1.3 把椭圆“捏”成圆_你没想到的数学-QQ阅读男生科幻网

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1.3　把椭圆“捏”成圆

可以注意到图1.5中弧、、、、所对的“椭圆周角”（角、、、、）都是相等的，等于 $\arctan(1/n)$ 。弧与对称，也可以让它对应“椭圆周角” ACB ，这个角也等于 $\arctan(1/n)$ 。联想到圆中有“等弧所对圆周角相等”的性质，而椭圆中没有，于是想到如果把椭圆“捏”成圆，会不会有意外发现？

将图1.5整体在横向上压缩到原来的 $1/\sqrt{n}$ 倍，则椭圆就变成了单位圆，如图1.6所示。

图 1.6　把椭圆“捏”成单位圆

这样一压缩，线段、、的斜率就都从 -1/n 变成了 $-1/\sqrt{n}$ ，各段圆弧（除了）所对的圆周角也都变成了 $\arctan(1/\!\sqrt{n})$ 。现在可以利用“等弧所对圆周角相等”了——这些圆弧的长度，都等于这个圆周角的2倍，即 $2\arctan(1/\sqrt{n})$ 。

滑块的碰撞，可以看成从单位圆上不断切下一段长度为 $2\arctan(1/\sqrt{n})$ 的圆弧，直到剩余部分长度不超过 $2\arctan(1/\sqrt{n})$ 为止。而整个单位圆的周长是 $2\pi$ （注意 $\pi$ 出现了！），于是可以得到总的碰撞次数：

$\left\lceil \cfrac{2\pi}{2\arctan(1/\sqrt{n})} \right\rceil-1\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1.4)$

这里的取整符号看起来较复杂，实际想要达到的效果是，一般情况（不能整除时）向下取整，特殊情况（能整除时）取商再减一。请读者自行验证。

由式(1.4)可以算出，当两个滑块质量相等时， $\arctan(1/\sqrt{n}) = \pi/4$ ，碰撞总次数为3。而当两个滑块质量悬殊时， $1/\sqrt{n}$ 会很小，此时 $\arctan(1/\sqrt{n})$ 可以直接用 $1/\sqrt{n}$ 来近似表示，于是碰撞总次数约为 $\lfloor \sqrt{n} \,\pi \rfloor$ 。当两个滑块的质量之比是100的幂时， $\sqrt{n}$ 就是10的幂，这就解释了碰撞总次数为什么会恰好是 $\pi$ 去掉小数点后的前若干位。