1.4 相对运动 伽利略坐标变换

在低速的情况下，一辆汽车沿水平直线先后通过A、B两点，此时，在汽车里的人测得汽车通过此两点的时间为Δt，在地面上的人测得汽车通过此两点的时间为Δt'。显然，Δt=Δt'。即在两个做相对直线运动的参考系（汽车和地面）中，时间的测量是绝对的，与参考系无关。

同样，在汽车中的人测得A、B两点的距离，和在地面上的人测得A、B两点的距离也是完全相等的。也就是说，在两个做相对直线运动的参考系中，长度的测量也是绝对的，与参考系无关。时间和长度的绝对性是经典力学的基础。然而，在经典力学中，运动质点的位移、速度、运动轨迹等却与参考系的选择有关。例如，在无风的下雨天，在地面上的人看到雨滴的轨迹是竖直向下的，而在车中随车运动的人看到的雨滴的轨迹是沿斜线迎面而来。而且，车速越快，他看到的雨滴轨迹越倾斜。它们之间具有什么关系呢？本节通过伽利略坐标变换重点讨论这方面的问题。

1.4.1 伽利略坐标变换式

设有两个参考系，一个为K系，即Oxyz坐标系；一个为K'系，即O'x'y'z'坐标系，其中x轴和x'轴重合。它们相对做低速匀速直线运动，相对速度为。取K系为基本坐标系，则就是K'系相对于K系的速度。t=0时，坐标原点重合。对于同一个质点A，任意时刻在两个坐标系中对应的位置矢量分别为和，如图1-16所示。此时，K'系原点相对K系原点的位矢为。显然，从图1-16可以得出

上述过程所经历的时间，在K系中观测为t，在K'系中观测为t'。经典力学中，时间的测量是绝对的，因此有t=t'。

于是，有

或者写成

式（1-25）和式（1-26）叫做伽利略坐标变换式。

1.4.2 速度变换

仍以上述低速匀速直线运动为例。一些运动可以看作：质点既参与了K系的运动，又参与了K'系的运动，设其在两个坐标系中的速度分别为，由速度的定义式可知

即

或者写成

vK′x=vKx-v

vK′y=vKy

vK′z=vKz

这就是经典力学中的速度变换公式。通常为了方便，常把质点A对于K系的速度写成，称为绝对速度；把质点A相对于K'系的速度写成，称为相对速度；而把K'系相对于K系的速度写成，称为牵连速度。注意脚标的顺序。这样，就可以写成便于记忆的形式

文字表述为：质点相对于基本参考系的绝对速度，等于质点相对于运动参考系的相对速度与运动参考系相对于基本参考系的牵连速度之和。

例如，在无风的下雨天，地面上的人观测雨滴的速度为，而在车里面的人观测雨滴的速度为，车相对于地面的速度为，则可写成

如图1-17所示。

注意：低速运动的物体满足速度变换式，并且可通过实验证实；对于高速运动的物体，即速度接近光速的情况下，上述变换式失效。

1.4.3 加速度变换

设K'系相对于K系做匀加速直线运动，加速度沿x方向。且t=0时，。则K'系相对于K系的速度。于是，由式（1-28）对时间t求导，可得

即

若两个参考系之间做相对直线运动，则，此时，它表明：质点的加速度相对于做匀速运动的各个参考系来说是个绝对量。

【例1-3】　某人骑摩托车向东前进，其速率为10m/s时觉得有南风，当其速率为15m/s时，又觉得有东南风，试求风的速度。

解：取风为研究对象，骑车人和地面作为两个相对运动的参考系，如图1-18所示。

根据速度变换公式得到

括弧中1、2分别代表第1次和第2次时的值。

由图中的几何关系，知

所以，风速的大小为

所以风向为东偏北26°34'。