2.2 模糊集合
2.2.1 模糊集合
模糊控制是利用模糊数学的基本思想和理论的控制方法。模糊集合是模糊控制的数学基础。
1．特征函数和隶属函数
在数学上经常用到集合的概念。
例如，集合A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成
A={x1，x2，x3，x4}
例如，集合A由0到1之间的连续实数值组成
A={x，x∈R，1.0≤x≤10.0}
以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素x，只有两种可能，即属于A或不属于A。这种特性可以用特征函数μA（x）来描述
为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数及隶属度的概念
其中，A称为模糊集合，由0，1及μA（x）构成，μA（x）表示元素x属于模糊集合A的程度，取值范围为[0，1]，称μA（x）为x属于模糊集合A的隶属度。
隶属度将普通集合中的特征函数的取值{0，1}扩展到闭区间[0，1]，即可用0到1之间的实数来表达某一元素属于模糊集合的程度。
2．模糊集合的表示
（1）模糊集合A由离散元素构成。
模糊集合A由离散元素构成，表示为
或
（2）模糊集合A由连续函数构成。
各元素的隶属度就构成了隶属度函数（Membership Function）μA（x），此时A表示为
在模糊集合的表达中，符号“/”“＋”和“∫”不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。
模糊集合是以隶属函数μA（x）来描述的，隶属度的概念是模糊集合理论的基石。
例2.1 设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都学习好，但又有差异。
若采用普通集合的观点，选取特征函数
此时特征函数分别为CA（张三）=1，CA（李四）=1，CA（王五）=1。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取[0，1]区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的差异。
采用隶属函数x/100，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为μA（张三）=0.95，μA（李四）=0.90，μA（王五）=0.85。用“学习好”这一模糊子集A可表示为
A={0.95，0.90，0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。
例2.2 以年龄为论域，取X=[0，200]。Zadeh给出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为
“年轻”的隶属函数仿真程序见chap2_1.m。隶属函数曲线如图2.1所示。
图2.1 “年轻”的隶属函数曲线
仿真程序：chap2_1.m
2.2.2 模糊集合的运算
1．模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶属函数来表示的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度做相应的运算。
（1）空集。
模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即
（2）全集。
模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即
（3）等集。
两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即
（4）补集。
若
为A的补集，则
例如，设A为“成绩好”的模糊集，某学生u0属于“成绩好”的隶属度μA（u0）=0.8，则u0属于“成绩差”的隶属度μA（u0）=1-0.8=0.2。
（5）子集。
若B为A的子集，则
（6）并集。
若C为A和B的并集，则
C=A∪B
一般地，
（7）交集。
若C为A和B的交集，则
C=A∩B
一般地，
（8）模糊运算的基本性质。
模糊集合除具有上述基本运算性质外，还具有表2.1所示的运算性质。
表2.1 模糊运算的基本性质
例2.3 设
，
，求A∪B，A∩B。
解：
，
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即
，μA（u）∧
。
证：设μA（u）=0.4，则
2．模糊算子
模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算过程。采用隶属函数的取大（Max）和取小（Min）进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。但还有其他公式，这些公式统称为“模糊算子”。
设有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下。
（1）交运算算子。
设C=A∩B，有如下3种模糊算子：
①模糊交算子。
②代数积算子。
③有界积算子。
（2）并运算算子。
设C=A∪B，有如下3种模糊算子：
①模糊并算子。
②概率或算子。
③有界和算子。
（3）平衡算子。
当隶属函数进行取大、取小运算时，不可避免地会丢失部分信息，采用一种平衡算子，即“γ算子”可起到补偿作用。
设C=AºB，则
其中，γ取值为[0，1]。当γ=0时，μc（x）=μA（x）•μB（x），相当于A∩B时的算子。当γ=1时，μc（x）=μA（x）＋μB（x）-μA（x）μB（x），相当于A∪B时的算子。
平衡算子目前已经应用于德国Inform公司研制的著名模糊控制软件Fuzzy-Tech中。