第四节 对学生测量概念“真问题”的思索

测量概念的“真问题”，来源于学情前测和教学实践。通过这两个方面的汇总，首先梳理出每节课中学生普遍存在的问题，其次在对比分析三节课例普遍存在问题的基础上，找到这些问题在思路或方向上具有的共同的一致性，也就是“测量概念”专题的“真问题”，为教学研究明确重难点。

一、教学前测情况分析

（一）“长度和长度单位”教学前测

1．前测目标

了解学生对长度的生活经验有多少，了解学生对长度单位的认识有多少，了解学生对长度的测量工具即尺子有多少了解。

2．前测内容

问题一：这支铅笔有多长，你能用手比量一下吗？

问题二：这两支铅笔哪支长？

问题三：尺子有什么作用？怎样测量？

3．前测结果

（1）100%的学生能用手比量出铅笔的长度，说明学生对长度的理解比较充分。

（2）两支铅笔放在一起，100%的学生知道一端对齐，再比较另一端。两支没有放在一起的铅笔，75%的学生知道要借助参照物来比较长短。这说明长度的守恒性和测量的传递性已经具备，学生的思维水平达到了测量学习的标准。

（3）82%的学生知道尺子可以用来测量，但用尺子测量的方法无人知晓。有45%的学生听说过米，但不确定1米有多长。

4．前测学情分析

学情分析指的是学生在学习方面有何特点、学习方法怎样、习惯怎样、兴趣如何、成绩如何等。

学生具备了学习测量的思维水平，对长度的理解有一定的生活经验，知道借助参照物来比较物体的长短，这些都为学习长度概念提供了生活经验和知识基础。对于长度单位、测量工具和测量方法，认知较少，这将是长度概念学习的重点和难点。

（二）“面积和面积单位”教学前测

1．前测目标

了解学生能否找出物体的面及能否正确比较面的大小。考查学生能否正确区分出面和周长。

2．前测内容

问题一：你能从哪些物体上找到面？

问题二：任选几个面，比较一下这几个面的大小。

问题三：分别指出几个平面图形的面和周长。

3．前测结果

（1）100%的学生能找到物体的面。

（2）100%的学生会用直接比较法比较面的大小，80%的学生能想办法（剪-拼）比较出面积相差不大的面的大小。

（3）93%的学生能比较准确地指出平面图形的面及周长。

4．前测学情分析

学生对面积已有初步的感知，课堂上要针对教学中的重点（面积概念及面积单位表象的建立）与难点（周长与面积的比较），设计有层次性的活动，让学生体验、感悟。

（三）“体积和体积单位”教学前测

1．前测目标

了解学生对体积和体积单位的认知程度，以及能否掌握长度、面积与体积三者中的区别与联系。

2．前测内容

问题一：回忆乌鸦喝水的故事，说说乌鸦是怎么喝到水的？你知道其中的道理吗？

问题二：你能举例说说什么是体积吗？

问题三：比较物体长度大小的单位有哪些？比较物体面积大小的单位有哪些？猜想：比较物体体积大小的单位可能有哪些？对于它们的大小你能用手比画一下吗？

3．前测结果

（1）对于体积概念的理解，85%的学生能够结合身边的物体谈对体积的理解，但几乎所有的同学对物体的理解仅局限在身边的事物上，例如桌子、杯子等，而“空间”这个概念能用实物进行说明的只有1/3的同学。

（2）对于体积单位的建立，接近80%的同学能够顺利回顾旧知，在旧知的类比迁移中大胆猜测出体积单位。对于体积单位的大小，学生头脑中没有形成表象，用手比画起来的结果是五花八门。

（3）学生能够感觉体积是整个物体的大小，但比画的却是物体的所有面的大小。

4．前测学情分析

体积对学生来说，是一个新的概念，学生对体积的认识缺乏空间感，体积和表面积易混淆。由认识平面图形到认识立体图形，是空间观念的一次发展，学生对什么是物体的体积，怎样测量物体的体积，体积单位之间为什么是千进率，都不易理解。

二、教学实践中学生错例分析

1．学生在测量什么

“长度和长度单位”一课中，教师让学生在尺子上找到1厘米，有的学生指着数字“1”说，这是1厘米。

“面积和面积单位”一课中，认识完1平方厘米后，教师出示一张大正方形的纸片，让学生估计一下它的面积大约是多少平方厘米。在学生用1平方厘米的小正方形验证时，出现了“只沿一个边长数小正方形的个数，而不是数面上的小正方形的个数”的情况。

“体积和体积单位”一课中，学生在数一个长方体是由多少个小正方体拼成时，出现了数“表面”的情况。

从上面的描述中不难看出，学生并不理解“1厘米”是长度；不理解面积测量的是面的大小，应该用面和面去叠合；对体的感知不到位，将面和体混淆，分辨不清。

2．学生在找什么

在“长度和长度单位”一课中，认识了1厘米之后，教师让学生找一找，生活中哪些物体的长度大约是1厘米，学生分别找到了鸡蛋饼、小蚂蚁、小扣子、手指头等物体。

在“面积和面积单位”一课中，认识了1平方厘米之后，教师让学生找一找，生活中哪些物体的面积大约是1平方厘米，学生分别找到了手指头、计算机开关按钮、键盘小键等物体。

在“体积和体积单位”一课中，认识了1立方厘米之后，教师让学生找一找，生活中哪些物体的体积大约是1立方厘米，学生分别找到了花生米、骰子、玻璃球、小糖块、手指头等物体。

三节课中，认识测量单位后，教师都会让学生“举例子”。从上面的描述中可以看出，学生举的例子要么与实际相差较大，例如小蚂蚁的身长比1厘米短很多；要么不会用语言准确地来描述，例如出现频率较高的手指头，不能正确表述为手指头的宽度大约是1厘米，手指甲的面积大约是1平方厘米，手指头的体积大约是1立方厘米。

审视课堂，探究原因。建立单位表象是形成空间观念的基础，也是这三节课的教学重点之一。三节课都在这一环节设计了丰富的活动，引导学生进行多角度、多感官的体验。“举例子”是学生是否建立测量单位表象的重要表现，也是是否形成概念的重要表现。学生在举例过程中出现的错误表明，不论是测量概念的形成，还是测量单位表象的建立，都是教学重点和难点。

3．学生在计算什么

学生在学习了长方形和正方形的周长计算后，对于周长计算掌握较好。但在学习了长方形和正方形的面积计算后，周长和面积的计算就非常容易混淆。在学习了长方体和正方体后，棱长和、表面积、体积的计算也容易混淆。

细探原因，除了因为在长方形一个图形中，同时承载着图形的边线和图形的面，在长方体一个图形中，同时承载着图形的边线和图形的面、体之外，还有一部分的原因，在于对长度、面积、体积概念意义的理解不够深刻和到位。

三、学生“真问题”分析

通过教学前测和以往教学实践中的错例分析，我们可以看到，学生的学习难点都集中指向了测量概念的形成和测量单位表象的建立上。根据学情，我们梳理出了“长度和长度单位”“面积和面积单位”“体积和体积单位”这一串课的真问题。

问题一：学生在测量概念形成过程中，存在着对概念内涵认识不清的困难，主要表现在不能用语言准确地描述概念，不能在物体上准确地抽象出长、面和体的概念，长、面和体的概念容易混淆等。

问题二：学生在测量单位表象建立过程中，存在着空间表象水平不易培养的困难，主要表现在认识度量单位后，教师都会让学生“举例子”找出生活中的实物，学生往往找不到相应的实物例子，不能用语言准确地描述；不会选择合适的动作表示测量单位；不能准确地选择测量单位测量，或者找不到测量对象，不会正确地测量等。

面对这些问题，我们陷入思考：什么原因造成学生对测量概念的学习存在困惑？如何促进学生对测量概念的“真理解”？带着这样的问题和思考，我们重新审视自己的课堂，探究问题的根源，寻求解决的办法。

（一）充分经历概念形成过程

无论是我们对长度的认识一掠而过，对面积的认识浅尝辄止，还是用三五个活动增加学生对体积的体验，学生感知得并不到位。究其原因，是因为任何一个物体都可以测量其长度、面积、体积三方面的属性，只不过测量“长”时只关注“长度”，依此类推，没有关注并不等于那个属性不是客观存在的，其客观存在仍然影响着所学习的属性的测量。因此，当学习面积时会受到长度尤其是周长的干扰，因为这两个量是测量同一个物体的不同的属性，而当学习体积时，问题更加复杂，因为长度、面积这两个量都在起干扰、混淆的作用。

由此可见，这一串课，首先要明确的是测量对象的属性，要感知的是“线”“面”和“体”。在充分感知的过程中来理解，长度测量的是“线”，面积指的是“面”的大小，而体积则是“体”的大小。

在教学中，首先要提供大量材料，让学生充分感知，作为理解概念意义的内涵支撑。其次，要引导学生对大量材料进行特征分析，从中提炼和抽取出共性的特征，在辨析比较中发现共同的本质属性。最后，再引导学生对反映大量材料的本质属性进行定义或命名。

例如，在“长度和长度单位”一课中，设计指一指、说一说、画一画等活动，不仅仅增加了对长度的认识，对于后面找长度大约是1厘米的物体，测量物体的长度等，都是必不可少的经验积累。

“面积和面积单位”一课，在用观察法比较不出长方形和正方形纸片大小的环节，给学生提供多种材料，比如小线绳、小圆片纸片、小正方形纸片、小三角形纸片等，让学生自主选择。操作后，进行汇报交流研讨，“线”怎么量，“面”怎么量，进而引领学生总结，测量长度是“边”的叠合，而测量面积是“面”的叠合。

“体积和体积单位”一课，虽然学生对空间、体积概念的理解比较到位，但对“体”的感知还有欠缺，仅仅边比画边描述还不够，因为体积是三维的，不能像长度那样指一指，不能像面积那样摸一摸。那么在比较体积时，不好比较，就得转化。课堂上学生想到了装水、沙子，再倒入同样的量杯里进行比较，其实学生就是在转化，教师紧接着引导学生总结、提炼，这样学生就会感知到比较的是高度，学生对三维的体积又有了进一步的理解。

这样一来，这一串课，让学生先充分感知测量对象的属性，感知到测量长度是“线”的拼接，测量面积是“面”的密铺，测量体积是“体”的堆积。在接下来的测量过程中，学生就很清楚自己叠合的是什么，测量的是什么。

（二）创设丰富的活动建立度量单位表象

1．创设活动，多描述

学生在寻找大约1个度量单位的物体时，常常会从身体上找对应的“尺子”。老师在教学时也喜欢引导学生寻找身体上的“小尺子”。但是学生在表达时，描述往往不完整。这时，教师要引导学生会用准确的语言来描述。例如，一个田字格的边长大约是1厘米，一个手指甲的面积大约是1平方厘米，一个手指头的体积大约是1立方厘米。语言是思维的外壳，在用语言描述的过程中，丰富的是对概念的感知。

2．创设活动，多操作

瑞士著名心理学家皮亚杰说过：“智慧自动作发端。”儿童的认识规律正是“从直观的动作思维到具体的形象思维，最后达到抽象的逻辑思维”的。可以说，动作及有关的表象是他们认识客观事物和规律的基础和起点。

在认识测量单位意义的教学中，可以创设活动，让学生比量测量单位的大小，如用两根手指就可以比较1厘米的长度，用两只手比量1平方分米的大小，4人合作比量1立方米的大小等。在动手操作的同时，视觉与触觉、运动觉协同感知事物的同时，思维活动也同步进行。在操作中获得的表象，又及时推动着他们进行分析、综合、比较、抽象、概括，进一步理解测量单位的本质意义。

测量的过程是一个丰富的实践活动。所以，要创设根据实际问题选择合适的测量单位和测量工具的测量活动。在测量活动中，进一步认识测量的实际意义，体会测量单位的重要性，也进一步促进对测量概念意义的理解。

3．创设活动，多沟通比较

纵观这三节课，从结构上来看是相同的。首先都要认识测量对象，其次是对测量对象的测量。测量又细分为三个环节，一是认识测量单位，二是估计测量对象，三是求大小。相同的结构，决定了这“一串课”的教学活动往往类似，如果教学时不关注怎样沟通和揭示这些概念之间的区别与内在联系，学生就很不容易建立起从一维到三维的空间观念。这种沟通和比较，可以从以下几个方面来加以体现：

一是概念内涵表述上的沟通与比较。即长度用“长短”表示，面积用“大小”表示，体积用“占有空间的大小”表示。

二是测量方法上的沟通与比较。例如，在运用重叠法进行直接比较时，不妨通过重叠过程中要点的强调，来凸显一维的重叠与二维的重叠以及三维的重叠的差异。

三是测量工具和单位上的沟通与比较。对于学生而言，测量长度的常用工具是以1厘米为单位的尺，测量面积的常用工具是以1平方厘米为单位的正方形格子纸，测量体积的常用工具是以1立方厘米为单位的正方体。

总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线至二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。