律的流体，包括泥浆、污水、聚合物溶液、油漆等。流变学(Rheology)主要研究非牛顿型流体。本书重点讨论非牛顿型聚合物流体。

(2)傅立叶定律

能量传递表现为热传导现象。用傅立叶定律(Fourie’s Law)描述由分子运动引起的热量传递，即描述导热现象。

能量传递(Energy transfer)——热量由高温度区向低温度区的转移。热物体向冷物体传递热量，最后两物体温度趋于一致达到温度平衡。

傅立叶定律：“在场中任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处单位时间内垂直流过单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比”。在场中之任一点处，沿n方向的热流强度记为

式中，q为单位面积的热流通量（热流矢量或热流密度），J/(m2·s)；κ为物质导热系数，κ>0，W/(m·K)；dT/dn＝ΔT为温度梯度，K/m；式中负号表示热通量方向与温度梯度方向相反，即热量朝着温度降低的方向传递。

导热系数κ是物质的物理性质。对于同一物质，导热系数主要是温度的函数，压力对它的影响不大。在高压或真空下，气体的导热系数受压力的影响。在一般情况下，讨论各向同性导热，导热系数与方向无关。

(3)费克定律

质量传递表现为扩散现象。在混合物中，若各组分存在浓度梯度时，发生分子扩散，浓度高的地方向浓度低的地方输送该组元的物质。分子质量扩散传递同分子的动量扩散传递一样，是分子无规则运动的结果。用费克定律(Fick’s Law)描述分子运动引起的质量传递。

质量传递(Mass transfer)——流体物系中一个或几个组分由高浓度区向低浓度区的转移。

1855年，费克首先提出了质量分子扩散的基本关系式——费克定律:“对于两组分系统，在单位时间内组分A通过与扩散分子扩散y方向相垂直方向上单位面积的质量与该方向上的浓度变化率成正比”。所产生的质量通量表示为

式中，j_A为组分A的扩散质量通量，kg/(m2·s)；D_AB为组分A在组分B中的扩散系数，与组分的种类、组成和温度有关；为组分A的质量浓度（密度）梯度；式中负号表示质量通量的方向与浓度梯度方向相反，即组分A总是朝着浓度降低的方向传递。扩散系数D_AB与组分的种类、温度和组成等因素有关。

2.3.2.2 传递的通量

动量、热量与质量的传递之所以发生，是由于物系内部存在着速度梯度、温度梯度和浓度梯度的缘故。动量、热量与质量传递是一种探讨速率的科学，三者之间具有许多类似之处，它们不但可以用类似的数学模型来描述，而且描述三者的一些物理量之间还存在着某些定量关系。这些类似关系和变量关系使研究三种传递过程的问题得以简化。比较牛顿黏性、傅立叶传热和费克传质这三个著名定律的数学表达式，不难发现动量、热量与质量输运传递过程的规律有类似性。

各传递过程中的物理量都与其相应的强度因素成正比，并且都沿着负梯度的方向传递。各式中的输运系数只是状态的函数，输运传递的物理量与相应的梯度之间存在着线性关系。有必要分别介绍动量通量、热量通量与质量通量的普遍表达式。

(1)动量通量

假设被研究的流体为不可压缩流体，其密度ρ为常数，在x方向上作一维流动，将牛顿黏性定律式改写为

其中，

式中，ν为运动黏度或动量扩散系数，m2/s；τ为剪应力或动量通量，；ρu_x为动量浓度，；为动量浓度梯度，。

由式(2.3.18)和各量的单位可以看出，剪应力τ即单位时间(s)通过单位面积(m2)的动量(kg·m/s)，亦可表示为动量通量τ等于运动黏度（动量扩散系数）ν(m2/s)乘以动量浓度梯度的负值。该式的物理意义用文字方程可表示为

(y方向上的动量通量)＝－(动量扩散系数)×(y方向上的动量浓度梯度)

(2)热量通量

对于物系常数k，c_p，ρ均为恒值的导热问题，将傅立叶定律式改写为

其中，

式中，q为热量通量，J/(m2·s)；α为导热系数，可称为热量扩散系数，m2/s；ρc_pt为热量浓度，J/m3；为热量浓度梯度，J/(m3·m)。

由式(2.3.20)和各量的单位可以看出，傅立叶定律说明了热量通量q[J/(m2·s)]等于热量扩散系数α(m2/s)与热量浓度梯度_[J/(m3·m)]乘积的负值。该式的物理意义用文字方程可表示为

(温度梯度引起y方向上的热量通量)＝－(热量扩散系数)×(y方向上的热量浓度梯度)

(3)质量通量

流体物系中一个或几个组分由高浓度区向低浓度区的转移。直接分析费克定律表达式(2.3.17)和各量的物理意义，有

式中，j_A为组分A的质量通量，kg/(m2·s)；D_AB为组分A的质量扩散系数，m2/s；ρ_A为组分A的密度或质量浓度，kg/m3；为质量浓度梯度，kg/(m3·m)。

由式(2.3.17)和各量的单位可看出，费克定律说明了组分A的质量通量j_A[kg/(m2·s)]等于质量扩散系数D_AB(m2/s)与质量浓度梯度[kg/(m3·m)]乘积的负值。该式的物理意义用文字方程可表示为

(浓度梯度引起组分A在y方向上的质量通量)＝－(质量扩散系数)×(y方向上组分A的质量浓度梯度)

通过对三种传递现象的分析，可得到如下结论:

① 由于动量、热量和质量传递的通量，均等于各自的扩散系数与各自量浓度梯度乘积的负值。3种分子传递过程可以用一个普遍表达式现象方程表示为

(通量)＝－(扩散系数)×(浓度梯度)

现象方程中的“负号”表示传递方向与坐标轴方向相同，而梯度与坐标轴方向相反。

② 动量、热量和质量扩散系数ν，α，D_AB具有相同的因次，其单位均为m2/s，可分别用式(2.3.19)、式(2.3.21)和式(2.2.17)的定义。可见，三者的定义式均为微分方程。而动量、热量和质量浓度梯度分别表示该量传递的推动力。

③ 通量为单位时间内通过与传递方向相垂直的单位面积上的动量、热量和质量，各量的传递方向均与该量的浓度梯度方向相反。

2.3.3 物理量的质点导数

在工程中，常常需要研究速度场、压力场、密度场等物理量随时间和空间位置的变化。若场内函数不依赖于矢径r则称为均匀场；反之称为不均匀场。若场内函数不依赖于时间t则称为定常（稳定）场；反之称为不定常（非稳定）场。工程中必须进一步考察运动中的流体质点所具有的物理量N对时间的变化率，例如速度、压强、密度、温度、质量、动量、动能等对时间的变化率为

该变化率称为物理量的质点导数或随体导数。

本小节介绍物理量的质点导数[6,7]，包括拉格朗日法和欧拉法的质点导数、流场各物理量的质点导数、物质积分的随体导数3部分。

2.3.3.1 拉格朗日法和欧拉法的质点导数

(1)拉格朗日法的质点导数

在拉格朗日法中，任一流体质点(a，b，c)的速度对于时间变化率就是这个质点的加速度

(2)欧拉法的质点导数

在欧拉法中，物理量是空间坐标q₁，q₂，q₃和时间t的函数，以速度u＝u(q₁，q₂，q₃，t)为例，它对于时间的导数只表示在固定空间点q₁，q₂，q₃上流体的速度对时间的变化率，而不是某个确定的流体质点的速度对于时间的变化率。

例题2.3.3 用欧拉法来确定流体质点的速度对于时间的变化率。

解：设在t时刻空间点P(x，y，z)上，流体质点速度为u_P＝u(x，y，z，t)，经过时间间隔Δt之后，此流体质点位移一段距离后uΔt，从而占据了P′(x+u_xΔt，y+u_yΔt，z+u_zΔt)点。P′点上这个流体质点速度应为

u _P′ ＝u(x+u_xΔt，y+u_yΔt，z+u_zΔt，t+Δt)

经过Δt时间间隔后，这个流体质点的速度变化了Δu，计算如下

Δu＝u_P′－u_P＝u(x+u_xΔt，y+u_yΔt，z+u_zΔt，t+Δt)－u(x，y，z，t)

用泰勒公式展开上式右侧，并略去高阶小量，得

对速度的增量与时间增量比值求极限，得到该质点的加速度为

用矢量运算符，上式可表示为

欧拉法表示流体质点的物理量对于时间变化率的物理意义。在t时刻流体质点M，从点A(x，y，z)以速度u(x)＝u_x(t)i+u_y(t)j+u_z(t)k携带着某个物理量N(x，y，z)在流场中运动。t+Δt时刻流体质点M到达点B(x+Δx，y+Δy，z+Δz)。

因为流场的不定常性和非均匀性，质点M所具有的物理量N有以下两种变化：

① 时间过去了Δt，由于场的不定常性，速度将发生变化；

② 与此同时M点在场内沿迹线移动了MM′，即空间距离Δs＝Δxi+Δyj+Δzk，由于场的不均匀性也将引起速度的变化。

2.3.3.2 流场各物理量的质点导数

介绍用多元函数求导法则确定质点导数的方法。由于物理量N[x(t)，y(t)，z(t)，t]是多元函数，可以直接运用高等数学的多元函数求导法则，得到质点导数的公式

写成矢量形式

式中，称为物理量N的质点导数（随体导数）。

① 称为当地导数（局部导数或时变导数），其反映了流场不定常性，表示了质点无空间变位时，物理量对时间的变化率。

② (u·Δ)N称为迁移导数（位变导数），其反映了流场的不均匀性。表示了质点处于不同位置时，物理量对时间的变化率；

式(2.3.26)对任何矢量和任何数量都是成立的。对压力场，压力的质点导数为

对密度场，密度的质点导数为

对速度场，速度的加速度是质点导数式

上式实际上就是欧拉法表示的质点加速度的矢量式。

由上两式可见，用一个公式表示数量场的质点导数，而矢量场的质点导数有3个分量。以直角坐标系中速度场u(x)＝u_xi+u_yj+u_zk为例，确定质点导数的算符为

得到速度质点导数（随体导数）的三个分量

在任意正交曲线坐标系中，得到柱坐标系确定质点导数的算符为

在球坐标系确定质点导数的算符为

在下一节介绍任意正交曲线坐标系的相关知识。

2.3.3.3 物质积分的随体导数

在欧拉法的流场中，常常需要考察由流体微团组成的物质线、物质面和物质体上物理量的变化。在场论和张量中，曾介绍了一些由流体微团组成的物质线、物质面和物质体上的物理量。例如，在物质线上定义的速度环量，在物质面上定义的速度通量，在物质体上定义的质量、动量等。它们也都是空间和时间的函数，随着时间的变化，连续介质的物质线、物质面和物质体不断改变自己的位置和形状，并维持其连续性。因而，在这些流动的几何体上，定义的物理量也在不断的改变其数值。时间和空间改变的两种因素都将使速度环量、速度通量、质量、动量等物理量随时间不断改变其值。描述这些物理量变化的量就是物质积分的随体导数．

聚合物流变学描述聚合物流体的变形要用到物质积分的随体导数。有必要介绍线积分、面积分和体积分的随体导数。学习了流体微团运动速度的分解有关知识，比较容易讨论线积分、面积分和体积分的随体导数，这里没有严格的推导，读者可参阅有关文献[6]。

本小节介绍物质积分的随体导数，包括线段元、面积元和体积元的随体导数与线积分、面积分和体积分的随体导数两部分。

(1)线段元、面积元和体积元的随体导数

为了和随体导数、偏导数的符号区分，下面用线段元δr、面积元δS和体积元δV讨论随体导数，其中δ是对空间的微分。取一由流体微团组成的线段元δr＝r－r₀，它的随体导数为