2.3 混合“梯田”

在一些较复杂的加、减、乘法混合运算中，也有许多奇妙的“梯田”算式。例如：

8+9+8×9=89

78+9+78×9=789

678+9+678×9=6789

5678+9+5678×9=56789

45678+9+45678×9=456789

345678+9+345678×9=3456789

2345678+9+2345678×9=23456789

12345678+9+12345678×9=123456789

经过检验证明，每层计算都正确无误。

仔细观察有三个发现：

发现一：每层左边是两个数的和，加上这两个数的积，并且第二个数始终是9，保持不变；

发现二：右边是第一个数和第二个数连在一起组成的数；

发现三：从上到下，左边第一个数，每向下一层增加一位，增加的那位上的数，总是比其后一位少1。

这个发现，使我们有了一个大胆的想法：仍然保持左边第二个数9不变，而把第一层的左边第一个数换成1；从上到下，左边第一个数，每向下一层增加一位，增加的那位上的数，总是比其后一位多1。看看会不会得到意想不到的“梯田”算式。

1+9+1×9=19

21+9+21×9=219

321+9+321×9=3219

4321+9+4321×9=43219

54321+9+54321×9=543219

654321+9+654321×9=6543219

7654321+9+7654321×9=76543219

87654321+9+87654321×9=876543219

987654321+9+987654321×9=9876543219

果然有所收获，并且还比原来的“梯田”多了一层！

再大胆一点，从上到下把左边第一个数换成1，22，333，…，88888888，999999999，试试看：

1+9+1×9=19

22+9+22×9=229

333+9+333×9=3339

4444+9+4444×9=44449

55555+9+55555×9=555559

666666+9+666666×9=6666669

7777777+9+7777777×9=77777779

88888888+9+88888888×9=888888889

999999999+9+999999999×9=9999999999

这不能不让我们探讨一下，成功的原因究竟在哪里？

回顾前面的发现：

发现一：每层左边是两个数的和，加上这两个数的积，并且第二个数始终是9，保持不变。

设，第一个数为a。于是，

a+9+9a=10a+9

发现二：右边是这两个数连在一起组成的数。

仔细想想，“两个数连在一起组成的数”，不就是第一个数的10倍加上第二个数，也就是10a+9嘛！

至此恍然大悟：原来，每层都是一个恒等式。层与层之间并没有任何关系！

让我们随意写出几个等式：

7+9+7×9=79

12+9+12×9=129

365+9+365×9=3659

2014+9+2014×9=20149

31416+9+31416×9=314169

无须检验，肯定正确。

看来，数学还真的有点像魔术，再好的魔术，拆穿了也就没意思了是吧？