2.2 二阶张量

在外力或外力矩作用下，聚合物流体会流动和（或）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生相应的应力。应力通常定义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa(1Pa＝1N/m2)或MPa(1MPa＝106Pa)。牛顿流体的应力状态比较简单。但是，在聚合物流变过程中，聚合物液体既有黏性形变，又有弹性形变，其内部应力状态相当复杂。要全面描述非牛顿流体内部的黏弹性应力及其变化情形，需要引入应力张量的概念。在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。

工程中三维空间的不少物理量有三个方向，需要用三个矢量，即九个数量来表示这种量就是张量。张量是矢量概念的推广。张量的一个重要特点是它所表示的物理量和几何量与坐标系的选择无关。但是，在某些坐标系中，张量就由其分量的集合确定，而这些分量与坐标系有关。张量可将三维空间工程传递过程的控制方程写成有意义的简单形式。

在矢量分析的基础上，本节首先介绍二阶张量概念，从三维空间的正交变换介绍二阶张量的代数运算和二阶张量。本节分为2小节，包括二阶张量的性质、基本运算[4-9]。

2.2.1 二阶张量的性质

全面描述聚合物流体内部的黏弹性应力及其变化情形，需要学习掌握应力张量的基本知识。本小节介绍二阶张量的基本知识[4,7]，包括二阶张量的定义、二阶张量的性质两部分。

2.2.1.1 二阶张量的定义

二阶张量由3个矢量来表示，由9个数的分量组成。在坐标系中，张量由其9个分量的集合确定，当坐标系转动时这9个数量按一定的规律变换，张量所表示的物理量和几何量与坐标系的选择无关。首先以并矢量的概念引入二阶张量。

例题2.2.1 已知矢量a＝a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃和b＝b₁e₁+b₂e₂+b₃e₃。试证明矢量a_ib_j (i， j＝1，2，3)有9个分量[4]。

证明：将坐标系Ox₁x₂x₃转动成为后，有变换式

且有

由上式可见，a_ib_j按(2.2.1)变换规律式变换，ab由三个矢量按照一定规律组成，有9个数量的分量。矢量ab的方阵式可写为

必须注意到，一般ab≠ba。由并矢量引入新的量

式中，e_ie_j是并矢量，不能写为e_je_i。该并矢量称为二阶张量。

例题2.2.2 当坐标系Ox₁x₂x₃转动为，二阶张量的9个分量就要发生变化，运用坐标变换的矢量变换式，推导二阶张量T_ij和的变换关系式[4]。

解：现将以矢量坐标变换知识加以推广。

① 首先找出朝轴的正方向通过新的侧面上单位面积的力与原来的力T_i之间的关系。由式(2.2.3)分别可得

② 利用矢量的变换式＝β₁₁a₁+β₁₂a₂+β₁₃a₃，把分别向轴投影，把β₁₁T₁+β₁₂T₂+β₁₃T₃分别向x₁，x₂，x₃轴投影，可得到的变换式

用同样的方法可找到其余8个分量的变换式。以上过程也可以统一推导如下。把式(2.2.4)写成统一的形式

把上式两边都看作矢量a，分别代入式的两边，得

可删除求和符号，直接用循环下标表示求和，缩写为

式(2.2.5a)和式(2.2.5b)就是二阶张量的变换关系式。请读者注意式中循环下标的写法。

二阶张量的变换关系式表明，如果三维空间的某个物理量要9个数量表示，当坐标系转动后，这9个数量按照式(2.2.5)的规律变换，该物理量就是二阶张量。现在以坐标变换为基础的矢量定义加以推广，来定义张量。

张量定义：设某量T是由9个分量T_kl构成的有序总体，如果从一个直角坐标系Ox₁x₂x₃按照式(2.2.5)变换规律变换到另一个直角坐标系中的9个分量，则该量T称为笛卡尔二阶张量，简称二阶张量。T_kl和称为笛卡尔二阶张量的分量。

推广：如果三维空间的物理量需用3n个数量表达，当正交坐标系转动后，这些数量按以下规律变换

这样的3n个数量的有序集合就是三维空间的一个n阶张量。在这种定义下，标量（数量）是零阶张量，矢量是一阶张量。

二阶张量可简称为张量，常用大写字母T，P，J等符号表示。张量的分量形式常用解析式(2.2.3)或方阵来表示。张量T方阵表示式

两个相等的张量，这两个张量的分量必须分别对应相等。

张量T由3个矢量组成，张量T的矢量表示式为

2.2.1.2 二阶张量的性质

设T＝T_ij是1个二阶张量，若T_c＝T_ji也是一个二阶张量，T_c称为T的共轭张量或转置张量。张量T和T_c的表达式分别为

显然共轭是相互的，将T_c再转置，有

二阶张量T的分量满足T_ij＝T_ji的关系，该张量称为二阶对称张量。对称张量式为

由式(2.2.11)可知，二阶对称张量只有6个独立的分量，且满足T＝T_c的关系。流变学、流体力学、弹性力学中的应力张量和应变张量都是二阶对称张量，δ_ij克罗内克符号也是二阶对称张量。

请读者注意张量T方阵表示式中每一项下标的不同之处和规律。

如果张量T的分量满足T_ij＝－T_ji的关系，该张量称为二阶反对称张量或斜对称张量。反对称张量主对角线元素均为零，只有3个独立分量，且满足T＝－T_c的关系。反对称张量可表示为

单位张量I的分量为δ_ij，其表达式为

例题2.2.3 当坐标系转动时，如果一个张量的分量保持不变，那么称此张量为对这种变换的不变张量。试证明单位张量为不变张量[4]。

证明：将坐标系Ox₁x₂x₃转动成为后，单位张量的分量δ_ij用表示，有

由上式可见，单位张量的分量保持不变，因此单位张量为不变张量。

2.2.2 张量的基本运算

第3章将介绍流变学中应力张量和应变张量，要运用张量的基本运算。本小节没有具体推导张量运算的公式，仅给出了张量基本运算的定义[7]。张量的基本运算包括张量相加减、数量与张量相乘、矢量与张量点积、张量与矢量点积、张量与张量点积5部分。

(1)张量相加减

定义：张量T与张量S之和或差是以(T_ij±S_ij)为分量的张量，即

由定义可知，张量的加法服从交换律和结合律。上述定义可推广到多个张量的相加减。

(2)数量与张量相乘

定义：数量u与张量T的乘积为以uT_ij为分量的张量，即

例题2.2.4 证明任一张量可分解为对称张量与反对称张量之和，该分解是唯一的[4]。

证明：设有任一张量T、T_c为其共轭张量，按照T＝S+A分别作张量S、A为

S＝(T+T_c)/2，A＝(T－T_c)/2

则

S＝S_c，A_c＝－A

这说明S为对称张量，A为反对称张量。这就证明了这种分解的可能性。

再证这种分解的唯一性。假设T＝S′+A′，式中，S′为新的对称张量，A′为新的反对称张量。取上式两边的共轭张量，得

则

这与假设相矛盾，可见按命题要求的分解是唯一的。

(3)矢量对张量点积

定义：矢量a对张量T的点积为矢量

现在证明a·T为矢量。将坐标系Ox₁x₂x₃转动成为后，将矢量a和张量T的变化式代入式(2.2.16)的变换式中，有

上面的结果符合矢量的变换规律，故a·T是矢量。从定义可知矢量对张量的点积服从结合律。矢量对张量的点积常用来表示通过面元的矢量，下一节将介绍。

(4)张量对矢量点积

定义：张量T对矢量a的点积为矢量

同样可以证明，T·a为矢量。从定义可知张量对矢量的点积服从结合律。

(5)张量对张量点积

定义：张量T与张量R的一次点积为张量

读者自己可以证明T·R服从张量变换规律。从定义可知张量与张量的一次点积服从结合律，不服从交换律。

定义：张量T与张量R的二次点积为数量

用张量的定义可证明T∶R为坐标系变换的不变量，即为数量。本节没有介绍矢量对张量的叉乘、张量对矢量的叉乘。有兴趣的读者可参考有关书籍。