余数相关问题
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余数问题：基本关系式：被除数＝除数×商＋余数，0≤余数＜除数
基本恒等式：被除数÷除数＝商……余数
推论：①被除数≥商×除数＞商×余数；②被除数－余数＝除数或商的倍数
【例1】【北京社招】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少（ ）
A.12
B.41
C.67
D.71
【解析】D。
①被除数≥除数×商＞余数×商（求被除数时优先考虑此结论），所以，被除数＞5× 11＝55，排除A、B；②被除数－余数＝除数或商的倍数，即“选项－11＝5的倍数”，只有D选项符合。
故正确答案为D。
【例2】【联考】在一个除法算式里，被除数、除数、余数和商之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少（ ）
A.237
B.258
C.279
D.290
【解析】C。
①被除数－余数＝商的倍数，即“选项－6＝21的倍数”，排除D。
②被除数＋除数＝319－21－6＝292，
代入A选项，即当被除数是237时，237－6＝231＝21×11＝商×除数，得知除数是11，而237＋11≠292，排除；
代入B选项，258－6＝252＝21×12，而258＋12≠292，排除；
代入C选项，279－6＝273＝21×13，并且279＋13＝292，符合题意。
故正确答案为C。
【习题1】【北京应届】减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少（ ）
A.0
B.1
C.2
D.减数与差之和
【解析】C。被减数－减数＝差，则被减数＝减数＋差，所以三者之和＝被减数＋减数＋差＝被减数×2，则三者之和÷被减数＝2。
故正确答案为C。
【习题2】【北京应届】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。问被除数、除数、商以及余数之和是多少（ ）
A.98
B.107
C.114
D.125
【解析】D。已知余数是8，且除数为一位数，则除数一定为大于8的一位数，即除数为9。两位数除9商仍是两位数，则被除数一定在90—99之间，显然只有98满足条件，因此，98＋9＋10＋8＝125。
故正确答案为D。
【习题3】【北京】有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，这个整数是（ ）
A.44
B.43
C.42
D.41
【解析】D。求某个数是多少时，用直接代入法，逐一验证，只有D选项符合。157÷ 41＝3……34，324÷41＝7……37，234÷41＝5……29，余数之和＝34＋37＋29＝100。
故正确答案为D。
【习题4】【上海】200除500，商2余100，如果被除数和除数都扩大3倍，则余数是（ ）
A.100
B.200
C.300
D.100000
【解析】C。被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
故正确答案为C。
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同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题。
新途径提示：同余问题核心口诀
“余同加余，和同加和，差同减差，公倍数作周期”。
1.余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时该数可以选除数的最小公倍数加上这个相同的余数，余同加余。
【例】“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，余数都为1，该数表示为60n＋1。
2.和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同，此时该数可以选除数的最小公倍数加上这个相同的和数，和同加和。
【例】“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，除数和余数的和都为7，该数表示为60n＋7。
3.差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同，此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差。
【例】“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，除数与余数的差都为1，该数表示为60n－1。
【例1】【国考】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（ ）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
【解析】A。
方法一：余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。“除以5余2，除以4余3”这两个条件是和同，满足这两个条件的数＝20n＋7；再结合“除以9余7”，则这二者满足余同。因此，三个条件都满足的数＝180m＋7，其中，m＝1、2、3、4、5。
方法二：9、5、4的最小公倍数是180，则满足条件的数必为180整数倍左右的数。999÷180＝5……9，因此100—999内，是180整数倍左右的数有5个。
故正确答案为A。
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一般情况下，用满足条件的最大数除以这几个除数的最小公倍数（要求最小公倍数刚好满足条件，不满足时需要修正），商几选几。
【习题1】【福建】三位数的自然数P满足除以7余2，除以6余2，除以5也余2，则符合条件的自然数P有几个（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】C。
方法一：5、6、7的最小公倍数为210（是一个三位数），最大的三位数为999，999÷ 210，商为4。因此，符合条件的自然数P有4个。
方法二：根据口诀“余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期”，此题满足余同，该自然数P＝210n＋2，又因为P是三位数，则100≤210n＋2≤999，解得1≤n≤4。因此，符合条件的自然数P有4个。
故正确答案为C。
【习题2】【湖北】三位数的自然数N满足除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个（ ）
A.8
B.9
C.15
D.16
【解析】C。
方法一：4、5、6的最小公倍数为60（是一个两位数），最大的三位数为999，999÷ 60，商为16。但此时需要修正，因为16个数当中多算了一个两位数60，题目中要求是三位数，因此，符合条件的自然数N共有15个。
方法二：此题满足余同，那么该自然数P＝60n＋3，又因为P是三位数，则100≤60n＋3≤999，解得2≤n≤16。因此，符合条件的自然数N有15个。
故正确答案为C。
【习题3】【安徽】在1000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个（ ）
A.5
B.6
C.7
D.4
【解析】A。
方法一：除以3余2，除以7余3，除以11余4，符合这三个条件的最小自然数是59，那么该数可表示为231n＋59，其中231为3、7、11的最小公倍数，n＝0、1、2、3、4，共计5个数。
方法二：3、7、11的最小公倍数为231（是一个三位数），最大的三位数为999，999 ÷231，商为4。因此，符合条件的三位数有4个，但是还有一个两位数59也符合，共计5个数。
故正确答案为A。
【习题4】【山西】一个盒子中有几百颗糖，如果平均分给7个人，则多3颗；如果平均分给8个人，则多6颗；如果再加3颗，可以平均分给5个人。该盒子中糖的数目可能有（ ）
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
【解析】A。根据条件，糖的数目是一个除以7余3，除以8余6，除以5余2的数。
方法一：满足除以7余3的数可表示为7n＋3，其中满足除以8余6的最小数为38，故满足除以7余3和除以8余6两个条件的数为56m＋38；同理，56m＋38中，满足除以5余2的最小数为262。因此，同时满足除以7余3、除以8余6、除以5余2这三个条件的数字可表示成280x＋262，在三位数范围内的有262、542、822，共计3个。
方法二：7、8、5的最小公倍数为280（是一个三位数），最大的三位数为999，999÷ 280，商为3。因此，共计3个。
故正确答案为A。
【习题5】【黑龙江政法干警】文具店的圆珠笔每支4元，签字笔每支6元，钢笔每支7元。甲、乙、丙三人带的钱数相等且都不超过100元，三人分别购买一种笔，已知甲买完圆珠笔后还剩15元，乙买完签字笔后还剩21元，丙买完钢笔后还剩17元。如果三人的钱相加，最多能买多少支笔（ ）
A.72
B.87
C.60
D.65
【解析】D。甲、乙、丙三个人的钱数分别满足除以4余15，等同于除以4余3；除以6余21，等同于除以6余3；除以7余17，等同于除以7余3。4、6、7的最小公倍数为84，则三人的钱数可表示为84n＋3，因为钱数不超过100元，则每人的钱数均为87元，总钱数为87×3＝261元。要想购买笔的支数多，则买最便宜的圆珠笔，即261÷4＝65余1，因此，最多能买65支笔。
故正确答案为D。