初版前言
一、《九章筭术》及刘徽注、李淳风等注
《九章筭术》九卷，《算经十书》 [1] 之一，是中国古典数学最重要的著作，历来被尊为算经之首。它奠定了中国古典数学的基本框架，不仅是数学成为中国古代最为发达的基础科学学科之一的代表作，而且深刻影响了此后二千余年间中国和东方的数学发展。它的成书既标志着中国（还有后来的印度和阿拉伯地区）取代地中海沿岸的古希腊成为世界数学研究的中心，也标志着以研究数量关系为主、以归纳逻辑与演绎逻辑相结合的算法倾向取代以研究空间形式为主、以演绎逻辑的公理化倾向，成为世界数学发展的主流。
《九章筭术》共分九章：（1）方田——刘徽说“以御田畴界域”，有各种面积公式，还有世界上最早的分数四则运算法则；（2）粟米——刘徽说“以御交质变易”，是以今有术为主体的比例算法；（3）衰分——刘徽说“以御贵贱禀税”，是比例分配算法，以及若干异乘同除问题；（4）少广——刘徽说“以御积幂方圆”，是面积与体积的逆运算，最重要的是提出了世界上最早的开平方与开立方程序；（5）商功——刘徽说“以御功程积实”，是各种体积公式和土方工程工作量的分配算法；（6）均输——刘徽说“以御远近劳费”，是赋税的合理负担算法，及各种算术难题；（7）盈不足——刘徽说“以御隐杂互见”，是盈亏类问题的算法及其在其他数学问题中的应用；（8）方程——刘徽说“以御错糅正负”，是现今之线性方程组解法与正负数加减法则；（9）勾股——刘徽说“以御高深广远”，是勾股定理、解勾股形、勾股容方、勾股容圆以及简单的测望问题。它含有近百条十分抽象的术文即公式、解法，以及246个例题。其中分数理论，比例和比例分配、盈不足、开方等算法，线性方程组解法，正负数加减法则及解勾股形方法等，都超前其他文化传统几百年甚至千余年，是具有世界意义的重大成就。
《九章筭术》成书之后，中国古典数学著述基本上采取两种方式，一是以《九章筭术》为楷模撰著新的著作，一是为《九章筭术》作注，两者都取得了杰出的成就 [2] 。历史上到底出现过多少种注释《九章筭术》的著作，已不可考。目前学术界公认最重要的并且在不同程度上传世的有三国魏景元四年（263）的刘徽注，7世纪初唐李淳风等的注释，11世纪上半叶北宋贾宪的《黄帝九章筭经细草》 [3] ，以及南宋景定二年（1261）杨辉的《详解九章筭法》。前二者与《九章筭术》一体行世。因此，人们常说的《九章筭术》，有狭义和广义两种涵义。狭义地说，仅指西汉张苍（？—前152）、耿寿昌（前1世纪）等编纂的《九章筭术》本文。广义地说，还包括刘徽注与李淳风等的注释。一般说来，言《九章筭术》的编纂、成就、特点等，常用狭义的涵义，而言《九章筭术》的版本、校勘等，则常用广义的涵义。
刘徽注是现存最早、成绩最大的对《九章筭术》的注解。刘徽以演绎逻辑为主要方法全面证明了《九章筭术》的算法，奠定了中国古典数学的理论基础，他还在世界数学史上首次在数学证明中引入极限思想和无穷小分割方法。刘徽注的完成标志着中国古典数学发展到一个新的阶段。
李淳风等《九章筭术注释》是李淳风与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等共同撰写的，完成于唐显庆元年（656）。
《九章筭术》在中国古代历来被公认为算经之首。明末之前，注释《九章筭术》的著作在中国古典数学著作中占有相当大的比重。自戴震在1774年从《永乐大典》中辑录出《九章筭术》并加整理起，推衍《九章筭术》又成为清中叶之后中国古典数学复兴的重要方面。20世纪10年代新文化运动之后，对《九章筭术》的研究则成为中国数学史学科最为关注的课题，李俨、钱宝琮等学者都作出重大贡献。70年代末开始，国内外出现了研究《九章筭术》与刘徽的高潮，参加人数之众，发表论文和文章之多，出版著作之夥，研究成果之大，不仅是中国数学史学史上没有过的，而且在中国科学技术史学史上也是没有过的。科学技术史界常称为“《九章》与刘徽热”。这一热潮不仅彻底破除了自1964年钱宝琮主编的《中国数学史》出版以后 [4] ，困惑中国数学史界十几年的“中国数学史已经搞完了，没有什么可搞了”，“是‘贫矿’”的成见，而且引起国外学者的重视，开始改变对中国古典数学成就和中国数学史研究现状的不公正看法。近30年来，欧美国家派学生来留学，开展合作研究，多以《九章筭术》为主攻课题。
二、《九章筭术》的体例与编纂
（一）《九章筭术》的体例
《九章筭术》之名在现存资料中最先见之于东汉灵帝光和二年（179）的大司农斛、权的铭文中：
依黄钟律历、《九章筭术》，以均长短、轻重、大小，用齐七政，令海内都同。 [5]
这丝毫不意味着它在东汉才成书。事实上，它在公元2世纪已成为制造度量衡器的经典，因此，它的编纂成书要早得多。
为了解决《九章筭术》的编纂问题，首先要分析它的体例。
许多人说《九章筭术》是一部应用问题集。一般说来，“应用问题集”的提法没有多少问题。但是，如果这一提法会引起误解，那就另当别论了。一个明显的事实是，许多没有读过《九章筭术》或者读过而不求甚解的人便从“《九章筭术》是一部应用问题集”的提法出发想当然地得出《九章筭术》都是一题、一答、一术，而且“术”都是应用问题的具体解法，因而没有数学理论的看法。这根本不符合《九章筭术》的实际情况，因而是十分错误的。
关于《九章筭术》的术文与题目的关系，大体说来有以下几种情形 [6] ：
1. 一类问题的抽象性术文统率若干例题
这类内容往往是一术多题或一术一题。这是《九章筭术》的主体部分所采取的形式。这里又有不同的情形：
（1）给出一个或几个例题，然后给出一条或几条抽象性术文；例题中只有题目、答案，没有具体演算的术文。比如方田章列出3个例题后给出了合分术（见本书此处 ），此术是这3个例题共有的，而不是哪个例题特有的。有的著述从《九章筭术》都是“一题、一答、一术”的偏见出发，把合分术说成是方田章第9题的术文，显然是不恰当的。《九章筭术》的方田章的全部，粟米章的2条经率术、其率术、反其率术，少广章的开方术、开圆术、开立方术、开立圆术，商功章除城、垣、堤、沟、堑、渠术与刍童、曲池、盘池、冥谷术之外的内容，均输章的均输粟术、均输卒术、均赋粟术等四术，盈不足章的盈不足术、两盈两不足术、盈适足不足适足术等5术，勾股章的勾股术、勾股容方、勾股容圆、测邑5术等，都属于这类情形，共有73术，106个例题。
（2）先给出抽象的术文，再列出几个例题；例题只有题目、答案，亦没有演算术文。商功章城、垣、堤、沟、堑、渠术及其例题（见本书此处 ），刍童、曲池、盘池、冥谷术及其4个例题（见本书此处 ），都属于这种情形。共2术，10个例题（商功章还有6术及其例题附于其中的题目之后，未计在内）。
（3）先给出抽象性的总术，再给出若干例题；例题包含了题目、答案、术文三项，其中的术文是总术的应用。粟米章今有术及31个粟米互换例题，衰分章的衰分术、返衰术及其9个例题，少广章少广术及其11个例题，盈不足章使用盈不足术解决的11个一般数学问题，以及方程章方程术、正负术、损益术及其18个例题，共7术（盈不足术等5术不再计算在内），80个例题。
这三种情形共82术，196道题目，约占全书的80%。在这里，术文是中心，是主体，题目是作为例题出现的，是依附于术文的，而不是相反。术文都是非常抽象、严谨，具有普适性，换成现代符号就是公式或运算程序。因此，我们将之称为术文统率例题的形式。
2. 应用问题集的形式
这类内容往往是一题、一答、一术。其术文的抽象程度也有所不同：
（1）关于一种问题的抽象性术文。比如均输章“凫雁”问，其术文（见本书此处 ）虽未离开日数这种对象，但没有具体数字的运算，可以离开题目而独立存在，将凫、雁换成其他的鸟类或运动的器物，将南海、北海换成其他的地点，将七、九换成其他数字，都可以应用这条术文。就是说，它对同一种问题都是适应的。在均输章此问之下，长安至齐、牝牡二瓦、矫矢、假田、程耕、五渠共池等的术文，勾股章的持竿出户等问也都是这类性质的术文。此外，粟米章今有术的31个例题和衰分章衰分术、返衰术的9个例题的术文，也都有一定的抽象性。
（2）具体问题的算草。《九章筭术》中衰分章的非衰分题目，均输章的非均输类的大部分题目，勾股章的解勾股形题目及“立四表望远”等4个题目都是如此，所有术文都以题目的具体数字入算，是不能离开题目而独立存在的。
《九章筭术》采取应用问题集形式的部分共有50个题目（今有术、衰分术、返衰术所属的40个例题当然不计在内），全部是衰分章的非衰分类问题，均输章的非典型均输类问题，以及勾股章的解勾股形和立四表望远等问题。显然，这些内容都是以题目为中心的，术文只是所依附的题目的解法甚至演算细草，计算程序是正确的，尽管第（1）种的术文，对某一种问题具有普适性，却不具有《九章筭术》大多数术文那样高度的抽象性、广泛的普适性等特点。
不言而喻，不宜将《九章筭术》笼统地归结为“应用问题集”，更不能说它都是“一题、一答、一术”。“一题、一答、一术”反映了《孙子筭经》等著作的情况，而不符合《九章筭术》的实际。我们认为，数学史上起码存在过三种不同体例的著作，一是像欧几里得《几何原本》那样，形成一个公理化体系；一是像丢番图的《算术》那样的应用问题集，正如德国数学史家汉克尔所说的，研究了丢番图的100个问题后，去解第101个问题，仍然感到困难，中国的《孙子筭经》等著作也是如此；显然，《九章筭术》的主体部分，既不像欧几里得的《几何原本》，也不像丢番图的《算术》和中国的《孙子筭经》等，而是第三种体例，即以算法（术）为中心，算法统率例题的形式。
由上面的分析不难看出，《九章筭术》的术不是一个层次的。它起码可以分成三个不同的层次：
第一个层次是一类问题的术，尽管其表达方式有差异，却有几个共同特点：术文是中心，是主体，题目依附于术文，作为例题出现；作为中心的术文非常抽象、严谨，具有普适性，换成现代符号就是公式或运算程序。
第二个层次是一种问题的比较抽象的术。
第三个层次是具体问题的算草。
这些抽象的和比较抽象的术文，当然是数学理论的体现。有的著述笼统地说《九章筭术》共有多少多少术，不作具体分析，不仅没有什么意义，而且会误导读者。
（二）《九章筭术》的编纂
关于《九章筭术》的编纂，不仅涉及《九章筭术》本身，而且涉及某些历史人物的定位，还关系到对先秦数学的认识，是中国数学史研究中的重大问题。
1. 《九章筭术》编纂诸说
关于《九章筭术》的编纂与成书年代，历代学者说法不一，在20世纪还一直争论不休，归纳起来，主要有以下几种说法：
（1）刘徽的西汉张苍、耿寿昌在先秦遗文基础上删补而成说刘徽《九章筭术序》说：
周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善筭命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。
这就是说，“九数”在先秦发展成《九章筭术》，因暴秦焚书而散坏，西汉张苍、耿寿昌收集遗文，先后删补而成为现在的《九章筭术》。在现存资料中，这是关于《九章筭术》编纂的最早记载。
（2）西周初周公所作
唐初王孝通《上缉古筭经表》说：“昔周公制礼而有九数之名，窃寻九数即《九章筭术》是也。” [7] 南宋鲍澣之、清屈曾发等亦持这种看法。显然，这是将刘徽的“九数之流，则《九章》是矣”修正成“九数”就是《九章筭术》而得出的看法。
（3）黄帝、隶首所作
唐赝本《夏侯阳筭经》说：“黄帝定三数为十等，隶首因以著《九章》。” [8] 北宋贾宪著《黄帝九章筭经细草》，其书名冠以“黄帝”，当然亦认为《九章筭术》系黄帝或隶首所作。南宋荣棨、元莫若等皆持此说。
（4）否定张苍删补《九章筭术》，西汉中叶之后成书诸说
清戴震说：“今考书内有长安、上林之名。上林苑在武帝时，苍在汉初，何缘预载？知述是书者，在西汉中叶后矣。” [9] 戴震此说一出，张苍未参与删补《九章筭术》，似成定论。尽管钱宝琮发现汉高祖时已有上林苑 [10] ，然而他并未由此推翻戴震的看法，反而将《九章筭术》的成书时代更向后推，定在公元1世纪下半叶 [11] 。此后论者多在西汉中叶至东汉中叶之间各抒己见。有西汉中叶齐人所作说，有公元前1世纪成书说，有公元元年前后新莽时刘歆完成说，有公元1世纪下半叶成书说，也有马续编纂《九章筭术》说。其中影响比较大的是钱宝琮的看法与近年李迪提出的刘歆完成说 [12] 。
第（2）、（3）种说法是不必认真对待的，值得重视的是第（1）、（4）种说法。
我们认为刘徽的说法最为可靠。第（4）种说法的各种见解尽管有不同程度的考证，但都不足以推翻刘徽的论断；相反我们有充分证据说明刘徽的话是言之有据的。
为了正确解决这个问题，有一个态度问题必须首先解决。这就是，今天的研究者不能将刘徽关于《九章筭术》编纂的论述与近人、今人关于《九章筭术》成书的一些猜测放在同等的地位上来考察。只有首先驳倒刘徽，才能再考虑其他的说法。因为刘徽的话是在《九章筭术》成书三四百年后，而戴震等人的话则在二千多年之后。刘徽去古未远，他不仅能师承前贤关于《九章筭术》编纂的可靠说法，而且能看到比近人、今人多得多的资料。如果找不到刘徽的话与历史事实有矛盾之处，就只能相信刘徽的话，其他的说法都是无稽之谈。为了彻底解决这个问题，我们要着重分析“九数”与《九章筭术》的关系，以及《九章筭术》所反映的物价所处的时代。
2. “九数”与《九章筭术》
（1）“九数”本事
不管人们对《九章筭术》编纂的看法多么相左，但都不否认《九章筭术》与“九数”有联系。“九数”见之于《周礼》。《周礼·地官·司徒》云：
保氏掌谏王恶而养国子以道，乃教之六艺。一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。 [13]
东汉郑玄（127—200）引郑众（？—83）《周礼注》曰：
九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。
唐陆德明认为“夕桀”系衍文。郑众认为方田至旁要是先秦固有的数学门类，重差、勾股是汉代发展起来的。
（2）先秦典籍与“九数”
从春秋战国之交起，铁器在手工业和农业中的使用越来越普遍，大大促进了生产力的发展。王权衰微，整个社会经历着大变革，经济关系和政治结构也不断在改革。商、西周普遍实行的井田制开始解体。齐桓公时实行按亩征收租税，鲁在宣公十五年（前594）宣布实行“初税亩”，履亩而税的实物租税制逐步取代力役租税制。这就需要准确测算耕地面积，当然会促进面积计算方法的进步，同时，比例和比例分配方法也会因此而发展。战国时代，农业、手工业和商业得到更大发展。与此相适应，春秋战国时期的思想文化和学术也发生了变革。春秋时期“学在官府”的局面被打破，学术下移，畴人四散，私学兴起。到战国时期，思想界出现了百家争鸣的繁荣局面。诸子互相辩诘，促进了学术的发展，提高了人们的抽象思维能力。这些都直接或间接刺激了数学的发展。西周初年的“九数”发展到春秋战国，从内容到方法，都发生了大的飞跃，成为二郑所说的九个分支。而且九个分支所属的算法大都是抽象性比较高的，是先秦人们抽象思维能力较强的反映。《左传》有两次筑城的记载，一次是宣公十一年（前598），“令尹
艾猎城沂，使封人虑事，以授司徒。量功命日，分财用，平板干，称畚筑，程土物，议远迩，略基趾，具
粮，度有司。事三旬而成，不愆于素”。一次是昭公三十二年（前510）：“己丑，士弥牟营成周，计丈数，揣高卑，度厚薄，仞沟洫，物土方，议远迩，量事期，计徒庸，虑财用，书
粮，以令役于诸侯。属役赋丈，书以授帅，而效诸刘子。韩简子临之，以为成命。” [14] 其中“具
粮”、“书
粮”涉及粟米问题，“分财用”、“虑财用”要用到衰分方法，“程土物”、“物土方”、“仞沟洫”要用到商功类的体积计算方法甚至是测望方法，而“议远迩”、“计徒庸”、“量功命日”还要用到包括均输在内的其他数学方法。中国古典数学与生俱来的密切联系实际的特点在这两次筑城中也得到充分的体现。
实际上，先秦典籍和出土文物中还有若干九数内容的蛛丝马迹。比如《管子·问篇》云“人之开田而耕者几何家” [15] ，《商君书·算地》说“今世主欲辟地治民而不审数，臣欲尽其事而不立术，故国有不服之民，生有不令之臣” [16] ，都要用到“方田”计算各种形状的田地的方法。《管子·小匡》载管仲答桓公云“相地而衰其政，则民不移矣”，按不同田地的好坏分等收税自然是衰分问题。井田制虽然瓦解，但以正方形来衡量田地的面积是最直观的。当土地不是正方形时，则要截长补短化为正方形。如《墨子·非攻》载墨子说古者汤封于亳，文王封于岐周，都是“绝长继短，方地百里” [17] ，《孟子·滕文公上》云“今滕绝长补短，将五十里也” [18] 。这是少广术的内容，并进而讨论乘方的逆运算——开方法。《管子·度地》谈到水土工程时，说春分之后，“夜日益短，昼日益长，利于作土功之事”，所以人们要区分四季的“程功”。“均输”并不是汉武帝太初元年开始实行的，《周礼》“均人掌均地政、均地守、均地职、均人民牛马车辇之力政”，显然是均输的思想。《管子》云“上下相命，若望参表，则邪者可知也”，应是旁要的方法。
学术界公认，《筭数书》的绝大多数问题是秦和先秦的 [19] ，其中有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足等类型的问题，还使用了“正算”和“负算”等概念说明医生治病的问题。岳麓书院所藏秦简《数》也有类似的内容 [20] 。
（3）“九数”与《九章筭术》
先秦“九数”与《九章筭术》的章名相比较，只有差分、赢不足、旁要三项有异，后者分别作衰分、盈不足、勾股。其中前两者含义无疑是一样的：“衰”和“差”都是不同差别等级之义，“赢”和“盈”都是多余的意思，它们可以分别互训。“旁要”和“勾股”的名称差异较大，但据北宋贾宪的提示，旁要包括勾股术、勾股容方、容圆和简单的测望问题（主要是测邑方诸问）等内容 [21] 。
前面关于《九章筭术》体例的分析说明，其中采取术文统率例题形式的三种情形共82术，196问，覆盖了方田、粟米、少广、商功、盈不足、方程等六章的全部，和衰分、均输章的衰分、均输问题，以及勾股章的勾股术、勾股容方、勾股容圆、测邑亦即所谓“旁要”问题。而采取应用问题集形式的内容是余下的衰分章的非衰分类问题、均输章中的非均输类问题，以及勾股章解勾股形和立四表望远等问题。这部分内容不仅体例、风格与术文统率例题的部分完全不同，而且衰分章、均输章中这些题目的性质与所在章的篇名也不协调，不伦不类，有明显的补缀性质，编纂思想也有较大的差异。那么若将《九章筭术》衰分章剔除非衰分类问题、均输章剔除非均输类问题、勾股章剔出解勾股形和立四表望远等问题这三部分应用问题集形式的内容，并将卷九恢复“旁要”的篇名，则余下的内容全部采取术文统率例题的形式，其内容不仅完全与篇名相符，而且与二郑所说的“九数”惊人的一致。这无可辩驳地证明，郑众所说的“九数”在春秋战国时期确实存在，刘徽所说的“九数之流，则《九章》是矣”，是言之有据的。换言之，在先秦，确实存在着一部由“九数”发展而来的以传本《九章筭术》的主体部分为基本内容，主要采取术文统率例题的形式的《九章筭术》。
由此可以看出，“九数”是不断发展变化的。这里有两方面的含义，一是每一“数”的内容不断发展提高，一是“九数”的类别在不断变化，甚至增加，比如据郑众说，汉代就增加了勾股、重差二类。张苍、耿寿昌整理《九章筭术》时将解勾股形问题并入“旁要”，并改名为“勾股”。因此，虽然我们无法知道周初“九数”的全部内容，但是可以肯定的是，它既不会是郑众所释的这9项，也不可能具备春秋战国“九数”那么高深的成就。因为由上面对《九章筭术》的分析可以看出，春秋战国的“九数”已经达到相当高的包含若干领先于世界数坛的成就。一般说来，西周初年数学可能有其中某些内容，但不可能在大多数领域达到这种水平。
3. 《九章筭术》所反映的物价所处的时代
日本堀毅关于《九章筭术》中的物价所反映的时代的考证 [22] ，为刘徽关于《九章筭术》编纂的说法提供了佐证。我们引录堀毅的论述，并作了某些修正 [23] ，其结果如下：
粟的价格：《盐铁论》、《汉书》及居延汉简等文献的记载是85钱/石—150钱/石，只有《史记》记载文帝时为10余钱/石，《九章筭术》的价格为10钱/石—20钱/石（均输章第3、4问）。
黍的价格：居延汉简载110钱/石—150钱/石。《九章筭术》方程章第18问为60钱/石。
麦的价格，居延汉简载90钱/石—110钱/石。《九章筭术》方程章第18问为40钱/石。
米的价格：《史记》、《汉书》记载2 000钱/石—10 000钱/石。而由《九章筭术》的粟的平均价14.7钱/石换算成的粝米价为24.5钱/石。
马的价格：《史记》、《汉书》、居延汉简等记载9 000钱/匹—1 000 000钱/匹，《史记》、居延汉简另一些资料的记载4 000钱/匹—6 000钱/匹。《九章筭术》方程章第11问为
钱/匹，方田章乘分术刘注为3 750钱/匹。
牛的价格：《史记》、居延汉简记载800钱/头—3 000钱/头。《九章筭术》盈不足、方程章为
钱/头—3 750钱/头。
羊的价格：《史记》、居延汉简等记载600钱/只—1 500钱/只。《九章筭术》盈不足、方程章为150钱/只—
钱/只。
犬的价格：居延汉简等记载500钱/只—600钱/只。《九章筭术》盈不足、方程章为100钱/只—121钱/只。
豕的价格：《史记》、居延汉简的记载450钱/头—600钱/头。《九章筭术》盈不足、方程章为300钱/头—900钱/头。
布的价格：居延汉简记载226钱/匹—1 333钱/匹。《九章筭术》粟米、衰分章为125钱/匹—245钱/匹。
素的价格：居延汉简等记载670钱/匹—1 000钱/匹。《九章筭术》衰分章为500钱/匹。
缣的价格：居延汉简记载360钱/匹—800钱/匹。《九章筭术》粟米、衰分章为472钱/匹—512钱/匹。
丝的价格：居延汉简记载350钱/斤—434钱/斤。《九章筭术》粟米章为5钱/斤—80钱/斤，衰分章为240钱/匹—365钱/匹。
劳动收入，律平贾：《汉书》如淳注等记载24 000钱/年。《九章筭术》衰分、均输章为1 750钱/年—3 450钱/年。
客庸：《汉书》如淳注等记载12 000钱/年—34 500钱/年。《九章筭术》均输章为13 800钱/年。
黄金价格：《汉书》记载10 000钱/斤。《九章筭术》盈不足章为9 800钱/斤。
白金价格：《汉书》记载6 000钱/斤。《九章筭术》均输章为6 250钱/斤。
田地价格：《汉书》等记载1 000钱/亩—10 000钱/亩，居延汉简记载100钱/亩。《九章筭术》盈不足章70钱/亩—300钱/亩。
漆的价格：《史记》记载1 200钱/斗。《九章筭术》粟米章为345钱/斗。
酒的价格：《汉书》如淳注等记载为40钱/斗，《太平御览》引为1 000钱/斗。《九章筭术》盈不足章为10钱/斗—50钱/斗。
因此，堀毅认为，尽管有的物价，《九章筭术》与汉代十分相近，但总的来说，差别是相当大的。“认为《九章筭术》里的物价即汉代物价是颇勉强的。”而两者在粟、米、劳动收入等方面的差别，将成为考证《九章筭术》所载物价年代的重大因素。
堀毅又分析了秦代及战国的物价，并与《九章筭术》比较如下：
堀毅由此得出结论：“《九章算术》基本上反映出战国、秦时的物价。”他认为，尤其是劳动收入的相近对证实上述结论具有很大的意义。因此，《九章筭术》从整体上说反映了战国与秦代的物价水平，而不是汉代的物价水平。堀毅的看法是有道理的，并且自然会成为刘徽说法的佐证。只是堀毅仍使用《九章筭术》成书于公元1世纪的看法，无法自圆其说。
将《九章筭术》中的价格所反映的时代分野与其体例的差异结合起来分析将更加强刘徽的看法。《九章筭术》与汉代的价格的比较分析共涉及31个问题，其中与汉代价格相差较大而与战国、秦代接近的问题有粟米章的第34、37、39、40—44问，衰分章的第13、19问，均输章的第3、4问，盈不足章的第4、6、7问，方程章的第7、8、11、17、18问，凡20问。除了衰分章的第13、19问外，其体例全部属于术文统率例题形式的第（1）、（3）两种情形。
与汉代价格相近而与战国、秦代价格相差较大的题目有：粟米章第35、36问，衰分章第10、11、12、14、15问，均输章第7、15问，盈不足章第5、12问，共11问。其中有7问属于应用问题集的形式，只有粟米章二问、盈不足章二问属于术文统率例题形式的第（3）种情形，后二问还无法与秦、战国比较。
总之，在与战国、秦代价格接近，而与汉代差别较大的20个问题中，有18个即90%属于术文统率例题的体例。与汉代价格接近而与战国、秦代差别较大的11个问题中，有7个即超过60%属于应用问题集的体例。换言之，《九章筭术》中的价格所反映的时代分野大体与其体例的差异相吻合，为刘徽“九数之流，则《九章》是矣”的论断提供了佐证。
4. 《九章筭术》的编纂
对《九章筭术》体例的考察，以及堀毅关于《九章筭术》物价的分析都证明了，《九章筭术》的主体即采取术文统率例题的部分的方法和大多数例题在战国及秦代已完成了（自然也会有汉人修正、补充的内容），而带有明显补缀性质的衰分、均输二章的后半部分以及勾股章解勾股形和立四表望远等内容，即采取应用问题集形式的大部分是西汉人所为。换言之，刘徽关于《九章筭术》编纂的论述是完全正确的。
否定刘徽关于张苍删补《九章筭术》的论述的最重要论据就是汉武帝才实行均输法。事实上，《盐铁论》提到的两种均输中，古之均输与《九章筭术》的均输法相类似，而汉武帝时推行的今之均输与此不同。与《筭数书》同时出土的竹简中有均输律。阜阳双古堆西汉文帝时的一个墓葬中出土的数学著作的残简上，有“□万一千二百户行二旬各到输所”（第28号简）、“千六百”（第20号简）等文字 [24] ，显然是《九章筭术》均输章第一问的残文。这都从根本上推翻了戴震等人否定刘徽论述的论据。
总而言之，现有的历史资料不仅没有与刘徽关于《九章筭术》编纂过程的论述相矛盾之处，反而证明了刘徽的看法。
此外，刘徽具有实事求是的严谨学风和高尚的道德品质，他的话是可信的。他设计了牟合方盖，指出了解决球体积的正确途径，虽然功亏一篑，没有求出牟合方盖的体积，但他不仅没有掩饰自己的不足，反而直言自己的困惑，表示“以俟能言者”。“隶首作数”是当时的传统看法，他却说“其详未之闻也”。在描绘了堑堵的形状之后，他说“未闻所以名之为堑堵之说也”。整个刘徽注洋溢着言必有据、不讲空话的精神，因此，刘徽论断的可信度是相当高的。他如果没有可靠的资料，没有看到张苍、耿寿昌删补《九章筭术》的确凿记载，对《九章筭术》的编纂这样严肃的问题，是绝对不可能信口开河的。以刘徽的记载是孤证，没有旁证为由否定刘徽的话，是没有道理的。因为岁月延宕，天灾人祸，刘徽当时能看到的资料，流传到清中叶，再到今天的，百无一二。在这百无一二的残存中，即使像戴震和钱宝琮这样的大师也不可能全读到，读了也不可能全记住。对《史记》这样的史学经典中关于上林苑的多次记载，戴震都不甚了了，遑论其他。可见不宜囿于一己之知识随意否定历史文献的记载。
总之，“九数”在先秦已经发展成某种形态的《九章筭术》，它在秦及秦末遭到破坏 [25] ，经过西汉张苍、耿寿昌删补而成为现传《九章筭术》的事实是不容否定的。在目前，关于《九章筭术》的编纂，我们只能相信刘徽的话。随意否定刘徽的话，甚至杜撰别的说法，不是科学的态度。
张苍等整理《九章筭术》的指导思想是荀派儒学。荀子（前313？—前238）将《春秋左氏传》“授张苍”。张苍将《左传》传给贾谊 [26] 。可见荀子、张苍、贾谊是嫡传的师生关系。贾谊是西汉初荀派儒学的主要代表人物。由此可知，张苍是信奉荀派儒学的。《荀子·儒效》将学问分成闻、见、知、行四个层次，而“学至于行而止矣” [27] 。《荀子·正名》同时主张“名无固宜，约之以命。约定俗成谓之宜，异于约则谓之不宜”。事实上，《九章筭术》汇集了近百条对国计民生十分有用的抽象性极高的数学公式、解法，具有长于计算，以算法为中心，算法以解决实际问题为根本目的等特点，表现了“实事求是”的作风，正是接受了荀子的唯物主义思想 [28] 。另一方面，《九章筭术》对数学概念不作定义，对数学公式、解法没有推导和证明，也体现了荀子的上述思想。
严格划分张苍、耿寿昌的工作，资料太少，几乎是不可能的。他们的工作大体是：首先是收集秦朝焚书及秦末战乱后所遗残的《九章筭术》，加以删补，译成当时的语言。这就是为什么刘徽说“所论者多近语也”。其次是补充若干新的方法、新的例题。有的是对已有的术文补充新的例题。更多的是补充先秦所没有的例题及其解法。他们将这些题目分成三类：将一些简单的异乘同除类问题并入差分章，而将一些比较复杂的算术问题并入均输章。将解勾股形和立四表望远等各种问题并入旁要，并将其改称“勾股”。这就是刘徽为什么说“校其目则与古或异”。大体说来，张苍主要是收集、整理先秦之遗残，兼及删去一些他认为没有必要的内容，并补充一些新的题目与方法；而耿寿昌则主要是增补新的方法和例题。
5. 张苍和耿寿昌
自1774年戴震武断地否定刘徽关于《九章筭术》编纂的论述起，尤其是20世纪钱宝琮提出《九章筭术》成书于公元1世纪下半叶之后，张苍、耿寿昌就被赶出了中国古代著名数学家的队伍。这是不公正的。实际上，张苍、耿寿昌不仅是两汉最大的数学家，也是商高（公元前11世纪）、陈子（公元前5世纪）之后，刘徽之前约700年间最重要的数学家。
（1）张苍
张苍，阳武（今河南原阳东南）人，生于公元前252年以前，西汉初年政治家、数学家、天文学家。少年时从荀子受《春秋左氏传》。他仕秦为御史，主柱下方书，掌管文书、记事及官藏图书，明悉天下图书计籍。因获罪，逃归阳武。公元前207年，参加刘邦起义军，从攻南阳，入武关，至咸阳，定三秦。公元前205年，刘邦任命张苍为常山郡（今河北元氏）太守。次年，张苍从韩信攻赵，苍得陈余，刘邦以苍为代（今河北省蔚县）相。公元前203年，张苍为赵（今河北邯郸）相，又徙代相。次年9月，张苍从刘邦平臧荼，因功于次年被封为北平侯（今河北满城）。同年迁为计相，以列侯居萧何丞相府，为主计，掌管各郡国的财政统计工作。《史记·张丞相列传》说他善于计算，精通律历，受高祖之命“定章程” [29] 。公元前196年，平定黥布反叛后，高祖命张苍为淮南王相。吕后当政时，公元前182年张苍升迁为御史大夫。吕后崩，张苍等协助周勃立刘恒为帝，是为文帝。公元前176年张苍为丞相。公元前165年与公孙臣进行水德土德的争论失败，由此起自绌。公元前162年因用人失当受到文帝的指责，张苍遂以病辞职。公元前152年去世，享年百余岁。张苍陪葬安陵 [30] ，一说葬在原籍阳武 [31] 。
西汉初年，公卿将相多军吏，像张苍这样的学者封侯拜相，实属凤毛麟角。“苍本好书，无所不观，无所不通，而尤善律历。”他还著《张苍》十八篇，《汉书·艺文志》将其列入阴阳类 [32] 。“定章程”是张苍最重要的科学活动。如淳注“章程”曰：“章，历数之章术也。程，权、衡、丈、尺、斗、斛之平法也。”因此，它应包括算学、历法、度量衡等几个方面。确定汉初使用的历法，是张苍“定章程”中最重要的工作。《汉书·律历志上》说他比较了黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六家历法，认为《颛顼历》“疏阔中最为微近”。司马迁说“汉家言律历者，本之张苍”，并非过誉之辞。张苍还“吹律调乐，入之音声，及以比定律令”，确定了汉初的律令。张苍又“若百工，天下作程品”，确立汉初的度量衡制度。汉承秦制，汉初的度量衡制度基本上沿袭秦制，肯定秦始皇统一度量衡的工作，也是张苍的贡献。
刘徽说张苍等“皆以善筭命世”，因《九章筭术》“旧文之遗残，各称删补”，是为《九章筭术》编定过程中最重要的阶段，也是张苍“定章程”中最杰出的工作。
（2）耿寿昌
耿寿昌，数学家、理财家、天文学家。生卒及籍贯不详，宣帝（前73—前49在位）时为大司农中丞，是刘徽说的删补《九章筭术》的第二位学者。《汉书·食货志上》说他“善为算，能商功利”，得到宣帝的信任。他“习于商功分铢之事”。五凤（前57—前54）中，宣帝根据他的建议，“籴三辅、弘农、河东、上党、太原郡谷，足供京师，可以省关东漕卒过半”。耿寿昌又“令边郡皆筑仓，以谷贱时增其贾而籴，以利农。谷贵时减贾而粜，名曰常平仓，民便之”。皆收到了良好的社会效益，因而赐爵关内侯。耿寿昌还是天文历法学家。在浑天、盖天之争中，他主张浑天说 [33] 。《后汉书·律历志》载，甘露二年（前52），他奏称“以图仪度日月行，考验天运状” [34] 。《汉书·艺文志》记载他还著《月行帛图》二百三十二卷、《月行度》二卷。大司农中丞的职务为他提供了收集、总结人们实际生产、生活中的数学问题，加以发展、提高，增补《九章筭术》得天独厚的条件。
三、《九章筭术》的特点及其地位
（一）《九章筭术》的特点和弱点
众所周知，古希腊数学家认为，数学是人们的头脑思辨的产物，与实际应用是没有关系的。而数学理论密切联系实际，是《九章筭术》的突出特点。这是与古希腊数学的重要不同。刘徽关于《九章筭术》各章功用的论述，表明《九章筭术》的数学方法所解决的问题包括了人们日常生活、生产的实际问题的各个方面。
既然《九章筭术》以实际应用为目的，必然重视计算。《九章筭术》以术文为中心，大部分术文是抽象的计算公式或计算程序，即算法。长于计算，以计算为中心，是《九章筭术》的显著特点。
《九章筭术》中即使是面积、体积和勾股测望等几何问题，也没有关于图形的性质、三角形全等或相似的条件等任何命题，尽管在实际上不能不用到某些图形的性质和命题。《九章筭术》所有这类问题都必须计算出线段的长度、面积、体积等数值，实际上是几何问题与算法相结合，或者说是几何问题的算法化。刘徽《九章筭术序》说“至于以法相传，亦犹规矩、度量可得而共”，十分精辟地概括了《九章筭术》形、数结合的这一特点。这与古希腊数学是根本不同的。古希腊只考虑数和图形的性质，而很少考虑数值计算。比如他们很早就知道圆的周长与直径之比是个常数，但是这个常数值是多少，几百年间没有人问津，直到阿基米德才去计算这个数值。
《九章筭术》的算法都是计算程序，因而具有机械化和构造性的特点。吴文俊说：“我国古代数学，总的说来就是这样一种数学，构造性与机械化，是其两大特色。” [35] 《九章筭术》当然是这两大特色的奠基性著作和突出代表。《九章筭术》中的分数四则运算法则，开平方、开立方程序，方程术等，还有后来魏刘徽的求圆周率精确近似值的割圆术、方程新术，等等，都具有规格化的程序，是典型的机械化方法。
《九章筭术》的弱点也是十分明显的。首先是对任何数学概念都没有定义。其次，对术文即数学公式、解法没有推导、不做证明。书中的公式、解法，有一些是可以通过直观得出的，但是，有许多公式、解法非常复杂，比如刍童的体积公式，是不可能由直观得出的。当时必有或者形诸文字，或者师徒相传的某种或严谨或粗疏的推导。实际上，刘徽注所记述的棋验法所构造的两个长方体的体积，恰恰是刍童体积公式中的两项，说明棋验法是提出这些公式时使用的推导方法。很可能是编纂者整理《九章筭术》时不重视而不予收入。数学著作中没有定义，没有推导和证明的弱点长期影响着中国古典数学。后来的数学著作除了刘徽的《九章筭术注》等少数例外，大都没有定义和证明。我们反对中国古典数学没有理论，术文只是经验公式的堆砌的说法，但是，也不能不承认，中国古典数学对数学理论的研究是相对薄弱的。
（二）《九章筭术》与世界数学的主流
吴文俊由对中国古典数学具有构造性、机械化的特点的认识，进而阐发了对世界数学主流的全新看法。
吴文俊指出：“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。” [36] 不久他又将“两个中心思想”改成“两条发展路线”，使表述更为清晰。接着，他提出这两条发展路线互为消长，并明确地指出了世界数学发展的主流问题：“在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复，互为消长，交替成为数学发展中的主流。” [37] 这就从理论上回答了什么是世界数学发展主流的问题。而“中国古代数学，乃是机械化体系的代表”，从而彻底解决了中国古典数学属于世界数学发展主流，并且是主流的两个主要倾向之一的问题。这就是说，在吴文俊看来，“数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式，还有与之平行的中国式数学，而就近代数学的产生而言，后者甚至更具有决定性的（或者说是主流的）意义” [38] 。吴文俊从数学发展路线和模式的高度阐发世界数学的主流，从理论上批驳了某些西方权威关于中国古典数学“对于数学思想的主流没有重大的影响” [39] 的错误看法。吴先生的看法日渐为国内外学术界接受。
（三）《九章筭术》规范了中国古典数学的表达方式
1. 《筭数书》绝不可能是《九章筭术》的前身
学术界一直关心《筭数书》与《九章筭术》的关系。1985年初，出土《筭数书》的消息公布于世，到同年底，人们透露出来的消息说，《筭数书》的“算法类包括《合分》（分数加法）、《增减分》、《分乘》（分数乘法）、《径（经）分》（分数除法）、《约分》等，算题类别还有《方田》、《粟米》、《衰分》、《少广》、《商功》、《均输》、《盈不足》等，它同《九章算术》有很多相同之处，而时代要比《九章算术》早二百多年，它是《九章算术》之源” [40] 。这段话模棱两可，容易理解成《九章筭术》的方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足等七章的章名，都是《筭数书》的标题。因此，学术界多数认为《筭数书》是《九章筭术》的前身。有的学者甚至认为《筭数书》是张苍编撰的。张苍整理好的数学官简，留在中央政府有关部门的那套便发展成了后来的《九章筭术》；他又抄了一个复本，“病免”后带走，殁后随主人葬入张家山247号汉墓，就是《筭数书》。笔者对没有研究的东西历来不敢轻言。目前，《筭数书》释文已经全部面世，关于《筭数书》与《九章筭术》的关系，虽然还不能完全解决，但是，已经具备了使我们的认识向历史真实的彼岸推进一步的条件。
实际上，《筭数书》的标题与《九章筭术》的章名相同的只有方田、少广两条，其中《筭数书》的方田条还不是传统的长方形面积问题，而是用赢不足术求面积为1亩的方田的边长；两者术名相同的除以上两条外，也只有约分、合分、径分、少广、大广、里田等6条。其术名和内容相似的这7条，题目和文字也有相当大的差别，只是“少广”的题目与《九章筭术》少广术的前9个例题的数字相同。由某些术文与题目相同得出《筭数书》是《九章筭术》的前身的看法的学者忽视了一些重要事实：这部分内容在《筭数书》中所占比例相当少，不足
；《筭数书》与《九章筭术》有许多同类的内容，但却是不相同的题目，其数字和文字差异亦较大；更重要的，《筭数书》中有大量的题目与术文，超过《筭数书》条目的
，是《九章筭术》所没有的。因此，就整体而言，《筭数书》不可能是《九章筭术》的前身。
那么，《九章筭术》与《筭数书》是不是有血缘关系呢？由于无法搞清楚《九章筭术》在先秦以“九数”为主体的某种形态的编纂年代，而且《筭数书》所源自的数学著作不止一二种——尽管我们不知道这些著作的书名，但却可以断定它们不是同时的作品，其时间跨度相当长，因此，这个问题目前仍然无法得出确切的结论。不过，由于两者的约分、合分、减分、乘分、经分、大广、里田、少广等术，少广、女织等题目以及“粟米之法”等有相同或相似之处，它们的一部分有承袭关系或有一个共同的来源，则是无可怀疑的。至于孰早孰晚，有待于进一步考察 [41] 。
2. 《九章筭术》规范了中国古典数学的表达方式
《九章筭术》与《筭数书》的表达方式有明显的不同。《九章筭术》的表达方式十分规范、统一。而《筭数书》中的数学表达方式十分繁杂，没有统一的格式。
人们自然要问，《筭数书》中的纷杂表达方式是先秦数学固有的呢，还是原简中的舛误？不能完全排除《筭数书》在传抄过程中出现舛误的可能性。但是，要说《筭数书》与《九章筭术》的这些不同或大部分不同都是舛误，则不可能。我们认为，《筭数书》中关于分数、除法、问题的起首、发问和答案的各种各样的表示方式是先秦数学所固有的；起码，同一表达方式有数条、十几条，甚至几十条例证的情形绝大多数是先秦数学所固有的，而不是舛误。换言之，《筭数书》数学术语的纷杂的表示方式反映了前《九章筭术》时代中国古典数学的真实情况。有的学者以《九章筭术》为模式，改动《筭数书》，将《筭数书》纷杂的表达方式统一于《九章筭术》 [42] ，是不合适的。因为这篡改了反映先秦数学真实状况的极为宝贵的原始资料。事实上，《筭数书》所反映的先秦时期数学术语表达方式的多样性，是一个不争的事实。这是数学早期发展的必然现象。当时，诸侯林立，列国纷争，诸子辩难，百家争鸣，全国各地语言文字相左，数学术语不可能统一。秦朝短命，也来不及统一、规范数学术语。
张苍、耿寿昌整理、编定《九章筭术》时，才完成了数学术语的统一与规范化。他们统一了分数的表示，选取先秦已有的一种方式，将非名数分数
统一表示为“b 分之a ”，将名数分数
尺（或其他单位）表示为“m 尺b 分尺之a ”。他们统一了除法的表示，选取先秦的一种方式，先指明“法”，再指明“实”，最后，对抽象性的术文，说“实如法而一”或“实如法得一”，对非抽象性的具体运算，说“实如法得一尺（或其他单位）”。他们以先秦数学中已有的一种方式统一了问题的起首与发问，对问题的起首，一般用“今有”，同一条术文有多个例题时，自第2个题目起用“又有”，而对发问，则用“问：……几何？”或“问：……几何……？”对问题的答案，先秦数学是不是有“荅曰”的方式，不得而知，张苍等统一采用“荅曰”来表示。等等。张苍、耿寿昌的这些工作实现了中国数学术语在西汉的重大转变，是规范中国古典数学术语的巨大贡献。《九章筭术》统一、规范数学术语的意义非常重大，它标志着中国古典数学发展到了一个新的阶段。此后直到20世纪初中国古典数学中断，中国数学著作中，分数、除法、答案的表示一直沿用《九章筭术》的模式，数学问题的起首与发问方式，唐以后有的著作虽有变化，但都是“今有”与“几何”的同义语。
四、刘徽《九章筭术注》的数学理论及李淳风等注释
（一）刘徽《九章筭术注》产生的时代背景
东汉末年起，中国的经济、政治和社会思潮发生了重大变革。
汉末战乱和军阀混战使东汉开始出现的自给自足的庄园经济得到进一步发展，到魏晋已成为主要的经济形态。这些庄园占有大量依附农民、佃客和部曲。部曲成为一个人数相当广泛的社会阶层，并带有世袭的性质。他们平时为庄园主劳动，战时为庄园主打仗。佃客、部曲与庄园主有极强的依附关系，他们的社会地位有所下降，但却使失去土地的农民重新与土地结合起来，缓和了社会危机，有利于遭到破坏的农业和手工业的恢复、发展，是社会的进步。
与庄园经济相适应的是门阀世族制度的确立。门阀世族发轫于西汉末年，东汉出现了若干世代公卿的家族。曹操主张用人“唯才是举”，曹丕实行九品中正制，其本意是不论世族高低，以人才优劣选士，但由于各州郡的中正官大都被著姓世族把持，反而出现了“上品无寒门，下品无势族”的局面。魏、蜀、吴三国都是在不同程度上以门阀世族为其统治骨干。门阀世族取代了秦汉的世家地主，占据了政治舞台的中心。
社会动乱的加剧，伦理纲常的颓败，满口仁义道德的“名士”的丑行，动摇了儒学在思想界的统治地位，繁琐的两汉经学退出了历史舞台。人们试图从先秦诸子或两汉异端思想家那里寻求思想武器，作为维护封建秩序、名教纲常的理论根据，并为乱世中的新贵们服务。思想界面临着一次大解放。西汉独尊儒术之后受到压制的先秦诸子，甚至被视为异端的墨家，重新活跃起来。思想解放最突出的是玄学与辩难之风的兴起。何晏（？—249）、王弼（226—249）等思想家将道家的“道法自然”与儒家的名教融会在一起，主张“名教本于自然”，用道家的“无为”取代儒家的“有为”，被称为“正始（240—248）之音”。他们用以谈资的《老子》、《庄子》和《周易》称为“三玄”，后人将他们的学问称为“玄学”。玄学家们经常在一起辩论一些命题，互相诘难，称为“辩难之风”。玄学已经取代了儒家的正统思想地位，成为社会主要思潮。公元249年，司马懿发动政变，杀死曹魏的代表人物及何晏等正始名士，控制了政权，迫使一些名士进一步走上玄虚淡泊的道路。此后嵇康（223—262）、阮籍（210—263）等竹林七贤任性不羁，蔑视礼法，主张“越名教而任自然” [43] ，宣称“非汤、武而薄周、孔” [44] ，突破了正始之音力图调和儒道的观点，学术界的思想进一步解放。
玄学是研究自然与人的本性的学问，主张顺应自然的本性。玄学名士反对谶纬迷信，重视“理胜”。探讨思维规律，成为学者们的一项重要任务，这就是“析理”。“析理”最先见之于《庄子·天下篇》：“判天地之美，析万物之理。” [45] 但在此后很长一段时间内，“析理”并没有方法论的意义。而在魏晋时代，它却成为正始之音和辩难之风的要件 [46] 。“析理”是名士们进行辩论的主要方法，甚至成为辩难之风的代名词。一般认为，“析理”是郭象（？—312）注《庄子》时概括出来的。实际上，嵇康、刘徽早已使用“析理”。嵇康说：“非夫至精者，不能与之析理。” [47] 刘徽自述他注《九章筭术》的宗旨便是“解体用图，析理以辞”（见刘徽序）。玄学名士和刘徽“析理”时都遵循“易简”的规范。
数学由于是最严密、最艰深的学问，经常成为玄学家们析理的论据。王弼《周易略例》说：“夫情伪之动，非数之所求也。故合散屈伸，与体相乖，形燥好静，质柔爱刚，体与情反，质与愿违，巧历不能定其算数。” [48] 嵇康《声无哀乐论》也说：“今未得之于心，而多恃前言以为谈证，自此以往，恐巧历不能纪。” [49] 巧历是指高明的天文学家和数学家。思想界公认，数学家是析理至精之人。嵇康还以数学知识之未尽说明摄生之理亦不能尽：“况乎天下微事，言所不能及，数所不能分，是以古人存而不论。……今形象著名，有数者犹尚滞之，天地广远，品物多方，智之所知，未若所不知者众也。” [50]
同样，数学的发展也深受魏晋玄学的影响。刘徽析《九章筭术》之理，与思想界的析理当然有不同的内容，但是，刘徽对数学概念进行定义，追求概念的明晰，对《九章筭术》的命题进行证明或驳正，追求推理的正确、证明的严谨等，即在追求数学的“理胜”上，与思想界的析理是一致的，格调是合拍的。在析理的原则上，刘徽与嵇康、王弼、何晏等都认为“析理”应“要约”，“约而能周”，主张“举一反三”，“触类而长”，反对“多喻”，“远引繁言”。不难看出，刘徽析数学之理，深受辩难之风中“析理”的影响。
事实上，刘徽不仅思想上与嵇康、王弼、何晏等有相通之处，而且他的许多用语、句法都与这些思想家相近。比如，刘徽在方田章合分术注说的“数同类者无远，数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违”，显然脱胎于何晏的“同类无远而相应，异类无近而不相违” [51] ，但其寓意径庭；刘徽粟米章今有术注说的“少者多之始，一者数之母”是《老子》“无名天地之始，有名万物之母”与王弼《老子注》“一，数之始而物之极也” [52] 的缩合，而其旨趣迥异。这类例子还可以举出很多。因此，刘徽在数学中的“析理”应是当时辩难之风的一个侧面，他与魏晋玄学的思想家们应该有某种直接或间接的联系。
辩难之风中活跃起来的先秦诸子也成为刘徽数学创造的重要思想资料。儒家在魏晋时虽有削弱，但仍不失为重要的思想流派。刘徽自然受到儒家的影响。他直接引用孔子的话很多，比如反映他的治学方法的“告往知来”，源于《论语·学而》，“举一反三”源于《论语·述而》；他阐述出入相补原理的“各从其类”，源于孔子为《周易》乾卦写的“文言”。至于他受到被儒家视为经典的《周易》、《周礼》的影响更明显，“算在六艺”，“周公制礼而有九数”，都是《周礼》的记载。刘徽序中还引用了《周礼》用表影测太阳的记载及其郑玄注；刘徽关于八卦的作用及两仪四象的论述，反映他的分类思想的“方以类聚，物以群分”，治学方法的“引而申之”，“触类而长之”，治学中要“易简”的思想，反映他对“言”与“意”关系的“言不尽意”，等等，都来自《周易·系辞》。
道家在汉以后成为中国封建社会统治思想的一部分。同时，道家作为一个学派仍然存在。辩难之风的三玄中，专门的道家著作居其二，即《老子》、《庄子》。《周易》是各家都尊崇的经典。《九章筭术》方程章建立方程的损益术与《老子》的有关论述相近。刘徽说应该像庖丁了解牛的身体结构那样了解数学原理，应该像庖丁使用刀刃那样灵活运用数学方法，庖丁解牛的故事便出自《庄子·养生主》。刘徽在使用无穷小分割方法证明刘徽原理时提出的“至细曰微，微则无形”的思想，源于《庄子·秋水》中“至精无形”，“无形者，数之所不能分也”。
不过，在先秦诸子中，刘徽最推崇的应该是墨家。一个明显的事实是，刘徽序及注中引用过大量先秦典籍，但是，明确提出书名的只有《周礼》、《左氏传》及《墨子》这三部。事实上，刘徽割圆术中的“割之又割，以至于不可割”的思想与《墨经》中“不可
”的端的命题是一脉相承的，而与名家“万世不竭”的思想明显不同。
这些都说明，当时思想界的析理与数学是相辅相成、相得益彰的。
（二）刘徽
刘徽，史书无传，生平不详。关于他的史料，除了他自述少年时学习过《九章筭术》，成年后又进行研究，很有心得，遂“采其所见，为之作注”（见刘徽序）外，则只有《隋书·律历志》 [53] 、《晋书·律历志》 [54] 说的“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。
刘徽《九章筭术注》原10卷，后来刘徽自撰自注的第10卷《重差》单行，改称《海岛筭经》。刘徽还著《九章重差图》1卷，已佚。
1. 刘徽籍贯考
我们根据现有资料推定，刘徽的籍贯是淄乡，属今山东邹平。
严敦杰（1917—1988）最先注意到《宋史·礼志》算学祀典中，刘徽被封为淄乡男 [55] 。同时受封66人，黄帝至殷、西周期间10人，多系传说人物或记载不详。春秋之后56人，其爵名来源有四种：（1）以其籍贯，有祖冲之等41人，占七成以上；（2）少数以其郡望；（3）少数以其主要活动地区之名；（4）个别的以其生前的爵名升级；后三种情况共9人。刘徽等6人现存史籍中未找到他们的籍贯的记载。他们的爵名不出以上四种情况。淄乡男不可能是刘徽生前爵名升级，淄乡也不可能是刘姓郡望。那么，淄乡或者是刘徽的籍贯，或者是刘徽生前的主要活动地区。这两者中以前者的可能性较大。因此淄乡应该是刘徽的籍贯 [56] 。
北宋王存《元丰九域志》淄州条载邹平县有一淄乡镇：“邹平……孙家、赵岩口、淄乡、临河、啀婆五镇。” [57] 淄乡在金朝仍然存在。《金史·地理志》：“镇三：淄乡、齐东、孙家岭。” [58] 《元丰九域志》成于元丰三年（1080），刘徽受封于大观三年（1109），两者相去不到30年。因此，宋朝所封的淄乡男之淄乡，即当时淄州邹平县淄乡。淄乡，又作甾乡。古文淄、甾、菑相通。因此，淄乡、菑乡、甾乡相通，应是一个地方。
邹平县淄乡起码可以追溯到西汉。西汉有甾乡，据《汉书·王子侯表》，甾乡是西汉菑乡厘侯刘就的封国，封于建昭元年（前38），子逢喜嗣，免。据《汉书·诸侯王表》，刘就是梁敬王刘定国之子，刘定国是文帝刘恒子梁孝王刘武的玄孙。因此，菑乡侯刘就是文帝的七世孙。《汉书》中有两处淄乡的记载。一是《汉书·地理志》载山阳郡有一县级侯国淄乡。山阳郡在今山东西南部。一是《王子侯表》注明甾乡侯的封国在济南郡。两者不同。“地理志”出自班固之手，“王子侯表”是班昭参考东观藏书写的。我们认为后者应更可靠些：菑乡侯的封地在济南郡。汉时邹平县属济南郡，联系到宋、金两朝邹平县有淄乡镇。因此，西汉所封之菑乡侯国就位于北宋邹平县的淄乡镇。菑乡侯二世而免，而菑乡的名称则保留了下来。
通过对刘徽籍贯的考察，可以探知他的生平与社交的某些线索，大体了解他成长的文化传统和氛围，因而是有意义的。刘徽成长的齐鲁地区，自先秦至魏晋，一直是中国的文化中心之一，魏晋时还是辩难之风的中心之一。齐鲁地区的数学自先秦至魏晋也居全国的前列，两汉时期研究《九章筭术》的学者许商、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等，或在齐鲁地区活动过，或就是齐鲁地区人。刘徽的同代人，提出《制图六体》的裴秀，虽不是齐鲁人，但他在魏末被封为济川侯，封地在高苑县济川墟 [59] ，距刘徽的家乡淄乡不远。刘徽与裴秀是否有交往，不得而知。但淄乡的人文环境为刘徽注《九章筭术》，在数学上作出空前的贡献，提供了良好的客观环境和坚实的数学基础。
2. 刘徽注《九章筭术》时的年龄
由刘徽与辩难之风的关系，特别与嵇康、王弼等玄学名士思想上的联系，我们可以推断，刘徽的生年大约与嵇康、王弼相近，或稍晚一些，就是说，刘徽应该生于公元3世纪20年代后期至公元240年之间。换言之，公元263年他完成《九章筭术注》时，年仅30岁上下，或更小一点。有的画家将正在注《九章筭术》的刘徽画成一位满脸皱纹的耄耋老人，有悖于魏晋的时代精神和特点 [60] 。
（三）《九章筭术注》的结构
1. 《九章筭术注》的结构——“悟其意”与“采其所见”
自戴震起，人们实际上把刘徽注的内容都看成是刘徽自己的思想，这是一种误解。刘徽关于注《九章筭术》的自述表明，他的《九章筭术注》包括两种内容：一是他“探赜之暇，遂悟其意”者，即自己的数学创造。二是“采其所见”者，即他搜集到的前代和同代人研究《九章筭术》的成果。有人将“采其所见”翻译成“就提出自己的见解”，无疑是因不承认刘徽注中有前人的东西而做的曲译。
钱宝琮已经注意到刘徽注含有前人的贡献。在《中国数学史》中，他把圆周率和圆面积、圆锥体和球体积、十进分数、方程新术等内容称作刘徽在“《九章算术注》中的几个创作”，而把齐同术、图验法、棋验法视为《九章算术注》中“整理了各项解题方法的思想系统，提高了《九章算术》的学术水平”的部分。他指出：
刘徽少广章开方术注“术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近不可用也”。方程章正负术注“方程自有赤黑相取，左右数相推求之术”。据此可知刘徽的注释是有所依据的。少广章开立圆术注引张衡的球体积公式，勾股章第5题、第11题注引赵爽勾股图说，这些无疑是他的参考资料。 [61]
后来严敦杰《刘徽简传》也谈到了这个问题。他把刘徽学习《九章筭术》分成“刘徽注文引《九章算术》以前的旧说”，与“刘徽参考了他稍前或同时的各家《九章算术》”两种情况。
只是，钱宝琮和严敦杰两位前辈没有把这种论述与刘徽自述的“采其所见”联系起来，论述稍嫌不充分。
正确认识《九章筭术注》的结构，意义十分重大。起码有三点值得注意。
首先，填补了中国数学史的某些空白。比如《九章筭术》某些体积公式和解勾股形公式非常复杂、正确而抽象，靠直观是无法得出的，当时必有某种推导。刘徽注中以出入相补原理为基础的棋验法和图验法就是《九章筭术》时代推导这些公式的方法。这对准确认识早期的中国数学史是不可多得的史料。
其次，可以准确地认识刘徽。比如刘徽注一方面多次批评使用周三径一的做法，另一方面又含有大量使用周三径一的内容。如果将刘徽注的内容全部看成刘徽的思想甚或刘徽的创造，那么刘徽就是一位成就虽大但是思想混乱、自相矛盾的人。若在刘徽注中剔除了“采其所见”者，那么刘徽就是一个成就伟大、思想深邃、逻辑清晰的学者。
第三，是正确校勘《九章筭术》的基础。所谓《九章筭术》的校勘主要是对刘徽注的校勘。自戴震起，不断有人在发现同一术的刘徽注中有不同思路时，便武断地将第二种思路改成李淳风等注释，盖导源于对刘徽《九章筭术注》结构的认识的偏颇。这在下面还要谈到。
2. 刘徽注中“采其所见”者
刘徽注中“采其所见”的内容大体如下：
周三径一。刘徽在圆田术注中批评使用周三径一之率的做法：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失。”在圆堢
术注中又指出：“此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。”都明确否定使用周三径一的做法。然而，刘徽注在以徽率
修正原术之前都有基于周三径一论证原术的文字，可见这类内容都不是刘徽的方法，而是“采其所见”者。
出入相补。刘徽使用出入相补原理对解勾股形诸方法的论证与赵爽“勾股圆方图”基本一致。这都说明出入相补的方法不是刘徽的创造，而是刘徽以前，甚至在《九章筭术》成书时代就流行的传统方法，被刘徽采入自己的注中的。
多面体中的出入相补最主要的是棋验法。商功章方亭、阳马、羡除、刍甍、刍童等术刘徽注的第一段及方锥术注、鳖腝术注都是棋验法。方亭术注谈到“说筭者”使用三品棋，就是长、宽、高各一尺的立方体、堑堵、阳马。“说筭者”无疑是刘徽以前的数学家，说明棋验法并不是刘徽所创造的，而是先人们传下来的。有人说出入相补原理是刘徽的首创，是不符合历史事实的，它的创造应该追溯到《筭数书》、《九章筭术》时代。
截面积原理。《九章筭术》中圆堢
与方堢
、圆亭与方亭、圆锥与方锥都是成对出现，说明是通过比较等高的圆体与方体的底面积从方体推导圆体体积公式的。刘徽开立圆术注指出《九章筭术》犯了把球与外切圆柱体体积之比作为3:4，亦即球与外切圆柱体的大圆与大方的面积之比的错误，可为佐证。这是祖暅之原理的最初阶段。刘徽将其采入自己的注中。
无理根近似值的表示。当开方不尽时，刘徽说：“术或有以借筭加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。”就是说，设被开方数为N ，求得其根的整数部分为a ，即在开平方时，刘徽前，人们以
为根的近似值，并且
；在开立方时以
为根的近似值。
齐同原理。刘徽注中大量使用了齐同原理。但齐同原理也不是刘徽首先使用的。《筭数书》、《九章筭术》都已有“同”的概念。赵爽《周髀筭经注》多次使用齐同术，可见齐同方法是刘徽之前的传统方法。
还有一些。不过，要完全区分算术、代数算法中哪些是刘徽采其所见者，哪些是刘徽的创新，不像面积、体积问题那么容易。
总之，刘徽之前的数学家，包括《九章筭术》、《筭数书》的历代编纂者在内，为推导、论证当时的算法做了可贵的努力。然而，这些努力大多很素朴、很原始，许多重要算法的论证停留在归纳阶段，因而并没有在数学上被严格证明。同样，《九章筭术》的一些不准确或错误的公式没有被指出、被纠正。可以说，从《九章筭术》成书提出近百条抽象性算法之后到刘徽时的三四百年间，数学理论建树并不显著，其数学思想和方法、其逻辑方法没有在《九章筭术》基础上有大的突破，这就为刘徽进行数学创造留下了广阔的空间。
3. 刘徽的创新
从刘徽的《九章筭术注》中剔除“采其所见”者之后，我们看到，刘徽的创新主要体现在数学方法、数学证明和数学理论方面：
刘徽大大发展了《九章筭术》的率概念和齐同原理，将其应用从《九章筭术》的少量术文和题目拓展到大部分术文和200多个题目。他指出今有术是“都术”，率和齐同原理是“筭之纲纪”，借助率将中国古典数学的算法提高到理论的高度。
刘徽继承发展了传统的出入相补原理。刘徽对有限次的出入相补无法解决圆和四面体的求积问题有明确的认识。
在世界数学史上第一次将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明，是刘徽最杰出的贡献。他用极限思想和无穷小分割方法严格证明了《九章筭术》提出的圆面积公式和他自己提出的刘徽原理，将多面体的体积理论建立在无穷小分割基础之上。刘徽极限思想的深度超过了古希腊的同类思想。
刘徽明确认识了截面积原理，是中国人完全认识祖暅之原理的关键一步。据此，他设计了牟合方盖，为后来的祖暅之开辟了彻底解决球体积问题的正确途径。
刘徽将极限思想应用于近似计算，在中国首创求圆周率的科学方法以及开方不尽求其“微数”的思想，奠定了中国的圆周率近似值计算领先世界千年上下的基础。
刘徽修正了《九章筭术》的若干错误和不精确之处，提出了许多新的公式和解法，大大改善并丰富了《九章筭术》的内容。
刘徽给出了若干明确的数学定义，以演绎逻辑为主要方法全面论证了《九章筭术》的算法，认为数学像一株枝繁叶茂、条缕分析而具有同一本干的大树，标志着中国古典数学理论体系的完成。这在下面再谈。
（四）刘徽的数学定义和演绎推理
为了说明刘徽的理论贡献，我们首先需要考察一下刘徽的数学定义和推理，特别是演绎推理。
1. 刘徽的定义
刘徽继承了《墨经》给概念以定义的传统，对许多数学概念比如“幂”、“率”、“方程”等都给出了严格的定义。刘徽的定义大体符合现代逻辑学关于定义的要求，比如在刘徽关于“正负数”的定义中，“正负数”与“两筭得失相反”，其外延相同，既不过大，也不过小，是相称的；定义中没有包含被定义项，没有犯循环定义的错误；没有使用否定的表达，没有比喻或含混不清的语言。刘徽其他的定义也大都符合这些要求。并且一般说来，刘徽的定义一经给出，便在整个《九章筭术注》中保持着同一性。
2. 刘徽的演绎推理
许多人认为中国古典数学从未使用形式逻辑。这是根本错误的。刘徽不仅使用了举一反三、告往知来、触类而长等类比方法扩充数学知识，而且在论述中普遍使用了形式逻辑。他不仅使用了归纳推理，而且主要使用了演绎推理。试举几例。
（1）三段论
刘徽使用三段论的例子俯拾皆是。如盈不足术刘徽注针对两次假设有分数的情况说，如果两次假设有分数（M），须使分子相齐，分母相同（P）。这个问题（S）中两次假设都有分数（M），故这个问题（S）须使分子相齐，分母相同（P）。这个推理中含有并且只含有三个概念：两次假设有分数（中项M），使分子相齐，分母相同（大项P），这个问题（小项S）。中项在大前提中周延，结论中概念的外延与它们在前提中的外延相同。最后，大前提是全称肯定判断，小前提是单称肯定判断，结论是单称肯定判断。可见这个推理完全符合三段论的AAA式规则：
（2）关系推理
作为数学著作，刘徽注更多地使用关系推理。关系推理实际上是三段论的一种特殊情形。刘徽所使用的关系判断中，以等量关系为最多。比如刘徽在证明了圆面积公式
之后，证明圆面积的另一公式
正确的方式是：
等量关系判断具有对称性和传递性。
刘徽还使用不等量关系判断。如《九章筭术》在开立圆术中使用了错误的球体积公式
，其中V ，d 分别是球的体积和直径。刘徽记载了这个错误公式的推导方式：以球直径d 为边长的正方体与内切圆柱体的体积之比为4:3，圆柱体与内切球的体积之比也是4:3（圆周率取3），故正方体与内切球的体积之比为16:9。刘徽用两个圆柱体正交，其公共部分称作牟合方盖。刘徽论证《九章筭术》方法错误的推理方式是：
牟合方盖:球=4:π
圆柱:球≠牟合方盖:球
故 圆柱:球≠4:π
这就从根本上推翻了《九章筭术》的公式。
（3）假言推理
假言推理是数学推理中常用的一种形式。先看刘徽使用的充分条件假言推理。如商功章羡除术刘徽注说“上连无成不方，故方锥与阳马同实”，这个推理写得十分简括，它的完备形式应该是：
若两立体每一层都是相等的方形（P ），则其体积相等（Q ），
方锥与阳马每一层都是相等的方形（P ），
故方锥与阳马体积相等（Q ）。
其推理形式是：
若P ，则Q ，
今P ，
故Q 。
在充分条件假言推理中，若P ，则Q 。若非P ，则Q 真假不定。刘徽深深懂得这个道理。我们知道，一个长方体沿相对两棱剖开，就得到两个堑堵。将一个堑堵沿某个顶点到相对的棱剖开，就得到一个阳马，一个鳖腝。《九章筭术》给出了堑堵的体积公式
，阳马的体积公式
，以及鳖腝的体积公式
。其中V q ，V y ，V b ，a ，b ，h 分别是堑堵、阳马、鳖腝的体积和它们的宽、长、高。由于一个正方体可以分割为三个全等的阳马或六个三三全等、两两对称的鳖腝，那么“观其割分，则体势互通，盖易了也”。就是说在长、宽、高相等的情形下，用棋验法证明阳马、鳖腝的体积公式是正确的。然而，当长、宽、高不相等时，一个长方体分割出的三个阳马不会全等，六个鳖腝既不三三全等，也不两两对称，刘徽认为无法用棋验法证明阳马、鳖腝的体积公式（见本书此处 ），其推理形式是：
若多面体体势互通（P ），则其体积相等（Q ），
今多面体体势不互通（非P ），
故难为之矣（Q 真假不定）。
因此，为了证明阳马、鳖腝的体积公式，必须另辟蹊径，这在下面再谈。
（4）选言推理
刘徽在许多地方使用选言推理。比如刘徽认为，在四则运算中，可以先乘后除，也可以先除后乘，“乘除之或先后，意各有所在而同归耳”（商功章负土术注）。在粟米章今有术注中，刘徽主张先乘后除，因为“先除后乘，或有余分，故术反之”。这就是一个选言推理：
或先乘后除，或先除后乘，
今非先除后乘，
故先乘后除。
（5）二难推理
二难推理是假言推理和选言推理相结合的一种推理形式。其大前提是两个假言判断，小前提是一个选言判断。比如刘徽在证明圆面积公式
是不准确的方式，就是一个二难推理。刘徽的论证（见本书此处 ）有两个假言前提：一是若以圆内接正6边形周长作为圆周长自乘，其
是圆内接正12边形的面积，小于圆面积；一是若令圆周自乘，其
，则大于圆面积。还有一个选言前提：或者以圆内接正6边形周长自乘的
，或者以圆周长自乘的
。结论是：或小于圆面积，或大于圆面积，都证明上述公式不准确。
此外，刘徽还多次用到无限递推，实际上是数学归纳法的雏形。
以上只是刘徽注中大量演绎推理的只鳞半爪，但这足以说明现代形式逻辑教科书中的演绎推理的几种主要形式，刘徽都使用了。
（五）刘徽的数学证明
上面所举的推理，由于其前提都是正确的，因而实际上都是证明或证明的一部分。刘徽最漂亮的证明首推对《九章筭术》的圆面积公式和他自己提出的刘徽原理的证明。这两个证明也分别代表了刘徽证明的两种主要形式：综合法和分析法与综合法相结合的方法。
1. 圆面积公式的证明
对《九章筭术》的圆面积公式
，刘徽认为以前的推证方式基于周三径一，实际上并没有证明，遂提出了使用极限思想和无穷小分割方法的证明方法（见本书此处 ）。
刘徽首先使用了几个极限过程。他从圆内接正6边形开始割圆。设第n 次分割得到正6·2 n 边形的面积为S n ，刘徽认为
S n + 1 ＜S ＜S n +2（S n + 1 -S n ）
同时，
然后刘徽考虑与圆合体的正无穷多边形，将它分割成以圆心为顶点，以每边为底的无穷多个小等腰三角形，每个的高r 。设每个的底边长为l i ，面积为A i ，显然l i r =2A i 。所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长：
，它们的面积之和为圆面积：
。因此，
反求出S ，就得到
[62] 。
这是对《九章筭术》圆面积公式的一个完整的证明 [63] ，并且是典型的综合法方式：从若干已知条件通过推理，引导到论题。这是刘徽注中使用最多的证明方式。
2. 刘徽原理的证明
刘徽用极限思想和无穷小分割方法对刘徽原理的证明更加高明。
为了严格证明阳马的体积公式和鳖腝的体积公式，刘徽提出了一个重要原理，即所谓刘徽原理（见本书此处 ），即在一个堑堵中，恒有
V y :V b =2:1。
可能受手头棋的限制，刘徽在这里仍然使用了a =b =h =1尺的棋。可是，刘徽明确说明“虽方随棋改，而固有常然之势也”，因此，他这些论述完全适用于a ≠b ≠h 的一般情形。刘徽用三个互相垂直的平面分别平分由阳马与鳖腝拼合而成的堑堵的长、宽、高，将它们分割成1个小长方体和4个小堑堵、2个小阳马和2个小鳖腝，它们可以分别拼合成4个全等的小长方体。容易证明，在前三个小长方体中，属于阳马的与属于鳖腝的体积的比是2:1，即在原堑堵的
中刘徽原理成立。刘徽认为，如果能在第4个小长方体中证明属于阳马的与属于鳖腝的体积之比仍是2:1，那么在整个堑堵中刘徽原理便成立。而第4个小长方体中的两个小堑堵与原堑堵完全相似，因此，上述分割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，那么又可以证明在其中的
中属于阳马的与属于鳖腝的体积之比仍是2:1，在其中的
中尚未知，亦即在原堑堵的
中尚未知。这个过程可以无限继续下去，第n 次分割后只剩原堑堵的
中属于阳马的与属于鳖腝的体积之比是不是2:1，尚未知。显然，
。这就在整个堑堵中证明了刘徽原理成立 [64] 。
这个证明过程可以归结为：
可见这个证明是以分析法为主，穿插从予到求的综合法。
（六）刘徽的数学理论体系
刘徽的分数、率、面积、体积和勾股等知识乃至整个数学知识都形成了自己的理论体系。而刘徽的体系与《九章筭术》是有所不同的。以体积问题为例。《九章筭术》时代的多面体体积推导方法主要是棋验法，因此三品棋在其中占据着中心的位置。而对圆体体积的推导则靠比较其底面积。《九章筭术》的体积推导系统如图1所示。
图1 《九章筭术》的立体体积之推导
而刘徽多面体体积理论的基础是刘徽原理。在完成刘徽原理的证明之后，刘徽指出鳖腝是解决多面体体积问题的“功实之主”。刘徽为求方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体的体积，都要通过有限次分割，将其分割成长方体、堑堵、阳马、鳖腝等已被证明了体积公式的立体，然后求其体积之和解决之。至于圆体体积则是通过比较每一层的面积解决的。刘徽的体积理论系统如图2所示。
图2 刘徽的立体体积理论体系
刘徽是把鳖腝看成多面体分割的最小单元的。这种思想，以及鳖腝体积的解决必须借助于无穷小分割的实践，也就是把多面体体积理论建立在无穷小分割基础上的思想，与现代数学的体积理论惊人的一致。近代数学大师高斯提出了多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不可能的猜想。以这个猜想为基础，希尔伯特在1900年提出了《数学问题》中的第三个问题 [65] 。不久，希尔伯特的学生德恩（Dehn，1878—1952）给了肯定的答复。刘徽在公元3世纪就开始考虑19、20世纪数学大师们所考虑的问题。
众所周知，若干年前，人们就把数学描绘成一棵树（通常是一株大栎树）的样子。在树根上标着代数、平面几何、三角、解析几何和无理数。从这些树根长出强大的树干微积分。然后，从树干的顶端发出许多枝条，包括高等数学所有的各个分支 [66] 。实际上，早在1 700多年前，刘徽就把数学看成一株“枝条虽分而同本干”的大树。刘徽说，这棵数学之树“发其一端”。这个端是什么呢？刘徽说“亦犹规矩度量可得而共”。规矩代表空间形式，度量代表数量关系。这就是说，世代相传的数学方法是客观世界的空间形式和数量关系的统一。规矩、度量可以看成刘徽的数学之树的根。数学方法由规矩、度量产生出来。这反映了中国古典数学形、数结合，几何问题与算术、代数密切结合的特点。
刘徽的数学之树从规矩、度量这两条根生长出来，统一于数，由此产生出数量的运算这个本干。根据不加证明而承认其为真理的长方形面积公式，长方体体积公式以及率的定义出发，引出整数四则运算、分数四则运算、今有术，又引出衰分术、均输术、盈不足术、开方术、方程术、面积问题、体积问题，以及勾股测望问题等主要枝条，这些主要枝条又分出各种数学方法作为更细的枝条，最终形成了一株枝叶繁茂，硕果累累的大树，如图3所示。
图3 刘徽的数学之树
刘徽的数学体系“约而能周，通而不黩”，就是说简明而周全，通达而没有窒碍。因为作注的形式，刘徽不得不将自己的数学知识分散到《九章筭术》的各条术文和各个题目中，但是，他的注没有任何逻辑矛盾而不能自洽的地方，可见他的逻辑水平之高。
刘徽的数学体系是从《九章筭术》的数学框架发展起来的，它继承了《九章筭术》全部正确的内容，又加以改造、补充，与《九章筭术》比较起来，发生了质的改变。因此，我们认为，尽管刘徽是以为《九章筭术》作注展现他的数学知识的，但是在中国数学史上，以刘徽为代表的魏晋数学，与以《九章筭术》为代表的春秋战国西汉数学，不能划作一个阶段，而是两个阶段。《九章筭术》是建立中国古典数学框架的阶段，而刘徽《九章筭术注》是奠定理论基础的阶段。
（七）李淳风及其《九章筭术注释》
李淳风（602—870），岐州雍（今陕西省凤翔县）人，唐初天文学家、数学家。明天文、历算、阴阳之学。贞观元年（627）淳风上书唐太宗批评当时所行《戊寅元历》的失误，建议重铸黄道浑仪，系统论述了浑仪的发展。授将仕郎，直太史局。三年撰《乙巳元历》，七年撰《法象志》七卷，是制造新天文仪器的理论基础。浑天黄道仪于是年制成。十五年为太常博士，旋任太史丞，撰《晋书》、《隋书》之《天文志》、《律历志》、《五行志》，是中国天文学史、数学史、度量衡史的重要文献。约十九年，撰成《乙巳占》，其中含有十分丰富的天象资料和气象史料。二十二年拜太史令，同年以修国史功封昌乐县男。
贞观二十二年，“太史监侯王思辩表称《五曹》、《孙子》理多踳驳。淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、《孙子》十部算经”。显庆元年（656）书成，“高宗令国学行用”。其水平较高的是《周髀筭经注释》，创造了斜重差法。其《海岛筭经注释》只是为刘徽的术文做细草，未能探讨其造术。《孙子筭经》、《五曹筭经》、《缉古筭经》中未见李淳风等的注释。
麟德元年（664），李淳风吸取隋刘焯在《皇极历》中创造的定朔计算方法及用二次内插法计算太阳、月亮的不均匀运动等方法，制定《麟德历》，次年颁行，直到开元十六年（728）被一行的《大衍历》取代。《麟德历》破除自古以来的章蔀纪元方法，设1340为总法，作为岁实、朔实、交周和五星周期的共同分母，使运算简捷，后人多效法。《麟德历》还废闰周而直接以无中气之月为闰月 [67] 。
可是李淳风等的《九章筭术注释》除了均输章“负笼”问的注释有点新意，及少广章开立圆术的注释引用祖暅之开立圆术，保存了祖暅之原理及祖暅之解决球体积的方法，极为宝贵外，其他注释多是重复刘徽注，几无新意。更奇怪的是，李淳风等注释多次指责刘徽。事实证明，所有这些地方，错误的不是刘徽，而是李淳风等。李淳风等对刘徽的指责，徒然表明李淳风等无法理解刘徽注的理论贡献及刘徽提出的新方法的重大意义，反映了其数学水平的低下。这是隋唐时期中国数学比魏晋南北朝落后的一个侧面。
五、《九章筭术》的版本与校勘
对《九章筭术》的版本和校勘研究，是“《九章筭术》与刘徽热”中的重要方面。一般说来，一部古籍越受重视，其版本就越多，版本纷乱就越严重。《九章筭术》是中国古代最重要、最受重视的数学著作，因而不仅版本多，而且文字歧异特别严重。200余年来，尤其是20世纪80年代中期以来，《九章筭术》的校勘取得了较大的进展，但还是不断出现错校，甚至多次发生改回已被纠正的错校的现象，说明对校勘的原则和实践，还存在许多分歧。因此，我们有必要在这里花费较多的篇幅介绍《九章筭术》的版本和校勘情况。
（一）《九章筭术》的版本
《九章筭术》成书后，甚至在刘徽、李淳风等先后注解之后，长期以抄本的形式流传。《九章筭术》自北宋起开始刊刻，并在南宋翻刻。清中叶之后戴震整理了几个校勘本，开始对《九章筭术》全面校勘。20世纪60年代钱宝琮出版了校点本，首次使用现代标点。在20世纪80年代至90年代，国内外出现的对《九章筭术》及刘徽研究高潮中，版本与校勘研究，有突破性进展。现将这些版本分别介绍如下。
1. 抄本
《九章筭术》经过唐初李淳风等整理注释后而成定本，他们整理时肯定进行了删节。一个明显的证据就是李淳风之前不久的王孝通在《缉古筭经》第一问注中录出《九章筭术》均输章的犬追兔术（见本书此处 ）。现传《九章筭术》中有一“犬追兔”问，却与此不同。
李淳风等将《九章筭术》改称《九章筭经》，可能是表示尊崇之意。这个名字使用了1 100余年，直到清中叶。
李淳风等整理的《九章筭术》在唐中叶就形成了不同的抄本。唐李籍撰《九章筭术音义》 [68] ，为我们探索这些版本提供了可以说是唯一的，因而是最为珍贵的资料 [69] 。李籍提到的各版本的异文歧字与后来的南宋本、《大典》本及其戴震辑录本的异同如下：
刘徽序中，李籍释“索隐”，现传各本中无此二字。李籍所用的抄本当有“索隐”二字。
卷一圆田术李淳风等注释，李籍释“攈摭”，字与《永乐大典》戴震辑录本相同，“攈”字，南宋本误作“攗”。李籍说：“攈，或作捃。”是当时还有一作“捃摭”的抄本。
卷一“宛田”问，李籍引作“
田”，字与《永乐大典》戴震辑录本相同。李籍云：“
，当作宛，字之误也。”南宋本作“宛”。
卷一“环田”问，李籍云，环，“或作镮”。是当时还有一作“镮田”的抄本。
卷二反其率术买翭问刘徽注，李籍引作“犹数草木称其根株也”，字与《永乐大典》戴震辑录本相同。“木”，南宋本讹作“本”。
卷二反其率术买矢簳问，李籍释“榦”，字与《永乐大典》戴震辑录本相同。李籍又云：“一本作簳。”南宋本作“簳”。
卷三禀粟问，李籍释“禀”，字与南宋本、《永乐大典》戴震辑录本相同。李籍又云：“或曰廪，非是。”是当时还有一作“廪”的抄本。
卷四开立圆术刘徽注，李籍释“
氏”，字与南宋本、《永乐大典》本相同。李籍又云：“一本作栗。”是当时还有一作“栗”的抄本。
卷四开立圆术李淳风等注释，李籍释“咍哂”，“咍”，南宋本、《永乐大典》本均作“贻”。
卷五鳖臑问，李籍释“鳖臑”，字与《永乐大典》戴震辑录本相同。李籍又云：“臑，或作腝，非是。”南宋本、杨辉本作“腝”。
同问刘徽注，李籍释“臂节”，《永乐大典》戴震辑录本作“背节” [70] ，“背”似系“臂”之误。南宋本、杨辉本作“臂骨”。
卷五刍甍术刘徽注，李籍云“刍甍之形似屋盖上苫也”。“苫”，字与《永乐大典》戴震辑录本相同，而南宋本、杨辉本作“茨”。
同问，李籍引刍甍术刘徽注“正解方亭两边”，“解”字与《永乐大典》戴震辑录本相同，南宋本、杨辉本作“斩”。
卷六均输粟问，李籍释“用车一万乘”之“乘”字云“一本作量”。《永乐大典》辑录本、杨辉本均作“乘”。是当时还有一作“量”的抄本。
卷六均输卒问，李籍释“薄塞”，字与《永乐大典》辑录本、杨辉本相同。李籍又云：“薄，或作博，非是。”是当时还有一作“博”的抄本。
卷六“程传委输”问，李籍释“程传”，字与《永乐大典》辑录本相同。杨辉本作“乘传”。
卷七盈不足术刘徽注，李籍释“朒”，字与《永乐大典》辑录本相同。李籍又云：朒，“或作朏，非是”。杨辉本作“朏”。
卷七共买琎问，李籍释“琎”，字与《永乐大典》辑录本、杨辉本相同。李籍又云：琎，“一本作准”。杨辉本亦注“一云准”。是当时还有一作“准”的抄本。
卷七“之蜀贾”问，李籍释“之蜀贾”，字与《永乐大典》辑录本、杨辉本相同。李籍又云：“贾，一本作价。”是当时还有一作“价”的抄本。
以上19条中，李籍所用字与《永乐大典》本或其戴震辑录本相同的有16条，不同者仅2条；谈到的与现传各本不同者有11条。前五卷12条中，与《永乐大典》本或其戴震辑录本相同者10条，不同者仅2条；与南宋本不同者9条，相同者仅3条；提到的另本与南宋本相同者3条。后五卷共10条，与《永乐大典》戴震辑录本相同者9条，不同者仅1条，可能是笔误；与杨辉本相同者4条，不同者6条。在南宋本、《永乐大典》辑录本、杨辉本共存的卷五约半卷中，李籍与之有字词歧异者4条，李籍所用与南宋本、杨辉本都不相同，与《永乐大典》戴震辑录本相同者3条，如果考虑到戴震辑录本的“背节”是“臂节”的笔误，那么这4条李籍与《永乐大典》本则完全相同。这些事实说明：
首先，在李籍所在的唐中叶，《九章筭术》除存在北宋秘书省本、《永乐大典》本、杨辉本的母本之外，还有一两个甚至更多的抄本。这些抄本内容基本一致而又有若干细微差别。
其次，李籍撰《九章筭术音义》所使用的抄本与《永乐大典》本的母本十分接近，或者就是同一个抄本。
第三，南宋本和杨辉本的母本最为接近，或者就是同一个母本。有人说杨辉本与《大典》本最为接近，而与南宋本有较大不同，是不足征信的。
第四，南宋本和杨辉本的母本在李籍时代就已与《永乐大典》本的母本不同。自清中叶起，人们说明初编撰《永乐大典》时将南宋本《九章筭术》分类抄入，这是犯了一种想当然的错误。
2. 传本
北宋秘书省刻本是世界数学史上首次印刷的数学著作，可惜在北宋末年的战乱中大都散失，今已不传。《九章筭术》的现传本有：
（1）南宋本
南宋历算学家鲍澣之于庆元元年（1200）在临安与杨忠辅讨论历法时找到北宋秘书省刻本《九章筭经》，随即翻刻。刻工精美，错讹也少。可惜到明末，遗失后四卷及刘徽序，仅存前五卷，今藏上海图书馆。这是世界上现存最早的印本数学著作。1980年影印，收入文物出版社出版的《宋刻算经六种》。
（2）《大典》本
明永乐间编纂《永乐大典》（1408），《九章筭术》被分类抄入“筭”字条。今存卷16343、16344，中有《九章筭术》卷三下半卷和卷四，藏英国剑桥大学图书馆，1960年影印，收入中华书局《永乐大典》。1993年影印，收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册。
（3）杨辉本
杨辉《详解九章筭法》抄录的《九章筭经》本文及刘、李注，今存卷三下半卷及卷四（存《永乐大典》中），和卷五约半卷及后四卷（清道光间郁松年据宋景昌校石研斋抄本刻印，收入《宜稼堂丛书》）。石研斋抄本中鲁鱼亥豕极为严重，宋景昌根据微波榭本纠正了绝大多数这类舛误。排除鲁鱼亥豕之类的错讹，并根据宋景昌的校勘记恢复石研斋抄本原文，可得杨辉本之卷五约半卷及后四卷。由于此本之所有，正是南宋本之所缺，极可宝贵。
（4）汲古阁本
清康熙甲子年（1684）毛扆影抄南宋本卷一至卷五。北平故宫博物院1932年影印，收入《天禄琳琅丛书》。原本今藏台北故宫博物院。汲古阁本有几个字与南宋本不同，其中一个关键的字，南宋本商功章“今粗疏”之“粗”（戴震辑录本、杨辉本同），汲古阁本讹作“租”。因此，不能将汲古阁本等同于南宋本。
（5）戴震辑录本
清乾隆三十九年（1774），戴震在《四库全书》馆从《永乐大典》辑录出《九章算术》，称为戴震辑录本。这是一项功德无量的贡献。由于后来《永乐大典》散佚，倘无他的工作，后人也许永远无法读到足本的《九章筭术》。戴震还将其改称《九章算术》，一直沿用至今。戴震辑录本今已不存。不过我们可以将《武英殿聚珍版丛书》本与《四库全书》本对校，并借助校勘记写出《大典》本原文，基本上可以恢复戴震辑录本。
将戴震辑录本《九章算术》与残存的《永乐大典》对校，便会发现戴震的辑录工作十分粗疏，以至于戴震辑录本与《永乐大典》本的差别远远超过《永乐大典》本与南宋本的差别 [71] 。戴震的粗疏一直影响到20世纪80年代初，给《九章筭术》造成严重的版本混乱。此外，戴震辑录本阙盈不足章“共买豕”问，只有245问。
3. 校勘本
清中叶以来，《九章筭术》的校勘本有：
（1）戴震校本
①戴震辑录校勘本与《四库》本和聚珍版、聚珍版御览本、福建影刻本
戴震对《永乐大典》辑录本进行了校勘，我们称之为戴震辑录校勘本。今亦不存，可由聚珍版与《四库》本对校恢复之。戴震提出了大量的正确校勘，这是有记载的对《九章筭术》的第一次全面校勘，给我们留下了基本上可以卒读的《九章筭术》的足本，贡献极大。不过，戴震也提出了大量错校，包括原文不误而误改者与原文确有舛误而校改亦不当者。
18世纪七八十年代，根据戴震辑录校勘本的正本，抄录7部，分藏于文渊阁、文津阁等七座皇家书阁 [72] ，是为《四库全书》本。其文渊阁本今藏台北故宫博物院，1983年，台北商务印书馆影印。2005年，北京商务印书馆影印了文津阁本。
1774年，根据乾隆的旨意，清宫武英殿将戴震辑录校勘本的副本用活字印刷，收入《武英殿聚珍版丛书》，世称聚珍版。乾隆发现《武英殿聚珍版丛书》初版有不少错误，遂命馆臣修订，修订本原藏承德避暑山庄，今藏南京博物院，我们称为聚珍版乾隆御览本。1993年影印其《九章算术》等七部算经，收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册。
乾隆又命东南各省翻刻《武英殿聚珍版丛书》，只有福建于乾隆四十一年影刻了《九章算术》。字形相近者错讹较多。
②豫簪堂本
乾隆四十一年，戴震以辑录本为底本，前五卷以汲古阁本参校，整理出一个新本子，与自己整理的《海岛算经》一起交给屈曾发，由豫簪堂合刻，世称豫簪堂本。在豫簪堂本中，戴震只保留了辑录校勘本中的30余条校勘记（作双行夹注），而将他的包括大量错校在内的绝大多数校勘文字冒充《九章筭术》原文。戴震还对《九章筭术》原文做了大量修辞加工，进一步造成了《九章筭术》版本的混乱。此外，戴震恢复了辑录校勘本中删去的“实如法得一斤”的“斤”（或其他单位）字，但也出现一些新的错校。
③微波榭本
乾隆四十一年冬四十二年春，戴震以汲古阁影宋本（前五卷）和戴震辑录本（后四卷与刘徽序）为底本，整理出又一个新的《九章筭术》本子，交给孔继涵，由微波榭刊刻，收入微波榭本《算经十书》。此本也只保留了30余条校勘记，与豫簪堂刻本的双行夹注基本相同，但作为“订讹”或“订讹补图”置于有关的卷之末。至于将他的绝大多数校勘文字冒充《九章筭术》原文，改正删去“实如法得一斤”的“斤”（或其他单位）字的错校，及出现新的错校的情况，也与豫簪堂本基本相同。微波榭本在豫簪堂本的修辞加工基础上又做了不少新的修辞加工。
孔继涵还将微波榭本冒充北宋本的翻刻本，并将刻书年代印成乾隆三十八年（1773），即戴震到《四库全书》馆之前，以欺世人。微波榭本在此后200余年间被多次翻刻、影印，影响极大。其中庚寅年（1890）的上海翻刻本后来成为钱校本的底本，我们称为庚寅本。
自清戴敦元起到20世纪80年代初近200年间，人们将豫簪堂本说成是微波榭本的翻刻本，这不仅把时间搞颠倒了，而且也未发现两者体例的不同。
（2）戴震和李潢共同影响下的刊本
①李潢《九章算术细草图说》
清李潢（？—1812）《九章算术细草图说》，以微波榭本为底本作细草图说，大多数是得当的，是治《九章筭术》的必读书。李潢看过《永乐大典》，指出了戴震的几处误辑，对戴震将方程章正负术之“无人”改作“无入”等少数校勘提出异议，但对戴震的其他校勘则都遵从。李潢在“说”中提出了大量校勘，有一部分是对的，也有许多错校。尤其他不能理解刘徽的极限思想和无穷小分割方法，不仅“说”不到位，甚至提出错校。
此外，李锐对方程新术作了校勘 [73] ，十分精当，被李潢采入《九章算术细草图说》。
此期间还有汪莱的校勘。他撰《校正〈九章算术〉及戴氏订讹》 [74] ，对《九章筭术》的校勘绝大多数十分精当。
②宋校本
宋景昌遵郁松年嘱，校勘石研斋抄本《详解九章算法》，刻入《宜稼堂丛书》，本书称为宋校本。宋校本以戴震校勘的微波榭本、李潢的《九章算术细草图说》为参校本，纠正了石研斋抄本大量鲁鱼亥豕之类，既校勘了杨辉本固有的一些舛误，也改动了杨辉本某些不误的原文，对微波榭本中有的戴震错校，则说明杨辉本与之“义得两通” [75] 。
③补刊本和广雅书局本“聚珍版”
《武英殿聚珍版丛书》的原本《九章算术》今国内外馆藏已不多，现今冠以“武英殿聚珍版丛书”名号的《九章算术》，除少量乾隆间福建的聚珍版影刻本及同治间的重印本外，多数是福建光绪十九年（1893）根据李潢的《九章算术细草图说》修订的聚珍版补刊本，以及光绪二十五年（1899）广东广雅书局翻刻的聚珍版补刊本。这些版本都是刻本，已无“聚珍”之意，更重要的是，补刊本和广雅书局本，不仅有李潢的校勘，而且通过李潢本的底本微波榭本渗透进了汲古阁本的文字。因此，在使用聚珍版时需要认真考察，否则容易张冠李戴。
（3）钱校本
钱宝琮长期从事《九章筭术》的校勘和版本研究，贡献极大。他所校点的《九章算术》（繁体字本）收入中华书局1963年出版的《算经十书》上册，学术界称为钱校本。钱校本纠正了戴震、李潢等人的大量错校，指出了20世纪校勘《九章筭术》的正确方向。他还提出了若干正确的校勘，指出微波榭本是戴震校本，揭穿了孔继涵用戴校本冒充宋本翻刻本，并将刻书年代刻成乾隆三十八年的骗局。然而钱校本以微波榭本的庚寅本为底本，沿袭了戴校本的大量失误及庚寅本的特有舛误，所说的南宋本实际上是汲古阁本，所说的聚珍版是福建补刊本与广东广雅书局本，因此将近20条李潢的校勘说成“聚珍版”，另外，也有一些错校，对戴震、李潢的许多错校，还没有纠正。
此外，1983年科学出版社出版了白尚恕的《九章算术注释》（简体字本）。此本对20世纪80年代初普及《九章算术》及其刘徽注的知识发挥了一定的作用，但沿袭了钱校本的全部失误，而自己提出的校勘，基本上都是错的，甚至恢复了已被钱校本纠正的戴震不少错校，注释错误也较多。
（4）汇校本等版本
近20年来，国内外出版了10余个《九章筭术》的校勘本，既汲取了戴震、李潢、钱宝琮等大量的正确校勘，也纠正了前人的若干错校。但是良莠不齐，有的校勘者提出错误的校勘原则，杜撰古汉语修辞法，为戴震、李潢和自己的错校张本，甚至出现窃取他人校勘成果为己有的违背学术道德的现象。兹将近20年来出现的主要版本介绍如下：
①汇校本与汇校本增补版
20世纪80年代，笔者通过对近20个《九章筭术》版本的校雠，发现戴震之后200余年间，《九章筭术》的版本十分混乱，错校极多。于是在吴文俊、李学勤、严敦杰等先生支持下，重新校勘了《九章筭术》，1990年由辽宁教育出版社出版了汇校《九章算术》（繁体字本），学术界称为“汇校本”。其前五卷以南宋本为底本，以《大典》本（残）和戴震辑录本参校，后四卷及刘徽序以戴震辑录本为底本，以杨辉本参校，刘徽序还以《诸家筭法及序记》参校 [76] 。恢复了被戴震等人改错的南宋本、《永乐大典》本不误原文约450处（以钱校本为参照），采用了戴震、李潢、汪莱、李锐、钱宝琮等大量的正确校勘，重新校勘了若干原文确有舛错而前人校勘亦不恰当之处，并对若干原文舛误而前人漏校之处进行了校勘。不过此本也有个别错校和错字。此外，汇校本还汇集了近20个不同版本的资料。
汇校本脱销后本应出版修订本，但由于发现李继闵的《九章算术校证》抄袭了汇校本的数百条校勘，甚至对其中百余条校勘声明说是他的“新校”，显然如果修订了汇校本，许多话讲不清楚。因此，再次出版时不得不照印汇校本原文，而将新的校勘意见和版本资料作为增补，这就是汇校本增补版，2004年由辽宁教育出版社和台湾九章出版社出版。汇校本增补版恢复了该书原名《九章筭术》，并在封面印有“［西汉］张苍、耿寿昌编定”字样。
②《大典》本版本链的校勘本、南宋本—杨辉本版本链的校勘本和中法双语评注本
汇校本意在正本清源，所使用的底本实际上不属于同一个版本链：南宋本与《大典》本的母本在唐中叶就已不同。杨辉本与南宋本或者有同一个母本，或者它们的母本最为接近，然而它们都不是足本。因此笔者计划再做几个校勘本，并已于2004年全部完成、出版。这几个版本是：
一是《大典》本版本链的校勘本，其卷三后半卷、卷四以《大典》本为底本，其余各卷及刘徽序以戴震辑录本为底本，而分别以南宋本、杨辉本参校。先后校点两次，收入海南国际新闻出版中心1997年出版的《传世藏书》、首都师范大学出版社2007年出版的《国学备览》，均为简体字本。此旨在力图复原《大典》本的母本，很可能是唐中叶李籍使用的那个抄本的面貌。
二是南宋本—杨辉本版本链的校勘本，其前五卷以南宋本为底本，后四卷及刘徽序以杨辉本为底本，而以《大典》本和戴震辑录本参校，这就是《算经十书》本，1998年辽宁教育出版社出版简体字本，2001年台湾九章出版社出版繁体字修订本。此本首次加上“［西汉］张苍、耿寿昌编定”字样。1998年辽宁教育出版社出版的《九章筭术》译注本的底本亦如此。此旨在力图复原李籍提到的唐中叶另一个抄本的面貌。
三是在各传本中择善而从的校勘本，这就是根据中国科学院与法国国家科学研究中心（CNRS）科学合作协议，与法国林力娜（K. Chemla）合作完成的中法双语评注本《九章算术》 [77] ，2004年法国Dunod出版社出版，2005年重印。
以上这三种校勘本都坚持了汇校本的绝大多数校勘，同时纠正了汇校本的个别错校。
③《九章算术校证》和《九章算术导读》等
1993年陕西科学技术出版社出版了李继闵的《九章算术校证》（简体字本），台湾九章出版社2002年出版了繁体字本。此本有几条正确的校勘。但关于版本的注记生吞活剥钱校本、汇校本的研究成果，错乱十分严重。自己提出了若干错校，又恢复了已被汇校本纠正的戴震、李潢等的大量错校。抄袭汇校本的300余条校勘，有200余条不出校勘记，有100余条出校勘记，却说成是自己的“新校”，将汇校本的校勘成果窃为己有。1998年，陕西科学技术出版社出版了李继闵的《〈九章算术〉导读与译注》。
1996年湖北教育出版社出版的沈康身的《九章算术导读》，旁征博引，内容丰富，然而不出校勘记，有的翻译有曲解之嫌。
④外文译本
《九章筭术》是世界古代数学名著之一，已被译成多种文字。《九章筭术》本文早已译成日文、俄文、德文等外文，但含有刘徽注及李淳风等注释的外文译本并不多，除中法双语评注本之外还有：
日译本：1980年日本朝日出版社出版了川原秀成的日译本“刘徽注《九章算术》” [78] 。以微波榭本为底本，有新的校勘。是为首次将刘徽注译成外文。
中英对照本：1999年科学出版社和剑桥大学出版社出版了沈康身等翻译的英译本 [79] 。含有刘徽注和李淳风等注释，其蓝本是《九章算术导读》，因而也无校勘记。有的翻译曲解原文。
捷译本：2008年捷克Matfyzpress出版了Jiří Hudeček（胡吉瑞）翻译的捷克文本《九章算术》 [80] ，含有刘徽注和李淳风等注释。
（二）《九章筭术》的校勘
1. 《九章筭术》校勘的重点和原则
陈垣先生将校勘分为死校法与活校法，活校法又分为本校法、他校法和理校法 [81] 。死校法只是辨别异同，不判定是非及进呈新的校勘意见，是机械性的工作，比较容易的，凡是识字的人大抵都能做。活校法则不然。不管是本校法、他校法还是理校法都需要对古文和所论内容的深入理解，即古人所说的“离经辨志”，还要有有关的详尽资料。就《九章筭术》而言，需要对古文和中国数学史尤其是《九章筭术》有深入的研究和广博的知识。对《九章筭术》的校勘作出重大贡献的戴震、李潢、钱宝琮都是古文造诣相当高的数学家。他们对传本《九章筭术》中大量舛误不可通的文字提出了若干正确的校勘。后来的人能基本上读通《九章筭术》，可以说全依仗他们的努力。
（1）校勘的重点
前已指出，所谓《九章筭术》的校勘，主要是对刘徽注的校勘。因为，《九章筭术》的衍脱舛误主要发生在刘徽注中，《九章筭术》本文的舛误极少，也不难纠正。而且，只要做好了刘徽注的校勘，李淳风等注释的校勘大多可以迎刃而解。根据自戴校各本到钱校本《九章筭术》各版本的情况，笔者认为《九章筭术》的校勘，主要有以下几项任务：
①剔除戴震从《永乐大典》辑录时因工作粗疏而造成的以及各版本转换中出现的一直影响到20世纪80年代初的衍脱舛误，还有戴震在豫簪堂本、微波榭本中的修辞加工。这一项工作量比较大，但是只要认真校雠即可完成，是比较简单的、机械性的工作。
②恢复被戴震等人改动的不误原文。这一项不仅工作量大，而且非常艰巨。
③对原文确实舛误而前人校勘不当者进行重校。这一项工作也相当艰巨。
④对原文仍有舛误而前人未予校勘者进行校勘。这一项工作难度较大，但工作量不是很多。
以上四项中，第②③两项是主要的。笔者所谓钱宝琮指出了《九章筭术》校勘的正确方向，即此意。况且有大量已被钱校本、汇校本纠正的戴震等人的错校，又有被人改回错校者。
（2）校勘中必须遵循的几个原则
①本人和他人的校改文字不能成为校勘的依据。戴震对勾股章“葛缠木”问刘徽注的校勘，其中的“句三”、“股四”及“二十五为弦五自乘幂”均依据他本人所补的第一问的图，不符合校勘的原则。况且戴震以勾三、股四、弦五画第一图，既违背了《九章筭术》勾股术术文的一般性，也违背了刘徽关于这条术文的严格证明。20世纪90年代的校勘本中仍有以戴震或自己的校勘文字作为校勘依据的现象。
②多闻阙疑是校勘学中的又一原则，在理校法中尤为重要。对原本是否舛误不能肯定者，或虽能认定原文舛误而不能肯定正确文字为何者，要存疑，不要轻改原文。如果只是“疑误”或“似误”就轻改原文，不仅是对古籍不负责任，也是对自己、对读者不负责任，从而背离了校勘学的原则。
两通是存疑的一种方式。目前所存的南宋本—杨辉本与《大典》本这两条《九章筭术》版本链，在唐中叶李籍时代已有细微不同。有的不同是两通。所谓“两通”，本来是一通，只是《九章筭术》本文及刘、李注的原稿已不存，我们无法判断何者为正，何者为误，只好承认两通。这是存疑的一种方式。有时两通在意义上难分伯仲，有时义有长短。南宋本、《大典》本、杨辉本大约有近200条两通之处。校证本把相当多的两通判定为南宋本误，辑录本正。如方田章圆田术刘徽注南宋本“以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数”，其中“倍所得，六尺二寸八分”，戴震辑录本作“倍之，得六尺二寸八分”，两通，只是南宋本省去“六尺”之前的“得”字而已。校证本为了证明辑录本正确，南宋本讹误，故意将汇校本对南宋本的正确断句错改为“倍所得六尺二寸八分”，并说：“当理解为将所得六尺二寸八分倍之。”其偏颇是不言自明的。
③不妄呈臆见、轻于改字，是校勘学的最重要原则。可以说，戴震对《九章筭术》的校勘相当程度上违背了这一原则。王念孙总结他校勘《淮南子》的体会时说：“凡所订正，共九百余条。推其致误之由，则传写讹脱者半，凭意妄改者亦半也。” [82] 戴震、李潢对《九章筭术》的校勘，大约有一半是错校，其中包括对大量不误原文的改动。至于戴震在豫簪堂本、微波榭本中对不误原文所施修辞性加工就更多了。
2. 认识《九章筭术》及其刘徽注的篇章结构及主旨是校勘的基础
200余年来，对《九章筭术》的某些错校，是由于对《九章筭术》与刘徽注的结构及篇章主旨认识偏颇造成的。
（1）对《九章筭术》篇章结构的认识
《九章筭术》的编纂，如刘徽所说，是在先秦九数基础上发展起来的，汉张苍、耿寿昌删补而成的，中经许多人之手，少说也绵延数百年。因此，《九章筭术》中出现各卷体例不一致，分类标准不统一，卷题与内容有抵牾，有许多题目的排列顺序不甚合理等现象。这是《九章筭术》固有的，不能随意改动。比如盈不足章“两鼠穿垣”问、勾股章“持竿出户”问，《大典》本、杨辉本都分别在卷末，戴震在微波榭本中将其移前，是不妥的。其实，移动了这两个题目的位置，不能根本改变《九章筭术》题目排列不合理的情况。汇校本因此恢复原顺序。校证本又依微波榭本改移，是没有道理的。
（2）对刘徽《九章筭术注》的认识
前已指出，对刘徽的《九章筭术注》，有几点必须注意。
首先，刘徽注尽管继承了《九章筭术》的主要数学成就与方法，但它在《九章筭术》基础上有重大发展，其数学思想与数学方法不完全同于后者。因此，有人说刘徽用语理当与《九章筭术》一致，显然是错误的；因此而以注改经，更是不妥。
其次，刘徽注中有“采其所见”者。尽管传本《九章筭术》中的注是刘徽、李淳风等分别写的，但就其思想而言，不能说不是刘徽的，就必定是李淳风等的，不是李淳风等的，就必定是刘徽的；更不能说，刘徽注的思想和方法都是刘徽的首创。因此，戴震发现刘徽注中有思路不一致的地方，就将第二段改成李淳风等注释，显然不妥。戴震这类错改尤以均输章最多。汇校本纠正了戴震的这类错误，校证本又恢复戴震错校，除了重复戴震的不充分的理由外，没有新的可靠证据。比如对均输章“乘传委输”问注的第三段（见本书此处 ），戴震在辑录校勘本中说，此“应是李淳风等所释，讹为刘注”，未提出任何理由，在后来的戴校各本与钱校本中便将刘徽注的第三段径改为李淳风等注释。汇校本考虑到刘徽注有“采其所见”者，刘徽自己也会对同一问题有不同的思路，纠正了戴震的误改。校证本却说戴震的“校补甚是”，并且先肯定这段文字是李淳风等注释，然后说明这段“李注”的用意，并未说明这段文字为什么不是刘徽注，便说汇校本恢复原文是“误断”。这真是强词夺理。须知，不首先证明这段文字不是刘徽注，就不能乱改。实际上，将“乘传委输”问注的第三段与“凫雁”问之刘徽注（见本书此处 ）相对比，就会发现，两者的思路和方法完全一致，其为刘徽注本无可疑。校正本的态度犹如某乙偷了某甲一根木料，用于盖自己的房子，引起官司。法官看了乙家的房子后说：“这根木料用在乙的房子上很合适，可见某甲告讼无理！”法官都如此，天下岂不大乱！如果校勘中持这种态度，那么任何一部古籍都可以被随心所欲地改写。以此校勘《九章筭术》，不知还得有多少条刘徽注被迫改姓李！幸亏戴震没有看出圆田术刘徽注与阳马术刘徽注中有不同的思路。否则，他便会将刘徽记述的《九章筭术》时代的论证方法归于刘徽，而将极限思想和无穷小分割方法归于李淳风等。这样，中国古代最伟大的数学家将不再是刘徽，而是李淳风等。那样，整个中国数学史都得重新改写！
（3）对篇章主旨的认识
认清篇章的主旨，在文字舛误而又不能使用死校法、本校法、他校法而必须使用理校法时，可以确定校勘的方向。如勾股章“户高多于广”问刘徽注之《大典》本、杨辉本云“令矩句即为幂，得广即句股差，其矩句之幂，倍为从法，开之亦句股差”，有舛误。戴震、钱宝琮将“矩句”训解成弦幂减股幂之矩，因此，将下文两“句股差”改成“股弦差” [83] 。汇校本认为，刘徽的“矩句”不同于刘徽的“句矩”，它指股幂减句幂所余之矩（见本书此处 ），因此，仅在“倍”下补“句”字，即文从字顺。校证本认为此段校勘的关键在于对“矩句”的训解，却提不出任何理由便说刘徽的“矩句”即刘徽之“句矩”。实际上，此段校勘的关键不仅是“矩句”的训解，而首先要弄清本段的主旨：它到底是讨论“股弦差”的问题，还是讨论“句股差”的问题。此问是勾股章中唯一讨论“句股差”的问题，而讨论“股弦差”的问题有好几个。刘徽断不会不在有关“股弦差”的几个问题的注释中讨论这种股弦差的命题，而要将其插入这唯一的有关“句股差”的问题注解中。因此，原文中两“句股差”符合本注的主旨，不会是误文。事实上，校证本在讨论此刘注各段造术演化逻辑关系时，也认为此段是有关“勾股差”的，改成“股弦差”与自己的这种分析相矛盾。
（4）对李淳风等注释的认识
隋唐是封建盛世，但其数学水平既低于其后的宋元，也低于其前的魏晋南北朝，是中国数学史上的一个低潮 [84] 。李淳风是唐初杰出的天文学家、数学家，但正如钱宝琮在《中国数学史》所指出的，李注水平不高。我们认为，这既表现在他几次指责正确的刘徽注，也表现在他不厌其烦地重复同类的注释，还表现在他以自己繁琐的算法代替《九章筭术》简省的算法上。粟米章“菽求熟菽”问，菽率45，熟菽率
，《九章筭术》化成菽率10、熟菽率23入算，十分简省。李淳风说：“术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。”这是先用9约熟菽率
与菽率45，分别得
与5。校证本武断地认为“原文当为后人误改”，将
改成23，将5改成10。显然，这样改动的前提是假设李淳风等不会犯错误。校证本的改动不是校勘，而是给李淳风等改错。
3. 必须掌握专业知识
（1）算理是校勘的根本
因为未正确理解其数学内容而错改不误原文，在《九章筭术》的校勘中屡屡发生。刘徽方程新术细草在求出各物的相与之率及麻的一斗之价之后说“置麦率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以实率七为法，所得即各为实”，文中有个别舛误，但这段注文显然是利用各物相与之率及麻价援引今有术求出其余各物的价钱。“实率”是“麻率”之误，戴震的校改是对的。然而将“各为实”改作“同为麻之数”，又将不误的“麻”字改为“其斗数”，则完全改变了注文的原意，是为错校。实际上，“各为实”当作“各为价”。川原秀城已纠正了戴震的错校。同样，下文在减行中“令同名相从，异名相消，余为减或置余，乘列衰，所得各为实。此可以实约法，则不复乘列衰，各以列衰为实”，是以衰分术求出各物的价钱。戴震将“余为减或置余”校为“余为法，又置下实”是对的。然将“为实”改为“如所约知其价”，则是错误的。盖此问中实与法恰恰相等，可以相消，“则不复乘列衰，各以列衰为价”即可，“为实”系“为价”之误。戴震没弄懂计算程序，不独增字太多，且违背了原意。
李潢由于不懂刘徽的极限思想和无穷小分割方法，说刘徽对刘徽原理的证明中“按余数具而可知者”至“安取余哉”（见本书此处 ）疑文有错误，不敢强为之说。实际上，这段文字没有任何讹误。李潢又将上文不误的“两端”改作“两棋”，及前已指出的误补一“棋”字，而对“令赤黑堵各自适当一方，高二尺，方二尺，每二分则一阳马也”中的舛误则未发现。事实上，此处的两“二尺”是“一尺”之误，华道安也指出了这一点 [85] 。
又如均输章“络丝”问《大典》本、杨辉本之《九章筭术》术文（见本书此处 ）的算式是
络丝斤数=（青丝1斤铢数×练丝1斤两数×络丝1斤）
÷（青丝1斤12铢×练丝12两）
其中实与法中的青丝都以铢为单位，练丝都以两为单位，原无讹误。校证本将其中“实”的求法改成“以练丝一斤铢数乘络丝一斤两数，又以青丝一斤乘，为实”，其算式是
络丝斤数=（青丝1斤×练丝1斤铢数×络丝1斤两数）
÷（青丝1斤12铢×练丝12两）
实与法中的练丝一以铢为单位，一以两为单位，而青丝一以斤为单位，一以铢为单位，显然不如原文确当。校证本说改动原文的根据是刘徽注用“重今有”解释算法的由来。这是错误的。刘徽为此问作的注提出了三种方法。第一种方法是根据题设先算出三种丝的两组率
练:青=384:396， 络:练=16:12。
两次应用今有术，得
青丝1斤用练丝数=（青丝1斤×384）÷396。
练丝用络丝数=（青丝1斤用练丝数×16）÷12
=（青丝1斤×384×16）÷（396×12）
刘徽称为“重今有”。第二种方法是通过齐同使三率悉通，得
络:练:青=128:96:99。
一次应用今有术，得
络丝=（青丝1斤×128）÷99。
第三种方法是先求青丝用练丝两数，得
练丝两数=（青丝1斤铢数×练丝1斤两数）
÷（青丝1斤12铢）。
再求出所用络丝斤数
络丝斤数=（用练丝两数×络丝1斤）÷练丝12两
=（青丝1斤铢数×练丝1斤两数×络丝1斤）
÷（青丝1斤12铢×练丝12两）。
这里没有用到率概念。显然，刘徽的三种方法中只有第三种方法是解释《九章筭术》算法的由来，且与《九章筭术》算法完全一致。使用率的第一、二种方法，其思路与《九章筭术》的算法并不相同。没有读懂《九章筭术》术文及刘徽的三种方法，便以刘徽注的第一种方法改不误之术文，是十分轻率的。以注说改经文，是古籍错乱的原因之一。清段玉裁首先注意到这个问题，已成为读古书者不可不知的常识，今天校书，不可再犯以注说改不误经文的错误。
（2）准确的中国数学史知识是正确校勘的前提
对数学内容不理解而臆改，还表现在对数学方法的发展历史了解不够。《九章筭术》时代方程术用直除法消元，刘徽在“牛羊直金”问注文中才提出了互乘相消法。刘徽以齐同原理注直除法：“先令右行上禾乘中行，为齐同之意。为齐同者谓中行直减右行也。”《大典》本、杨辉本均如此，不误。戴震不理解互乘相消法的前身直除法，将后一句改成“为齐同者谓中行上禾亦乘右行也”，把完整的直除法改成了互乘法（无相消）。钱宝琮批评戴震“违反原术直除的意义”，纠正了戴震错校。此后有人又恢复戴震错校，是十分不应该的。
（3）出土文物可以提供存真复原的佐证
校勘《九章筭术》，除数学史知识外，还需要其他知识，其中包括出土文物的知识。均输章“牝牡二瓦”问的题设，《大典》本、杨辉本均作“今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚”，戴震在豫簪堂本、微波榭本将“牝”误改成“牡”，将“牡”误改成“牝”，钱校本从。汇校本根据版本考察，恢复《大典》本、杨辉本原文。牝瓦俗称板瓦，牡瓦俗称筒瓦。校证本认为“为瓦先制圆筒，一分为二则得筒瓦，再分为四而成板瓦”，因此戴震在豫簪堂本、微波榭本中的改动是对的，并将此作为指责汇校本对古本“迷信妄从”的典型例子。事实上，《九章筭术》的整理者之一耿寿昌主持建造的杜陵，出土了不少板瓦和筒瓦 [86] 。其中板瓦个体大，瓦身长59.5厘米，一端宽50厘米，另一端宽43厘米，厚2.4厘米。瓦的表面通体饰粗绳纹，纹宽0.7—1厘米。绳纹斜行，排列疏朗，见图4-1。筒瓦的表面均饰直绳纹，纹宽0.3米，有四种类型，大都长56—59厘米、宽19—19.7厘米、厚2.1—2.3厘米、瓦唇长6.2—6.8厘米。瓦表面绳纹长21厘米，见图4-2。由此可见，板瓦与筒瓦根本不是如校证本所说的那种做法，而是各自独立制造的。显然，牝瓦一般较大，两端宽度不同，截面不是半圆孤，而是其一部分，所以显得比牡瓦偏平。牡瓦大都较小，两端宽度相等，截面呈半圆形。牡瓦有瓦唇而牝瓦没有。可见，牝瓦较难做，因此，题设一人一日做牝瓦三十八枚，一人一日做牡瓦七十六枚是可信的。戴震在豫簪堂本、微波榭本中纯系误改。校证本依戴震误改，更是错误的。
图4-1 板瓦
图4-2 筒瓦
4. 正确句读，弄懂古文
（1）正确句读
正确的句读是理解数学内容，避免误改原文的保证。戴震、李潢有不少地方因句读失当而错改了原文。商功章方亭术刘徽注棋验法中有“棋十三更差次之，而成方亭者三，验矣”之句，南宋本、《大典》本、杨辉本均如此，根据法国林力娜（K. Chemla）的意见，其义为：上面所陈述的棋验法用到立方棋三、堑堵棋十二、阳马棋十二，相当于十三个立方棋。这十三个立方棋可以重新合成三个标准方亭，原文无任何讹误。戴震将“棋”字与上连读，“棋”下句绝，改作“十二与三更差次之，而成方亭者三，验矣”，遂不可通，实为错校。方程章方程术刘徽注求中禾的方法时说“以法为母，于率不通，故先以法乘，其通而同之”，《大典》本、杨辉本均如此，“通而同之”是汉魏间表示齐同过程的数学术语，无任何讹误。戴震于“其通”下句断，改作“故先以法乘其实，而同之”，遂不可通。钱校本指出戴校不甚合理，然未纠正戴震句读错误而将“乘其通”改作“乘中行”，当然亦无必要。
商功章阳马术刘徽注“设为阳马为分内，鳖腝为分外，棋虽或随脩短广狭犹有此分常率知，殊形异体亦同也者，以此而已”，南宋本、《大典》本、杨辉本均如此，不误。“知”训“者”（见下）。戴震在豫簪堂本、微波榭本中于“知”上句断，又改“知”作“如”，不妥。李潢又于“棋”下句断，遂不可通，便在“分内”下添一“棋”字，当然是错误的。丹麦华道安纠正了这一错校。南宋本中“设为”不误，“为”训“以”，《大典》辑录本作“以”。王引之《经传释词》卷二：“‘为’，犹‘以’也。”《史记·楚世家》“秦王所为重王者”，《史记·鲁仲连传》“秦王所为急围赵者”，其中“所为”，《战国策》均作“所以”。戴震在豫簪堂本、微波榭本中删去“为”字，当然是错误的，且不如原文畅顺。
（2）弄通古义
《九章筭术》刘徽注中有些字的古义与近世通用的意义迥然不同。对这些文字的字义不理解，是造成对其数学内容不理解因而导致错校的一个重要原因。方程章“上禾七秉”问刘徽注“问者之辞虽？”《大典》本、杨辉本均如此。“虽”训“何”。裴学海《古书虚字集释》卷九云“虽”与“谁”通用，《说文解字》卷三上云“‘谁’，‘何’也”，可见，“虽”可训“何”，不仅可以问人，亦可问事，问物。刘徽此注是说“问者的话是什么意思呢？”，无任何讹误。戴震不懂“虽”字的这种用法，以为不通，在“虽”字下补“以损益为说”，文气亦不相连贯。
勾股章“持竿出户”问刘徽注“满此方则两端之邪重于隅中”，《大典》本、杨辉本均如此。“邪”，音、义均同“余”。这是说“填满这个黄方的乃是勾矩在两端的余数，它们在弦方的两隅中与股矩相重合”，可见此句无任何讹误。《史记·历书》：“先王之正时也，履端于始，举正于中，归邪于终。”裴骃《集解》曰：邪，“音余”，又引韦昭注：“邪，余分也。”《史记》此句引自《左传》，在那里“归邪于终”正作“归余于终”。戴震大约将“邪”按常用意义理解成“斜”，遂不可理解，改“邪”作“廉”。钱校本以为戴校非是，改作“矩”，亦无必要。
均输章“持衣追客”问刘徽注“除，其减也”，《大典》本、杨辉本如此，不误。“其”训“乃”。王引之《经传释词》卷五：“‘其’，犹‘乃’也。”戴震以为“其”为误文，改作“即”，当然不妥。
商功章羡除术刘徽注“就中方削而上合，全为中方锥之半”，南宋本、《大典》本、杨辉本及戴校各本均如此。此处“半”训“片”。《汉书·李广苏建传》李陵“令军士人持二升糒、一半冰”。如淳曰：“‘半’读曰片。”师古曰：“‘半’读曰判。判，大片也。”刘徽的意思是说：将四个阳马合成的方锥沿中方至顶点切割，整个中方锥分成一片片，每一片都是一个鳖腝。原文无任何讹误。李潢将此“半”字理解成二分之一，以为“中方锥”之“中”字衍，删去，造成错校。下文“故外锥之半亦为四鳖腝”之“半”字，亦训“片”，《大典》本、杨辉本原文不误。也有人误改。
方程章正负术中减法法则中有“正无人负之，负无人正之”，加法法则中有“正无人正之，负无人负之”，《大典》本、杨辉本均如此。戴震说：“据注云‘无人’为无对也。无对之说亦未分晓。释方程者专为遇空位起例，而左右两行相对减，或正宜变为负，或负宜变为正，往往不得其义例。今考‘同名相除，异名相益’者，如下实左右俱正，所减之余属左行，则去右行，属右行，则去左行。其物品以正减正，负在所去之行，为正无入；以负减负，余在所去之行，为负无入；以正从负为正无入，以负从正为负无入。负对空位，而负数在所去之行。与以负减负同例。正对空位，而正数在所去之行，与以正从负同例。此皆所谓正无入负之，负无入正之也。‘异名相除，同名相益’者，如下实左右俱正，并为一数，则无分于左右。其物品以负减正，余或左或右，为正无入；以正减负，余或左或右，为负无入；以正从正为正无入，以负从负为负无入。正对空位，与以负减正同例。负对空位，与以负从负同例。此皆所谓正无入正之，负无入负之也。由是言之，在所去之行，则其数无入，而或左或右，以与无分于左右，合为一行，因亦谓之无入。‘人’字乃传写之误，明矣。”遂将“人”改作“入”。杨辉本“卖牛羊”问在“一法”之“无入”下注：“古本误刻‘无人’者，非。”所谓“古本”即北宋贾宪的《黄帝九章筭经细草》，它是杨辉本的底本。宋景昌据此认为“杨氏亦从‘入’”。钱宝琮认定戴震此处参考过《永乐大典》中所引杨辉本。此后诸本，包括汇校本及其增补版在内，均依戴震改作“入”。惟李潢按：“‘入’字原本作‘人’，孔刻改为‘入’，非是。”李潢本“于经、注作‘入’，仍微波榭本也。‘说’中作‘人’，遵原本也”。然而李潢没有说明“人”字为什么不误。实际上，人：训偶，伴侣。《庄子·大宗师》：“彼方且与造物者为人，而游乎天地之一气。”王先谦集解引王引之云：“为人，犹言为偶。”《淮南子·齐俗训》：“上与神明为友，下与造化为人。”无人：即无偶，无对。可见“无人”没有讹误。这次译注，恢复《大典》本、杨辉本原文。
（3）关于“知”与“者”
刘徽注、李淳风等注释中有许多以“知”结尾的短语，如刘徽注“远而通体知”、“近而殊形知”、“半广知”、“上、下两袤相等知”等，李淳风等注释中“合分知”、“平分知”等。戴震在豫簪堂本、微波榭本中，则将大部分这类“知”字改作“者”。这些改动是没有必要的。裴学海《古书虚字集释》卷六：“‘知’犹‘之’也。语助也。”《战国策·楚策四》“闾姝子者，莫知媒兮”，《荀子·赋》作“莫之媒也”。裴书卷九：“‘之’犹‘者’也。”自注云：“‘之’与‘者’一声之转，故本书‘之’‘者’互训。”比如《说苑·杂言》“是知之所以乐水也”下文云“是仁者所以乐山也”，上言“之”，下言“者”者，互文耳。同样，“者”犹“之”也。《史记·穰侯列传》“未尝有者也”，《战国策·魏策》“未尝有之也”，《荀子·礼论》“加好者焉，斯圣人矣”，《史记·礼书》作“加好之焉，圣矣”。因此，李学勤认为《九章筭术》刘、李注以“知”字结尾的短语中的“知”，均应训“者”，非误文。
（4）关于通假字
使用通假字，是古书中常见的现象。根据古籍校勘惯例，对这种通假字不应作改动。方田章圆田术刘徽注：“以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。”此处“觉”是“较”的通假字。《孟子·离娄》：“则贤不肖之相去，其间不能以寸。”赵岐注曰：“如此贤不肖相觉，何能分寸？”此处“觉”便是“较”的通假字。戴震以“觉”为误字，改作“较”，违背了校勘通例。
5. 掌握衍脱舛误的规律
古籍的衍脱舛误都有规律可循。王念孙、俞樾、陈垣等大师对此都有精辟的总结。《九章筭术》衍脱舛误虽不能说包括他们所说的全部情形，然而几种主要的都有而且比较严重。
（1）音、义、形相近而误
音、义、形相近，音、义相近，义、形相近，字形相似等而造成舛误的情况在《九章筭术》中屡见不鲜。比如方田章圆田术刘徽注中谈到求微数时，南宋本、《大典》本之“以下为母”不可理解，“下”与“十”字形相近，钱宝琮参考开方术刘徽注求微数“以十为母”，校为“以十为母”；弧田术刘徽注南宋本、《大典》本之“令弧而不至外畔”不可理解，“令”与“今”，“弧”与“觚”，“而”与“面”皆字形相近，戴震校作“今觚面不至外畔”；等等，都十分精当。粟米章其率术中“其率”下刘徽注之南宋本、《大典》本“其率如欲令无分”不可理解。戴震在微波榭本中删去“其率”二字，仍不通。实际上，“如”当作“知”，“知”训“者”，此注应为“其率知，欲令无分”，与《九章筭术》其率术是求整数解相吻合。少广章开立圆术李淳风等注释引祖暅之解决球体积的方法中，南宋本、《大典》本之“即外四棋之断上幂”不可理解，戴震、李潢未予校勘。钱校本于“外”上补“内”字，数学上可以讲通，然文字上感到勉强。实际上“外”当作“此”，形似而误。
字义相近而误。这在《九章筭术》各版本中亦十分常见，如黯与黩，绝与极，地与日，尺与寸，广与阔，斯与则，则与即，辞与词，以与为，四方与方面，副并与副置，率与术，等等。粟米章南宋本有两经率术，《大典》辑录本第二术无“经率”二字。微波榭本同南宋本，光绪庚寅年（1890）上海重刻微波榭本时将第二“经率术”误作“经术术”。少广章开立圆第一问答案刘徽注南宋本、《大典》本之“计积四千一百九十尺二十一分尺之一十”，不误，微波榭本同，上海庚寅本将“分尺”误作“分寸”，钱校本从。等等。
（2）重文而误
因重文而阙字是《九章筭术》舛误的重要原因。如均输章“恶粟求粝米”问刘徽注，《大典》本、杨辉本作“置今有米十斗，以粝米率十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣”，显有脱文，戴震未予校勘。汪莱在“乘之”下补“如率九而一，即化为粝。又以恶粟率二十乘之”凡二十字，完全符合重今有术，盖原注文中有两“如”字，又有两“乘之”，中间约一行，极易脱去。对这一段，李潢将不误的“粝”改作“米”，下补“则化为粝。又以恶粟二十斗乘之，如粝米九斗而一”，不独改易太多，而且不符合重今有术。
还有因重文而衍字造成舛误的。勾股章“求户高广”问《大典》本、杨辉本有百余字连续舛误不可句读。其中有：
盖先见其弦然后知其句与股今适等自乘亦合为方先见其弦然而后知其句与股适等者令自乘亦令为弦幂。
显然，“先见其弦然而后知其句与股适等者令自乘亦”19字约一行重衍。此段应为：
盖先见其弦，然后知其句与股。今适等自乘，亦各为方，合为弦幂。
戴震将其改为：
盖先见其弦，然后知其句与股也。句股适等者并而自乘，即为两弦幂。皆各为方，先见其弦，然后知其句与股者，倍弦幂即为句股适等者并而自乘之幂。半相多自乘倍之，又半句股并自乘亦倍之，合为弦幂。
将44字增加为80字，增加了若干原舛误文字中不见痕迹的内容，与其说是校勘，不如说是改写。实际上，上述文字在聚珍版、《四库》本中只是戴震对舛误文字的理解，但在豫簪堂本、微波榭本中他竟拿来冒充原文，以欺世人。
（3）二字合一而误与一字分为二而误
《九章筭术》还有二字合一而误与一字分为二而误的情形。如均输章“持米出三关”问刘徽注又一术《大典》本、杨辉本之“则当置三分乘之，二而一”舛误不通。戴震未予校勘。李潢改作“则当置本持米，二乘之，三而一”，这里将“二而一”校作“三而一”是对的，三、二形似而误。然李潢的文字仍不合理。实际上，文中的“三”是“一”与“二”的合文，盖两者竖写，无标点，极易合二而一，变成“三”。某位先辈在国家图书馆藏聚珍版《九章算术》上眉批道：“元本应是‘置一，二分乘之，三而一’。”方田章乘分术刘徽注南宋本、《大典》本之“分子与人交互相生”，然上文中分子不与人相对举，而是金与人对举，“齐其金、人之数”，五马与四马相齐为二十马，则与五马相应的金三斤及与四马相应的七人分别齐为金十二斤与三十五人，可见金与人交互相生。因此文中“分子”应是“金”字一分为二形成的误文。
（4）旁注阑入正文
古人读书有作旁注的习惯，后人抄书，尤其是外行人抄书，常将旁注衍入正文，且往往衍入正文上方。刘徽注和李淳风等注释中有许多带“者知”的句子，如刘徽序“故枝条虽分而同本者知，发其一端而已”，等等，亦是读者旁注“知”字之音、义，被抄书者阑入正文。戴震在豫簪堂本、微波榭本中及后来的学者有时将“知”删去，或“者”下句断，“知”连下读，都是不合适的。
以上仅列举了衍脱的几个重要方面。一般说来，内行抄书容易发生修辞性衍脱舛误。比如“则”、“即”两字在不同版本中，或同一版本的不同地方常通用而两通，便是内行抄书造成的。而外行抄书，往往出现文理不通的衍脱舛误。勾股章所出现的大量舛误不通，多是外行抄书造成的。从时间上说，《九章筭术》的舛误相当一部分是戴震及后来人造成的，也有一部分是南宋本、《大典》本、杨辉本刻印、抄写时产生的，而更多的难以校勘的舛误是在李籍以前就产生了。研究衍脱舛误规律，对纠正传本中的错误，是十分重要的。
6. 掌握古文的修辞规律
校勘古籍，要有古汉语修辞的常识。戴震等人改动了《九章筭术》400余条不误的原文，当然是错误的。不过，戴震处于乾嘉学派初创时代，当时，对古汉语的修辞规律及语法现象的研究还十分薄弱。应该说，戴震的错误是情有可原的。戴震之后二百余年来，人们对古汉语的研究取得了长足的进步。现在校勘《九章筭术》，当然应当汲取这些成果。否则，以自己的想当然杜撰古文的修辞规律，或者为戴震等人的错改辩解，或者提出新的错校，只能把《九章筭术》再弄得面目全非。
（1）关于宾词
乘、除、约等动词之后是否必须出现宾词？上述“先以法乘，其通而同之”中戴震将“其通”连上读，大约导源于戴震等认为“乘”字后必须有宾词。而对没有宾词的，戴震就补充一个宾词，如均输章络丝问术文“又以络丝一斤乘，为实”，《大典》本、杨辉本均如此，不误，戴震却在“乘”后补“之”字。盈不足章刘徽注“故以乘，同之”，“乘”字下亦无宾词，《大典》本、杨辉本均如此，不误。李潢改成“故以同乘之”，改变了原意。实际上，《九章筭术》本文和刘徽注中大量事实表明，只要联系上下文就可以清楚看出“乘”、“除”、“约”等的宾词的，其后一般都可省去宾词。
（2）省文
俞樾探讨了古文中“文具于前而略于后”、“文没于前而见于后”、“蒙上文而省”、“探下文而省”、“两人之辞而省曰字”，语急而省等各种省文情形 [87] 。杨树达更详尽探讨了古文中省字、省词、省句等各种省略情形，省词既可以省名词，也可以省动词，也可以省外动词及宾词，有承上而省者，有探下而省者，有承上探下两省者 [88] 。这些精彩论述对正确校勘《九章筭术》非常重要。粟米章今有术刘注南宋本、《大典》本“欲化粟为米者”，“米”是粝米的省文。汇校本以《九章筭术》本文及刘、李注的事例证明，《九章筭术》固然有粝米、粺米、御米、糳米等各种米，但不特加说明，米一般指粝米，因而认为钱校本在“米”字前补“粝”字是没有必要的，恢复原文。又如均输章“络丝”问《大典》本、杨辉本刘徽注“所得青丝一斤，练丝之数也”，省“用”字；“善行者”问《大典》本、杨辉本刘徽注“善行者行一百步，追及率”，省“为”字；商功章委粟术南宋本、《大典》本刘徽注“得三十六而连除，圆锥之积”，省“得”字；等等，李潢都补出，汇校本认为无必要，恢复原文。校证本却认为凡作省文“一般或依惯例而省，或承上而省”，断言“未有省前而存后者”，基于这种错误认识，恢复了戴震、李潢等大量误补的省文。
（3）上下文异辞同义与同辞异义
俞樾在《古书疑义举例》中举出《论语》、《左氏传》、《周书》、《荀子》、《商子》、《吕氏春秋》等典籍中的若干例子说明古文中上下文异辞同义的现象。《九章筭术》中也有这种情形。方田章圆田术李淳风等注释南宋本、《大典》本“……角径亦皆一尺，更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知”（见本书此处 ），其中“角径”与“面径”是异辞同义，因此“角径亦皆一尺”不误；“周”与“规”也是异辞同义，戴震不明此义，将“若以径”以下十八字改作“若以六觚言之，则为周六尺，径二尺，面皆一尺”。汇校本恢复原文。
又如方程章“五家共井”问《大典》本、杨辉本题设中有五个相同的句型，前一句用“如”，后四句用“以”（见本书此处 ）。汇校本指出，“如”、“以”可以互训，因此戴震说后四“以”字讹误，改成“如”，是无必要的。校证本说“此问中几个排比句，用词理当一致，‘如’字较‘以’字词义明确，戴氏校改有理”。事实上，古文的排比句用词不一定一致。原来古文中有上下文变换虚字的情形，即使是排比句也有虚字不同者。《尚书·洪范篇》：“水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土爰稼穑。” [89] 上四句用“曰”，下一句用“爰”。爰训曰。俞樾还举了古籍中的大量上下文变换虚字的例子。显然，说排比句用词理当一致，是没有根据的。至于说因“如”字较“以”字词义明确而改作“如”，这是替古人修辞加工。
上下文同辞异义也是古籍中的普遍现象，杨树达在《汉文文言修辞学》中，刘师培在《古书疑义举例补》 [90] 中举出《礼记》、《尚书》、《周易》、《左氏传》、《汉书》等典籍中的例子说明这个问题。《九章筭术》亦不乏其例，上述商功章羡除术南宋本、《大典》本、杨辉本刘徽注“全为中方锥之半”、“故外锥之半亦为四鳖腝”中的“半”训“片”，与《九章筭术》大量“半”训“二分之一”，就是同辞异义。一词多义，是任何民族的语言不可避免的现象。
（4）实字活用
《九章筭术》方田章邪田术有两个例题，题设稍有不同（见本书此处 ）。一个给出了两头广及正从，一个给出了正广及两畔从。正从与正广都指今天直角梯形的高。两头广与两畔从就是今天梯形的上下底。描述它们的用词不同，其形状是一致的（见方田章图1-3）。《九章筭术》简明地表明了它们的求积公式：“并两邪而半之，以乘正从若广。”乍看起来，“两邪”难以理解。因为邪田中没有两邪，只有一邪，而且求积公式不能以邪入算。校证本断言“两邪”必是误文，改为“并两广若袤而半之”。实际上，“两邪”不误，它指两头广或两畔从，因位于邪的两端，故称为两邪。这是古文中实字活用的表达方式。《左传》襄公九年：“门其三门。” [91] 下“门”字指门，上“门”字指攻是门者。同样，执于手者谓之手。因此，方田章圆田术刘徽注“即九十六觚之外弧田九十六所”，“外弧田”亦不误，谓正九十六边形之外面圆弧贯穿了其中的田，也是实字活用之例。校证本改成“外觚田”，不独无必要，而且此是长方形田，古算中不称为觚田。
（5）文中自注
杨树达说：“古人行文，中有自注，不善读书者，疑其文气不贯，而实非也。” [92] 他举出《史记》、《汉书》、《盐铁论》等中大量例子说明这个问题。这是杨氏的一大发现 [93] ，对阅读古籍，提示了一种新的方法。认识古文中的这一现象对《九章筭术》校勘特别重要。盈不足章盈不足术刘徽注《大典》本、杨辉本中有“注云”、“又云”等语，戴震认为“后人连合注文”，“因其更端不相通窜入注云二字以别之”，将其删去。汇校本认为刘徽注《九章筭术》曾“采其所见”者，此“注云”及下文“又云”或为其引语，或为引自注，删去是不妥的。均输章“矫矢问”刘注“此同工共作，犹凫、雁共至之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于五十矢，矢同则徒齐，其归一也。以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。实如法而一，得一人成矢之数也”，除“成”原文误作“矫”，他皆为《大典》本、杨辉本原文，不误。其中“以此术……以九日为实”是刘徽自注。李潢不理解这种句法，说最后一句“与上文不属，疑有脱误”。钱校本受此影响，将其改成“得凫雁相逢日数也”。汇校本恢复《大典》本、杨辉本原文。校证本认为刘徽注“不应注中加注”，改回钱校，当然不妥。另外行文中引用自己的话，古今中外亦不少见。戴震据均输章第三问注内引用合分注及反衰注，便说此“乃淳风等推谕术意无疑”，将此大段改为李注。换言之，戴震认为刘徽注中不能引自注。汇校本恢复原文。校证本说“刘徽重复自己前面的话不能作为引文提出”，认为戴说有道理，显然是强迫古人按自己设计的框架行事。
（6）错综成文
《九章筭术》方程章“卖牛羊买豕”问的题设（见本书此处 ）中“一十三豕、九羊、六羊、八豕、五牛”与“牛二、羊五、牛三、豕三”错综成文；术文中“五牛、六羊、八豕”亦与“牛二、羊五、豕一十三”、“牛三、羊九、豕三”错综成文。戴震在豫簪堂本、微波榭本中将“六羊、八豕”改作“羊六、豕八”，将“五牛、六羊、八豕”改作“牛五、羊六、豕八”。汇校本恢复《大典》本、杨辉本原文。校证本认为汇校本未允，戴校为是，理由是“各行物率之记述理当一致”。这是站不住脚的。实际上，右、中行本身的表示就不一致，戴震以右、中行为标准对左行作了加工，仍难一致。错综成文是古文中一种常见的现象。俞樾在《古书疑义举例》中举了《论语》等古籍中若干例句说明这种现象。因此，《大典》本、杨辉本的原文是符合古文传统的。戴震及校证本纯属修辞加工。
经过二百多年来几代学者的努力，《九章筭术》的校勘取得了巨大的成绩，但是并不能说已经尽善尽美了。特别是没有版本佐证，靠理校法得出的校勘结论，包括笔者的结论，只能是逻辑推理，见仁见智是难免的。其正确性尚需假以时日。那种动辄宣布自己的校勘，甚至对不误原文的改动是定案，自诩为典范的态度，显然是不足取的。
六、关于本书几个问题的说明
笔者曾在20世纪90年代以南宋本与杨辉本的版本链为底本翻译过《九章筭术》，这次翻译当然参考了该书。但是本书不仅底本不同于1998年的译注本，而且进行了全面注释（1998年本只注释了数学术语），同时对绝大部分篇章作了重新翻译。兹将本书的情况说明如下：
（一）关于本书的内容
《九章筭术》译注分原文、注释、译文三项内容。
1. 原文
本书原文使用了辽宁教育出版社与台湾九章出版社2004年联合出版的《汇校九章筭术》（增补版）的正文，并对个别地方做了重校。汇校本及其增补版照录了底本的原文，将舛误文字置于圆括号内，而将校勘文字置于方括号内。根据本丛书的体例，本书只刊载汇校本增补版校勘后的文字，舛误文字不再录出。
2. 注释
注释含有以下几类内容：
（1）对古代数学术语、数学公式、算法的阐释，大多以现代数学符号写出公式、解法，并对面积、体积、开方、勾股测望等问题画出图解。
（2）对张苍、耿寿昌、刘徽、祖冲之、李淳风等数学家的简介。
（3）对古代少数官职的介绍。
（4）对古代字词的解释，分传统数学术语与通用词汇两种。刘徽注中的许多词汇，在古汉语中是不是他首先使用的，不得而知。但目前辞书中的有关例句比刘徽晚出，我们亦引出作为印证。《九章筭术》及其刘徽注中某些数学术语，在现有辞书中查不到恰如其分的解释，只好根据李俨、钱宝琮等前辈及自己的理解予以注释。
（5）少数校勘记。对《九章筭术》的校勘是一个不断深化的过程。近20年来，笔者虽然坚持汇校《九章筭术》及其增补版的绝大多数校勘，但是这次作译注，还是发现其中仍有采用戴震错校之处，当然要重校，写出校勘记。而为了节省篇幅，对汇校本增补版的校勘，凡是本书继续使用的，除带有注释性的外，不再录入。
3. 译文
译文是用现代汉语翻译，应该尽量做到信、达、雅。笔者认为，科技著作的翻译有与文史典籍不同的特点，科学技术史上一个科学概念、一种科学思想的出现、发展以至完备，往往要经历十分曲折的过程。现在课堂上用几分钟可以对学生讲清楚的东西，在历史上可能要经过几十年、几百年甚至上千年的发展。因此，科技古籍的翻译必须防止以后来的科学发展高级阶段的概念、思想代替古代的东西。比如常有人说，刘徽计算的圆周率是3.14或3.141 6，祖冲之计算的圆周率在3.141 592 6与3.141 592 7之间，在科普著作中这样说未尝不可，但是在数学古籍的翻译或学术论文中则是不合适的，因为中国小数概念的产生与使用尽管是世界上最早的，但是也在祖冲之之后三四百年。以小数表示刘徽与祖冲之的圆周率，显然不符合历史事实。我们认为，科技古籍的翻译应该以信、达为主而力求其雅。
本书附有索引，以汉语拼音为序，录出《九章筭术》本文、刘徽注、李淳风等注释中的数学术语、数学家及所提到的重要历史人物，其他文史术语则不录。术语后面只给出该术语主要所在的一个页码，比如句、股、弦在刘徽序、卷一、四与卷九中都有，但是却仅列出卷九中的一个页码。因为卷九是句、股、弦的主要所在。之所以只列一个页码，是因为许多术语应用非常广泛，如果凡有必录，有的会多达几百处。
（二）关于本书的分段与某些字词的使用
1. 分段
本丛书将注释、译文与原文按段落排在一起，而由于《九章筭术》的体例极不统一，刘徽注长短不一，因此分段难以整齐划一。我们的分段既考虑其内部的结构与逻辑关系，也考虑篇幅的长短。具体说来，对《九章筭术》中采取术文统率例题形式的部分，凡是先给出一个或几个例题，再给出抽象性术文者，便以术文为中心，将例题与术文合为一段；先给出抽象的术文，再列出几个例题，例题没有术文，但有的例题还有子题目者，将术文作为一段，而将例题酌情分成几段：没有子题目的几个例题合为一段，有子题目的例题各自作为一段；凡是先给出抽象性术文，再给出若干例题，例题有术文者，则将抽象性术文作为一段，所属的例题合为一段。但是对比较长的刘徽注，比如圆田术注、方亭术注、阳马术注、刍童术注、刍甍术注、麻麦术注等，则根据其内容酌情分成2段或更多的段。对《九章筭术》中采取应用问题集的部分，则根据题目的性质，一个题目或几个题目组合成一段。比如勾股章引葭赴岸、系索、倚木于垣、勾股锯圆材、开门去阃等5个题目都是已知勾与股弦差求股、弦的问题，合成一段。而户高多于广问是已知弦与勾股差求勾、股的问题，持竿出户问是已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦的问题，则各自成一段。
2. 某些字词的使用
这里说的主要是“筭”与“算”，“荅”与“答”，“句”与“勾”等字的使用。
（1）“筭”与“算”
“筭”与“算”在《现代汉语词典》中是两个字，不是异体字。筭：本指算筹。《说文解字》：“筭，长六寸，计历数者。从竹，从弄，言常弄乃不误也。”又同算。《尔雅》：“筭，数也。”陆德明《经典释文》：“筭，字又作算。”枚乘《七发》：“孔老览观，孟子持筹而筭之，万不失一。”算：数，计算。《说文解字》：“算，数也。从竹，从具，读若筭。”王筠释例：筭、算“二字经典通用。许意：其器名筭，乃《射礼》释筭之谓。算计曰算，乃无算爵，无算乐之谓。”清中叶以前的数学著作中，几乎全用“筭”，鲜有用“算”字者。1983年底荆州张家山汉墓出土的《筭数书》竹简，也统统用“筭”，而不用“算”。从戴震自《永乐大典》辑录汉唐算经，将全部的“筭”改作“算”字，无一例外。《现代汉语词典》云：“筭，同算。”为了尊重原始文献，本书定名为《九章筭术译注》，并且凡一般的论述均用《九章筭术》。而对各版本，则均依其版本的名称，具体说来，对戴校各本到汇校本增补版以前各本，均作《九章算术》；而对汇校本增补版，则用《九章筭术》。此外，本书凡“原文”及注释中引用的原文，均遵从古籍，用“筭”，而在笔者写的注释和译文中则遵从目前的惯例，使用“算”字。
（2）“荅”与“答”
南宋本、杨辉本《九章筭术》各题的答案之“答”，均作“荅”。对荅之荅原作“畣”。荅本是小豆之名，后来借为对荅之荅。《玉篇》：“荅，当也。”《五经文字·艸部》：“荅：此荅本是小豆之一名，对荅之荅本作畣。经典及人间行此已久，故不可改。”《尔雅》：“畣，然也。”《玉篇》：“畣，今作荅。”对荅之荅，后作答。《广韵》：“答，当也，亦作荅。”《大典》本《九章筭术》各题的答案均作“答”。本书的答案，凡引原文皆遵从南宋本用“荅”（包括后四卷亦从南宋本改），而译文则遵从目前惯例用“答”字。
（3）“句”与“勾”
今之“勾股”，古作“句ɡōu股”。句：本义是曲，弯曲。《说文解字》：“句，曲也。”引申为勾股形的直角边之短者。勾的本义亦为弯曲。古句、勾通用。戴震从《永乐大典》辑录汉唐算经，改“句股”之“句”作“勾”。清中叶之后凡言“句股”，大多作“勾股”。今通用“勾”字。在现代，“句”不再有“曲”的释义。《现代汉语词典》对“句”，读ɡōu者仅有“高句丽”一个释义。本书凡“原文”及注释中引用的原文，均遵从古籍，用“句”字，而在笔者写的注释和译文中则遵从目前的惯例，使用“勾”字。
（三）本书所使用的底本与参考书
1. 关于《九章筭术》
本书除以汇校本增补版为底本，还使用了其他一些参校本。兹将这些版本，包括汇校本增补版所使用的版本及简称，以及关于《九章筭术》及其刘徽注的著作简介如下：
南宋本 南宋鲍澣之于庆元元年（1200）翻刻的北宋秘书省刻本《九章筭经》，仅存前五卷。文物出版社1980年影印，收入《宋刻算经六种》。
《大典》本 明《永乐大典》（1408）“筭”字条分类抄入《九章筭经》。今存《九章筭术》卷三下半卷和卷四。1960年影印，收入中华书局《永乐大典》。1993年影印，收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册。此外，戴震辑录校勘本中戴震引出的原本文字，《九章筭术》其他各卷如果戴震辑录本的文字与南宋本或杨辉本相同者，以及李潢所指出的《大典》本原文，本书也径直称为《大典》本。
杨辉本 南宋1261年杨辉《详解九章筭法》抄录的《九章筭经》。今存卷三下半卷及卷四（存《永乐大典》中），和卷五约半卷及卷六至卷九（由《宜稼堂丛书》根据宋景昌的校勘记恢复原文）。
汲古阁本 1684年清汲古阁主人毛扆影抄南宋本《九章筭经》，存卷一至卷五。北平故宫博物院1932年影印，收入《天禄琳琅丛书》。
戴震辑录本《九章算术》 1774年戴震从《永乐大典》辑录，今不存。郭书春由《武英殿聚珍版丛书》乾隆御览本与《四库全书》文渊阁本对校，并借助于戴震的校勘记恢复《大典》本原文而得。
戴震辑录校勘本《九章算术》 今不存，由御览本与《四库》本对校恢复。
聚珍版 1775年清宫武英殿根据戴震辑录校勘本《九章算术》的副本用活字印刷。1776年福建影刻，1893年补刊，1899年广东广雅书局翻刻福建聚珍版补刊本。
御览本 乾隆命馆臣对聚珍版《九章算术》的修订本。1993年影印，收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册。
四库本 18世纪70年代至80年代根据戴震辑录校勘本《九章算术》的正本抄录，凡7部。1983年，台北商务印书馆影印了文渊阁本。2005年，北京商务印书馆影印了文津阁本。
豫簪堂本 1776年屈曾发在豫簪堂刊刻的戴震新校本《九章算术》（与《海岛算经》合刻）。
微波榭本 戴震于1776年冬1777年春整理的新校本《九章算术》，收入微波榭本《算经十书》。庚寅年（1890）上海翻刻微波榭本。
李潢本 李潢《九章算术细草图说》提出的校勘。此书1820年鸿语堂刊刻。1993年影印，收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第4册。
李锐撰《方程新术草》 ，载《李氏算学遗书》，1819年刻板。
汪莱撰《校正〈九章算术〉及戴氏订讹》 ，载《衡斋遗书》，1892年刻板。
宋校本 宋景昌校《详解九章算法》，仅有《九章筭术》之卷五（约半卷）及卷六至卷九。收入《宜稼堂丛书》。
钱校本 钱宝琮校点《九章算术》，收入《算经十书》上册，中华书局1963年出版。
川原本 1980年日本朝日出版社出版的川原秀成的日译本“刘徽注《九章算术》”。
白注本 白尚恕《九章算术注释》，1983年科学出版社出版。
汇校本 郭书春汇校《九章算术》，1990年辽宁教育出版社出版。
郭书春撰《古代世界数学泰斗刘徽》 山东科学技术出版社1992年出版简体字本，台湾明文书局1995年出版繁体字修订本。
校证本 李继闵《九章算术校证》，陕西科学技术出版社1993年出版简体字本，台湾九章出版社2002年出版繁体字本。
沈康身撰《九章算术导读》 湖北教育出版社1996年出版。
《传世藏书》本 郭书春根据戴震辑录本整理的《九章算术》，收入《传世藏书》，海南国际新闻出版中心1997年出版。
译注本 郭书春译注《九章算术》，辽宁教育出版社1998年出版。
《算经十书》本 郭书春点校《九章算术》，收入《算经十书》，辽宁教育出版社1998年出版简体字本，台湾九章出版社2001年出版繁体字修订本。
李继闵撰《〈九章算术〉导读与译注》 ，1998年陕西科学技术出版社出版。
汇校本增补版 郭书春《汇校九章筭术》增补版，2004年辽宁教育出版社、台湾九章出版社出版。
中法双语评注本 林力娜（K. Chemla）与郭书春合作完成的LES NEUF CHAPITRES: Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires （《九章算术》），法国Dunod出版社2004年出版，2005年重印。
《国学备览》本 郭书春根据戴震辑录本重新整理的《九章算术》，收入《国学备览》，首都师范大学出版社2007年出版。
2. 其他
许慎撰《说文解字》 中华书局1963年版。
《辞源》 商务印书馆1979—1983年版。
《汉语大词典》 汉语大词典出版社1990年版。
《汉语大字典》 湖北辞书出版社、四川辞书出版社1992年版。
《辞海》 上海辞书出版社2009年版。
本书杀青之际，我很怀念李俨、钱宝琮、严敦杰等中国数学史学科奠基人与前辈，自己的各项数学史研究工作，包括这次重新译注《九章筭术》，都不断从他们的丰富著述中汲取营养。我也很怀念胡道静先生，他在1990年就建议我翻译《九章筭术》，因当时已答应为辽宁教育出版社译注《九章算术》，为避免一稿两投，没有做，不无遗憾。我特别感谢吴文俊先生和李学勤先生。吴先生是中国当代数学泰斗，30多年来，他积极倡导中国数学史研究，一直支持、鼓励我关于《九章筭术》与刘徽的研究，特别是版本和校勘研究。李先生是史学、古文大师，在我准备汇校本的过程中给以具体指导，提出许多宝贵意见。我还要特别感谢上海古籍出版社和魏同贤先生、熊扬志先生。在《中华大典》的常务编委会和多次工作会议上，我经常向魏老请教，他总是谆谆教导。熊先生多次发邮件、通电话，对本书的写作、修改不仅提出宝贵意见，而且冒着酷暑，逐字逐句修改注释与译文，对提高本书质量大有裨益。我从事中国数学史研究30余年，自认为治学是严谨的，每发表一篇（部）论著，都坚持对刊物与出版社负责，对读者负责，也对自己的名节负责的态度，同仁与读者的口碑也不错。但是，每收到熊先生的修改稿，都感到汗颜。从熊先生的态度，我深深体会到上海古籍出版社对作者、对读者、对历史负责的严谨作风。段耀勇博士重绘了一些插图，深表感谢。此外，我的夫人王玉芝除了照顾我的生活之外，还帮助校雠了本书书稿。实际上，从汇校本起，我的每一部《九章筭术》校勘本都有她的心血，亦志此，以表感激之情。
《九章筭术》与刘徽注博大精深，我在前人的基础上做了一些工作，发表了几十篇文章，也出版了几部书。这次重新翻译《九章筭术》在某种意义上说是30年来研究成果的总结。然而，关于《九章筭术》与刘徽注的研究不仅是中国数学史研究最重要的课题，也是一条没有尽头的历史长河。无论从《九章筭术》的研究历史还是从个人的研究历程上说，目前的研究都是阶段性成果，远没有也不可能穷尽《九章筭术》与刘徽注的研究。事实上，近20年来我做了八个在校勘上有不断进步的《九章筭术》版本，但校勘工作还有待进一步的研究。尤其是关于《九章筭术》的校勘中属于理校法的部分，目前并在今后一个相当长的时间内仍会见仁见智。我进行版本研究与校勘的目的，是力图恢复唐初立于学官的魏刘徽注、唐李淳风等注释的《九章筭术》。尽管做了一些工作，但是，与恢复唐初立于学官的抄本的目标，还有相当大的距离，需要不断努力。至于注释和译文，由于本人文史功底薄弱，必然会有错误和不足之处，也会有该注没注的遗漏。恳切希望方家不吝指教，以便在再版时改正。千虑之一得，是希望将《九章筭术》与刘徽的研究推向更深入的阶段。
郭书春
2009年8月
2018年5月修订
[1] 《算经十书》，中国古典数学奠基时期数学著作的总集。《周髀筭经》、《九章筭术》、《海岛筭经》、《孙子筭经》、《夏侯阳筭经》、《缀术》、《张丘建筭经》、《五曹筭经》、《五经筭术》、《缉古筭经》在唐初称为“十部算经”。唐中叶之后，《夏侯阳筭经》、《缀术》亡佚。北宋元丰七年（1084）秘书省刊刻十部算经，以唐中叶一部实用算术书充任《夏侯阳筭经》，对《缀术》则付之阙如。秘书省刻本今皆不存。1200—1213年南宋天算学家鲍澣之翻刻了北宋秘书省刻本，同时还刊刻了《数术记遗》，世称南宋本。到清初南宋本仅存《周髀筭经》、《九章筭术》（半部）、《孙子筭经》、《张丘建筭经》、《五曹筭经》、《缉古筭经》和《数术记遗》、《夏侯阳筭经》等七部半。1684年汲古阁主人毛扆影钞了这七部半算经，世称汲古阁本。后来汲古阁本流入清宫，藏天禄琳琅阁。1932年，北平故宫博物院影印，收入《天禄琳琅丛书》，原本现藏台北“故宫博物院”。清中叶南宋本《缉古筭经》、《夏侯阳筭经》不知流落何处。1980年北京文物出版社影印了尚存的南宋本算经，称为《宋刻算经六种》。明初修《永乐大典》，将此前算书分类抄入，现仅存卷16343、16344。清乾隆年间修《四库全书》，戴震从《永乐大典》辑录出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《夏侯阳算经》七部算经，并加校勘（其中《周髀算经》以明刻本为底本，以辑录本参校）。先后收入《四库全书》和《武英殿聚珍版丛书》。1776—1777年戴震分别以汲古阁本和辑录本为底本校勘汉唐算经，由孔继涵刊刻，始称《算经十书》，世称微波榭本。钱宝琮以微波榭本的一个翻刻本为底本校点《算经十书》，1963年由中华书局出版，世称钱校本。郭书春等点校《算经十书》，其中《周髀算经》等以南宋本或汲古阁本为底本，《九章筭术》后四卷及刘徽序、《海岛算经》、《五经算术》以《永乐大典》的戴震辑录本为底本，1998年由辽宁教育出版社出版，2001年台湾九章出版社出版了其修订本。
[2] 参见郭书春《我国古代数学名著〈九章算术〉》，《科技日报》，1987年10月7日。
[3] 北宋贾宪《黄帝九章筭经细草》九卷，是宋元数学高潮的奠基性著作。贾宪总结刘徽、《孙子筭经》等对《九章筭术》开方法的改进，提出“立成释锁法”，将传统开方法推广到开任意高次方，并首创“开方作法本源”作为其“立成”。“开方作法本源”今称贾宪三角，阿拉伯地区和欧洲都晚出几百年，西方称为巴斯卡三角。他又创造增乘开方法，是一种以随乘随加代替一次使用贾宪三角的系数，更加简捷的开方法，阿拉伯和西方也晚出数百年。贾宪还进一步抽象了《九章筭术》的算法。自1842年清郁松年刊刻《宜稼堂丛书》本《详解九章算法》以后140余年间，学术界都认为贾宪《黄帝九章筭经细草》已佚，仅某些片段被《详解九章筭法》抄录，《详解九章筭法》仅含有西汉《九章筭术》本文、魏刘徽注、唐李淳风等注释和杨辉详解四种内容。实际上，《详解九章筭法》卷三—十一系为贾宪《黄帝九章筭经细草》作详解，除以上四种内容外还抄录了贾宪的细草。因此，贾宪的“细草”与杨辉的“详解”一样，今存衰分章后半章、少广章（《永乐大典算书》，见郭书春主编《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册。河南教育出版社，1993年版；大象出版社，2002年版、2015年版）、商功章（约半章）、均输章、盈不足章、方程章、勾股章（《详解九章算法》，见郭书春主编《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册），因而二者都存约三分之二。见郭书春《贾宪〈黄帝九章筭经细草〉初探》，《自然科学史研究》第8卷（1988），第3期。收入《郭书春数学史自选集》下册，山东科学技术出版社，2018年版。
[4] 钱宝琮主编《中国数学史》，科学出版社，1964年版；北京商务印书馆，2019年版。收入郭书春、刘钝等主编《李俨钱宝琮科学史全集》，辽宁教育出版社，1998年版。
[5] 国家计量总局编《中国古代度量衡图集》，文物出版社，1984年版，第97页。
[6] 郭书春《关于中国古典数学的“术”》，见李文林等主编《数学与数学机械化》。山东教育出版社，2001年版，第441—456页。此文在郭书春《古代世界数学泰斗刘徽》（山东科学技术出版社，1992年版；台北明文书局，1995年修订版）的有关论述基础上作了某些修正。收入《郭书春数学史自选集》下册，山东科学技术出版社，2018年版。
[7] （唐）王孝通《缉古筭经》（郭书春点校），载郭书春等点校《算经十书》，辽宁教育出版社（简体字本），1998年版；台北九章出版社（繁体字修订本），2001年版。
[8] （唐）赝本《夏侯阳筭经》（郭书春点校），载郭书春等点校《算经十书》，辽宁教育出版社（简体字本）1998年版；台北九章出版社（繁体字修订本）2001年版。
[9] （清）戴震《九章算术提要》，载《武英殿聚珍版丛书》本《九章算术》。见郭书春主编《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第1册，第95页，河南教育出版社，1993年版；大象出版社，2002年版、2015年版。又，郭书春《汇校九章筭术》（增补版）附录二，辽宁教育出版社、台湾九章出版社，2004年版。郭书春汇校《九章算术新校》，中国科学技术大学出版社，2014年版。
[10] 实际上，秦始皇时便有上林苑。见《史记·秦始皇本纪》（中华书局，1959年版）。
[11] 钱宝琮《戴震算学天文著作考》，载《浙江大学科学报告》，第1卷第1期，1934年。郭书春、刘钝等主编《李俨钱宝琮科学史全集》第9卷。辽宁教育出版社，1998年版，第159—160页。
[12] 李迪《中国数学通史·上古到五代卷》，江苏教育出版社，1997年版。
[13] 《周礼》，载《十三经注疏》，中华书局，1980年版。本书凡引用《周礼》，均据此。
[14] 《春秋左氏传》，载《十三经注疏》，中华书局，1980年版。
[15] 颜昌峣《管子校释》，岳麓书社，1992年版。本前言凡引用《管子》，均据此。
[16] 蒋礼鸿《〈商君书〉锥指》，中华书局，1986年版。
[17] 孙诒让《墨子间诂》，上海书店，1991年版。本前言凡引用《墨子》，均据此。
[18] 《孟子》，载《十三经注疏》，中华书局，1982年版。本书凡引用《孟子》，均据此。
[19] 彭浩《张家山汉简〈算数书〉注释》，科学出版社，2001年版。
[20] 陈松长《岳麓书院所藏秦简综述》，载《文物》，2009年第3期。
[21] 郭书春《古代世界数学泰斗刘徽》，台北明文书局，1995年繁体字修订版。
[22] ［日］堀毅《秦汉物价考》，载《秦汉法制史考论》，法律出版社，1988年版。
[23] 郭书春《张苍与〈九章算术〉》，载《科史薪传》，辽宁教育出版社，1997年版。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学技术出版社，2018年版。
[24] 胡平生《阜阳双古堆汉简数术书简论》，载《出土文献研究》第四辑，中华书局，1998年版，第12—30页。
[25] 人们往往将先秦典籍的散坏完全归罪于秦始皇焚书，实际上，秦末战乱，尤其是残忍的楚霸王项羽破坏性的抢掠烧杀，对先秦典籍的破坏未必比秦始皇焚书小。
[26] （西汉）刘向《春秋序》，载《春秋左传注疏》孔颖达疏引刘向《别录》。见《十三经注疏》，中华书局，1980年版，第1703页。
[27] （战国）荀卿《荀子》，见《荀子简注》，上海人民出版社，1975年版。
[28] 钱宝琮《〈九章算术〉及其刘徽注与哲学思想的关系》，载《李俨钱宝琮科学史全集》第9卷，辽宁教育出版社，1998年版。
[29] （西汉）司马迁《史记》，中华书局，1959年版。本书凡引《史记》，均据此。
[30] 黄展岳《张家山汉墓不会是张苍墓》，载《中国文物报》，1994年5月1日。
[31] 《阳武县志》，卷一。
[32] （东汉）班固《汉书》，中华书局，1962年版。本书凡引《汉书》，均据此。
[33] （西汉）扬雄《扬子法言·重黎》卷十：“或问浑天，曰：落下闳营之，鲜于妄人度之，耿中丞象之，几乎莫之能违也。”见《二十二子》，上海古籍出版社，1986年版，第820页。
[34] （南朝宋）范晔《后汉书》，中华书局，1965年版，第3029页。《后汉书》之《律历志》系晋司马彪撰。
[35] 吴文俊《从〈数书九章〉看中国古典数学构造性与机械化的特色》，载《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社，1995年版，第96—111页。
[36] 吴文俊《数学中的公理化与机械化思想》，载《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社，1995年版，第375—377页。
[37] 吴文俊《〈现代数学新进展〉序》，载《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社，1995年版，第45—54页。
[38] 李文林《古为今用的典范——吴文俊教授的数学史研究》，载林东岱、李文林、虞言林主编《数学与数学机械化》，山东教育出版社，2001年版，第49—60页。
[39] ［美］M.克莱因《古今数学思想》第1册，上海科学技术出版社，1979年版。
[40] 陈跃钧、阎频《江陵张家山汉墓的年代及相关问题》，载《考古》，1985年第12期。
[41] 郭书春《关于〈算数书〉与〈九章算术〉的关系》，载《曲阜师大学报（自）》，第34卷第3期，第1—9页，2008年。收入《郭书春数学史自选集》下册，山东科学技术出版社，2018年版。
[42] 彭浩《张家山汉简〈算数书〉注释》等都以《九章筭术》为模式改动了《筭数书》的某些分数表示，补出了若干“法”、“实”或“实如法”。
[43] （三国魏）嵇康《释私论》，载《嵇康集》，第六卷。见《全上古三代秦汉三国六朝文·全三国文》（二）卷五〇，嵇康《释私论》之眉批，中华书局，1958年版，第1334页。
[44] （三国魏）嵇康《与山巨源绝交书》，载《全上古三代秦汉三国六朝文·全三国文》（二）卷四七，中华书局，1958年版，第1320页。
[45] （战国）庄周《庄子》。见郭庆藩辑《庄子集释》，中华书局，1961年版。本文凡引用《庄子》，均据此。
[46] 侯外庐等《中国思想通史》第三卷，人民出版社，1957年版，第76页。
[47] （三国魏）嵇康《琴赋》，载《全上古三代秦汉三国六朝文·全三国文》（二）卷四七，中华书局，1958年版，第1320页。
[48] （三国魏）王弼《周易略例》，中华书局，2011年版，第401页。
[49] （三国魏）嵇康《声无哀乐论》，载《全上古三代秦汉三国六朝文·全三国文》（二）卷四九，中华书局，1958年版，第1329页。
[50] （三国魏）嵇康《难张辽叔〈宅无吉凶摄生论〉》，载《全上古三代秦汉三国六朝文·全三国文》（二）卷五〇，中华书局，1958年版，第1338页。
[51] （三国魏）何晏《无名论》，（晋）张湛《列子注·仲尼篇》所引。见《列子集释》，中华书局，1979年版，第121页。
[52] （三国魏）王弼《老子注·三十九章》，载《二十二子》，上海古籍出版社，1986年版，第5页。
[53] （唐）魏徵等《隋书》，中华书局，1973年版。本文凡引《隋书》，均据此。
[54] （唐）房玄龄等《晋书》，中华书局，1974年版。《隋书》、《晋书》之《律历志》均系李淳风撰。
[55] 严敦杰《刘徽简传》，载《科学史集刊》第11集，地质出版社，1984年版。
[56] 郭书春《刘徽祖籍考》，载《自然辩证法通讯》第14卷第3期，1992年，第60—63页。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学技术出版社，2018年版。
[57] （北宋）王存《元丰九域志》，中华书局，1984年版，第15页。
[58] （元）脱脱等《金史》，中华书局，1975年版，第612页。
[59] （唐）房玄龄等《晋书·裴秀传》，中华书局，1974年版。
[60] 郭书春《重温吴先生关于现代画家对古代数学家造像问题的教诲——庆祝吴文俊先生90华诞》，《内蒙古师范大学学报》（自），2009年第5期。台湾师范大学《HPM通讯》2009年10月号。收入《郭书春数学史自选集》下册，山东科学技术出版社，2018年版。
[61] 钱宝琮主编《中国数学史》，科学出版社，1964年版；北京商务印书馆，2019年版。收入郭书春、刘钝等主编《李俨钱宝琮科学史全集》第5卷，辽宁教育出版社，1998年版。
[62] 郭书春《刘徽的极限理论》，载《科学史集刊》第11集，地质出版社，1984年版，第37—46页。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学技术出版社，2018年版。
[63] 刘徽的圆田术注即割圆术分两部分。一是证明《九章筭术》的圆面积公式。二是求圆周率。可是在20世纪70年代末以前，几乎所有关于刘徽割圆术的著述都无视其中“觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂”这几句画龙点睛的话，将前面的极限过程与后面的求圆周率程序粘合在一起，说其极限过程是为了求圆周率的。实际上求圆周率用不到极限过程。
[64] 郭书春《刘徽的体积理论》，载《科学史集刊》第11集，第47—62页。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学技术出版社，2018年版。
[65] ［德］David Hilbert（希尔波特）《数学问题——在1900年巴黎国际数学家大会上的讲演》（李文林、袁向东译），载《数学史译文集》，上海科学技术出版社，1981年版，第60—84页。
[66] ［美］Homard Eves，An Introduction to the History of Mathematics .中译本《数学史概论》（修订本）欧阳绛译，山西人民出版社，1986年版，第461页。
[67] 参见陈久金《李淳风》。杜石然主编《中国古代科学家》，科学出版社，1992年版。
[68] （唐）李籍《九章筭术音义》，《汇校九章筭术》（增补版）附录二，郭书春汇校，辽宁教育出版社、台湾九章出版社，2004年版，第853—919页。
[69] 郭书春《李籍〈九章算术音义〉初探》，载《自然科学史研究》第8卷（1989年）第3期，第197—204页。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学技术出版社，2018年版。
[70] 此说不妥。“背”，四库文津阁本作“臂”，可见戴震辑录本不误。而四库文渊阁本和聚珍版皆误作“背”，当是在抄录其副本时产生的舛误。
[71] 郭书春《〈九章算术〉版本卮言》，载《第二届科学史研讨会汇刊》（台北），1991年；《汇校九章筭术》（增补版）附录（三）。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学技术出版社，2018年版。
[72] 此说欠妥。文津阁本是依据戴震辑录校勘本的正本抄录的，而文渊阁本是依据其副本抄录的，文溯阁本笔者未及得见。参见“修订本前言”。
[73] （清）李锐《方程新术草》，载《李氏算学遗书》，嘉庆二十四年（1819）刻板。
[74] （清）汪莱《校正〈九章算术〉及戴氏订讹》，载《衡斋遗书》，1892年刻板。
[75] 郭书春《评宋景昌对〈详解九章算法〉的校勘》，《自然科学史研究》第13卷第3期（1994）。收入《郭书春数学史自选集》下册，山东科学技术出版社，2018年版。
[76] 《诸家筭法及序记》，原名《筭法杂录》，抄本，贵州莫友芝（1811—1871）之子莫绳孙旧藏，1912年李俨在上海收得，遂改此名。今藏中国科学院自然科学史研究所图书馆，1993年影印收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册。全书分2部分，第1部分是算法杂题，据严敦杰考证，系由《永乐大典》卷16361“筭法三二，斤称”辑出（严敦杰《跋重新发现之〈永乐大典〉算书》，载《自然科学史研究》，第6卷第1期，1986年）。第2部分为“诸家筭法序记”，抄录刘徽《九章筭术序》等自三国至明初15部算书的20篇序跋。
[77] LES NEUF CHAPITRES: Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires ，Karine CEMLA et GUO Shuchun.［法］DUNOD Editeur，2004，2005.
[78] ［日］川原秀成《刘徽注九章算术》，载《中国天文学、数学集》，东京朝日出版社，1980年版。
[79] Shen Kangshen etc., The Nine Chapters on the Mathematical Art ，Oxford University Press and Science Press，Beijing，1999.
[80] ［捷］Jiří Hudeček（胡吉瑞），MATEMATIKA V DEVÍTI KAPITOLÁCH （九章算术）。Matfyzpress，PRAHA，2008。
[81] 陈垣《校勘学释例》，中华书局，1959年版。
[82] （清）王念孙《读书杂志》，道光年间刻本。
[83] 《九章算术》，钱宝琮校点《算经十书》，中华书局，1963年版。
[84] 郭书春《汉英对照〈四元玉鉴〉》（Jade Mirror of the Four Unknowns ，元朱世杰著，郭书春今译，陈在新英译）前言，辽宁教育出版社，2006年版。
[85] ［丹麦］D.B. Wagner，An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid: Liu Hui ，Third Century A .D ., Historia Mathematica ，6，1979.［华道安《公元三世纪刘徽关于锥体体积的推导》（郭书春译）］，《科学史译丛》，1980年第2期。
[86] 中国社会科学院考古研究所编《汉杜陵陵园遗址》，科学出版社，1993年版。
[87] （清）俞樾《古书疑义举例》，载《古书疑义举例五种》，中华书局，2005年版。
[88] 杨树达《汉文文言修辞学》，中华书局，1980年版。
[89] 《尚书·洪范》，载《十三经注疏》，中华书局，1979年版，第188页。
[90] 刘师培《古书疑义举例补》，载《古书疑义举例五种》，中华书局，2005年版。
[91] （春秋）左丘明《春秋左传》，载《十三经注疏》，中华书局，1979年版，第1943页。
[92] 杨树达《古书疑义举例续补》，载《古书疑义举例五种》，中华书局，2005年版，第214页。
[93] 张舜徽《中国古代史籍校读法》，上海古籍出版社，1962年版，第211页。