第2章 图像处理的偏微分与变分技术

人类在感受与接收外界信息时，主要依靠眼睛来接收信号，并将这种信号传递给大脑进行解析，从而得到感知结果。随着科技的不断发展和生产需求的不断增加，使用计算机模拟人脑已成为很重要的需求与研究热点，如何使计算机无限接近于人脑是科学家不断追求的目标。其中的一个重要环节就是学习人类的眼睛来接收外界的事物并解析信息，这一环节的一项重要内容就是解释所获取到的信息，由于计算机自身的机器属性，必须首先将获取到的图像转换成计算机可以理解的数字化内容，在解析这些内容时就需要用到一些数学方法。在这些数学方法中，由于偏微分方程在解决这些问题时可以得到较好的解析结果（或者说更加接近于事实的分析结果），因而得到了广泛应用。本章主要介绍用偏微分进行图像处理的两种基本方法：变分法和水平集方法。

2.1 变分法

在实际问题中，往往一个变量会因为多个自变量的改变而发生变化，这就是我们所用到的偏微分方程。使用偏微分方程处理图像分割问题的主要思路，就是将所要处理的问题（或研究对象）转化为一个能量函数，然后求解该能量泛函的过程。在求解过程中，首先使用变分法将能量泛函转化为偏微分方程，然后使用梯度下降法求解极值。基于偏微分方程的图像分割技术主要基于这两种方法开展研究。

2.1.1 变分原理

在实际问题中，我们的目的就是将问题转换为数学问题后，利用数学方法来求解其极值，这里就用到变分法[136][137]的概念。求解泛函极值的过程就是变分法的基本思想。

泛函是变分法中一个极为关键的点。所谓泛函，通俗地讲就是函数的函数，也就是说在一个函数中，其输入是一个函数，最终得到的输出结果是一个实数。对泛函极值的求解问题就是变分问题。

通常在变分法中，泛函是一个积分，我们用I来表示：

式中，I为泛函；F为被积函数，通过选择合适的被积函数F来使得泛函I取得最大值或最小值，被积函数F称为拉格朗日函数。这里的拉格朗日函数F是关于u（x）和u′（x）甚至u（x）的各阶导数的函数。

假设在一维的情况下，泛函用如下形式表示：

一般地，当函数的一阶导数F′为0时所对应的点就是极值点。同理，当泛函的一阶变分为0时，所对应的函数即泛函的极值。为了保证最后所得结果的准确性，对u（x）做微扰，得到u（x）+v（x），则可以得到

将上式代入式（2-2），可得到

根据分步积分法和微扰项在端点的值为0可以得到

将式（2-5）代入式（2-4），可得到

可见，当u（x）微扰项v（x）足够小时，其取值范围不会影响E（u）的值。因此，有

式（2-7）就称为变分问题的欧拉方程[136]。同理可类推到二维，经过同样的推导过程可以得到二维情况下的欧拉方程如下：

通过以上分析可以得出，能量泛函E（u）的极值求解问题可以转化为求解相应的偏微分方程问题，即求解欧拉—拉格朗日方程问题。但是，通常欧拉方程因其非线性特征导致计算过程复杂，时空复杂度较大。为了解决欧拉—拉格朗日方程的求解问题，引入一个关于时刻的变量t，使得初始泛函沿着梯度的反方向不断迭代，从而找到泛函的极小值，这种方法就是接下来将要讨论的梯度下降流方程。

2.1.2 梯度下降流方程

在偏微分方程的图像处理中，为了更快速和方便地获得欧拉—拉格朗日方程的数值解，一般可采用梯度下降流方程进行求解。

将随时间t变化的水平集函数定义为u（·, t），求解的目的就是使得E（u（·, t））不断减小。设微扰项v（·）为函数u（·, t）在随时间t改变的过程中（从时间t到t+Δt）发生的改变量，那么

此时，式（2-6）就可以改写为

那么，我们只需要使

就可以保证E（u（·, t））是在不断减小的。我们将式（2-11）称为泛函（2-2）的梯度下降流方程[138]。此时，选择一个合适的初始函数u0开始不断迭代，直到其取得稳定的解。这时发现当时，和前面的欧拉—拉格朗日方程（2-7）是一样的，所以梯度下降流式（2-11）的稳态解就是欧拉方程的解。