1.4　车辆路径问题

1.4.1　车辆路径问题的研究背景及意义

物流运输作为物流业的重要环节，连接着生产、消费、各企业、各部门、各城乡，使整个社会得以运转，而物流中的交通运输费用在物流总成本中占比大于50%。我国物流行业发展较晚，一些物流企业为消费者供应货物时，送货司机多数是根据自己的主观经验来选择物流运输路线，未制定合理的路径规划决策，导致物流运输效率降低，物流运输成本升高。如果消费者所在节点比较分散，运输路径网络十分复杂，再者一些消费者对配送的时效性要求较高，在路径规划问题中，仅仅依靠配送人员的经验，必然存在配送效率降低导致物流成本增加的问题。因此，合理地降低运输费用、优化运输系统、提高物流管理水平和效率，已经成为企业提高经济效益、加强国际竞争力的重要手段，对现代物流业的发展具有很强的现实意义。

运输路径的优化决策就是要找到运输网络中的最佳路线，尽可能地缩短运输距离或运输时间，以降低运输成本、提高服务质量。在此基础上，把涉及不同因素的问题抽象出来进行建模，形成车辆路径问题（vehicle routing problem，简记为VRP）。由于车辆路径问题较为复杂，涉及组合优化、管理科学、计算机、运筹学等多学科知识，依据国内外相关文献，车辆路径问题已被证明为NP-hard问题。从标准的车辆路径问题延伸出来的各种类型问题也为NP-hard问题。通过对涉及不同因素的车辆路径问题进行建模，可以求解许多现实问题，甚至是考虑了各种因素的组合问题。有时，各种因素相加的重要性很可能已经超过运输成本。因此，在考虑不同因素的条件下，如何选择合理的运输路径，是如今研究的关键。

1.4.2　车辆路径问题的定义及分类

一般情况下，我们将车辆路径问题描述为：对于一系列收货点或发货点，形成合理的行车路径，使车辆有序地通过这些点，在满足一定约束条件（如车辆容量限制、货物需求量、发货或收货时间、距离限制等）的前提下，达到一定目标（如行驶路径最短、时间最短、成本最小、利润最高等）。

标准的车辆路径问题通常指有装载能力限制的车辆路径问题（capacitated VRP，简记为CVRP），^[19]即对每一部服务的车辆有一个最大装载能力的限制。它是最基本的车辆路径问题，其他的车辆路径问题的变形问题都是基于此展开的。

在实际应用中，根据影响因素和约束条件的不同，可以将车辆路径问题分为不同类型。随着车辆路径问题研究的深入，很多实际问题的解决不能单纯地归为某一类，更多的是结合了多种约束条件的组合问题。

（1）目标函数约束

根据所需优化目标的数量，将车辆路径问题分为单目标车辆路径问题和多目标车辆路径问题。^[20]优化的目标通常包括：行驶路径最短、行驶时间最短、成本最低、利润最高、消费者满意度最优等。

（2）时间窗约束

在标准车辆路径问题的基础上，添加时间约束，要求车辆对服务点的服务只能在时间窗内完成，称为带时间窗的车辆路径问题（VRPTW）。^[21-22]根据时间窗的性质，问题又可以分为两类。第一，硬时间窗车辆路径问题要求车辆对每个消费者的服务必须在指定的时间窗口内完成；若不能完成，则对应的解为非可行解。第二，软时间窗车辆路径问题允许车辆对每个消费者的服务不在指定的时间窗内完成，但若超出相应的时间窗口，则需要对解的目标函数给予一定的惩罚。

（3）服务点优先约束

将服务点分为不同等级，等级较好的服务点可以优先获得配送服务或收集服务。

（4）需求特征约束

根据消费者需求特征的不同，分为纯送货车辆路径问题、纯取货车辆路径问题和集取送货为一体的车辆路径问题。同时，如果消费者需求是随机分布的，则称为随机车辆问题^[23]；如果消费者需求具有一定的统计规律，则称为模糊车辆路径问题。^[24]

（5）需求来源约束

消费者需求的来源，可能是集中的也可能是分散的，依据消费者需求来源的不同，分为单一来源车辆路径问题和需求分割车辆路径问题。

（6）车辆路线特征约束

车辆路线特征标准主要描述车辆路线是闭合的哈密尔顿巡回，还是非闭合的哈密尔顿路径。^[25]前者为封闭式车辆路径问题，后者为开放式车辆路径问题（OVRP）。

（7）车场点特征约束

依据问题中车场点是否唯一，分为单车场车辆路径问题^[26]和多车场车辆路径问题。

（8）车辆特征约束

在实际应用中，服务车辆类型会有所不同。^[27]在一个问题中只选用一种类型车辆称为单车型车辆路径问题，选用多种不同类型车辆称为多车型车辆路径问题。

（9）道路网络特征约束

以双向权重不相等的边是否存在于道路网络为基础，可将车辆路径问题分为对称车辆路径问题及非对称车辆路径问题。

（10）车辆载货能力约束

依据服务车辆是否必须满载服务的要求，可分为满载车辆路径问题和非满载车辆路径问题。

1.4.3　车辆路径问题的求解方法

求解车辆路径问题的算法可以分为精确算法和启发式算法两大类。

精确算法主要包括分支定界法（branch and bound approach）、动态规划法（dynamic programing approach）、割平面法（cutting planes approach）、网络流算法（network flow approach）等。这几类算法均已成功应用于车辆路径问题，但是精确算法的计算量随问题的复杂程度提高呈指数级增长。小规模车辆路径问题的求解可以运用精确算法实现，研究表明，对于超过50个消费者点的车辆路径问题，精确算法并不能求得问题的最优解。^[28]因此，利用问题的特定信息在中等计算时间内获得车辆路径问题的近似解或满意解的启发式算法成为学者们研究的重点。

启发式算法又分为启发式算法或智能优化算法，常见的传统启发式算法如下。

（1）节约法（savings heuristic）将每条只含一个配送点的n条路线作为初始解，其中，每条路线中第一个和最后一个配送点分别称为路线的起点和终点。考察一条路线的起点与另一条路线的终点相连合并成一条新的路线。

（2）最近邻算法（nearest neighbor heuristic）是一种序列构造路线法，算法从一条只含一个配送点的路线出发，在未分配点中筛选出可加入点，并从可加入点中选取一个点作为当前路线的终点，使路线的成本最少。

（3）插入式算法（insertion heuristic）的流程与最近邻算法相似，也是从初始路线出发，序列构造路线，并在不存在可行插入时新增一条初始路线。插入式算法的关键是选择最合适的未分配点，在路线中进行最佳位置的插入。

（4）扫除算法（sweep heuristic）是一种“先分组后路线”的算法，即分配给每辆车一组点。一种简单的分组方法是将以车站为原点的坐标平面划分为多个扇形区域，然后在每个区域内，采用扫除算法选择未分配点，再应用插入式算法扩充路线。

（5）两阶段法（two-phase algorithm）。

这些传统启发式算法依赖于初始解的生成，并不断调整初始解来求得问题最优解。对于小规模问题，操作简单，求解速度快，但容易陷入局部最优解，提前收敛，应对大规模问题时难以成功求解。

相比于传统启发式算法，智能优化算法的产生受自然现象的启发，充分发挥了搜索的随机性优点，易于实现，参数少且适应性强。例如模拟退火算法（simulated annealing algorithm，简记为SA）是模拟物理退火过程，使接受较差解的概率随温度降低而逐渐变小，可以尽快跳出局部极值；^[29]遗传算法（genetic algorithm，简记为GA）是模拟生物遗传机制，通过选择、交叉、变异过程实现种群进化；^[30]禁忌搜索算法（tabu search algorithm，简记为TS）设计了一个“禁忌表”，将较差解放在禁忌表中，避免重复搜索，也是一种跳出局部极值的搜索策略；^[31]依据蚂蚁觅食过程开发的蚁群优化算法（ant colony algorithm，简记为AC），模拟蚂蚁在寻找食物过程中释放信息素并留在路径上的过程来寻找最优路径；^[32]还有模拟鸟类生存机制的粒子群算法（particle swarm optimization，简记为PSO）等。^[33]早在1989年Willard^[34]就采用禁忌搜索算法求解车辆路径问题，取得了初步进展；1993年Osman^[35]将模拟退火算法和禁忌搜索算法结合，通过使用更好的初始解，自适应调整算法参数，以搜索更大的求解空间，且融合复杂的降温算法求解车辆路径问题，取得了不小的进展，展示了算法良好的性能。随着车辆路径问题研究的深入，文献[36-38]显示在运用启发式算法求解车辆路径问题方面取得了较大进展。