第二章　超级任务与一致收敛

2.1　Ross-Littlewood悖论

知乎上曾经有一个有意思的问题，引起了火热的讨论。下面是它的简化版。

如图2.1，我有一个罐子，一开始是空的。在t = 1秒时，我往罐里放10个球（编号1~10），再把1号球拿出来；在t = 2秒时，我把11~20号球放到罐里，再把2号球拿出来；在t = 3秒时，我把21~30号球放到罐里，再把3号球拿出来；以此类推。问：到最后，罐子里有几个球？

图 2.1　最后罐子里有几个球？

当然你可能马上反驳：“最后”是不可能达到的，问题没有意义。但把题目稍加修改，“最后”就可以达到了。

我有一个罐子，一开始是空的。在t = 0.5秒时，我往罐里放10个球（编号1~10），再把1号球拿出来；在t = 0.75秒时，我把11~20号球放到罐里，再把2号球拿出来；在t = 0.875秒时，我把21~30号球放到罐里，再把3号球拿出来；以此类推。问：在t = 1秒时，罐子里有几个球？

直觉告诉我们：每次操作后罐里都会增加9个球，所以最后罐里会有无数个球。但有人却说最后罐子是空的！你信吗？

“最后罐子是空的”这个结论，可以这样推理出来：对于n号球，它将在第n步被拿出来，所以最后它不在罐子里。上面这句话对于任意的n都成立，因此最后罐子是空的。

原来，这道题目描述的放球、取球过程，是一个超级任务。超级任务指的是步骤无限多，却要在有限时间内完成的任务。研究超级任务完成时的状态问题时，很容易产生悖论。上面的问题，就是有名的Ross-Littlewood悖论。