3.1 点的投影
空间任何形体都是由点、线、面组成的。而点、线、面也可以统称为几何元素。线由若干点集合而成，面由若干条线集合而成，而形体则由若干个点、线、面所组成。所以点的投影为线、面及形体投影的基础。
3.1.1 点的三面投影及其特性
三面投影体系在第2章第2节已经了解并掌握，画法几何的起点在于此。
空间点A分别向H面、V面和W面作正投影，所得的投影用a、a'、a″表示，如图3-1。其投影特性如下：
图3-1 点的三面投影
①点的水平投影a和正面投影a'的连线垂直于OX轴，即a'a⊥OX；
②点的正面投影a'和侧面投影a″的连线垂直于OZ轴，即a'a″⊥OZ；
③点的水平投影a和侧面投影a″的连线垂直于OY轴，即aa″⊥OY。
点的水平投影a到OX 轴的距离等于点的侧面投影a″到OZ 轴的距离，aaX=a″aZ；同理，a'aX=a″aYW；a'az=aaYH
根据上述点在三面投影体系中的投影特性，对于空间的点，只要已知其某两面投影，就可以补绘其另一面投影。
【例3-1】 已知点B的H投影b和V投影b'，如图3-2（a），试求其W面投影。
图3-2 求作点的第三面投影
［作图步骤］
（1）过已知投影b'作OZ轴的垂线，所求的b″必在这条直线上。
（2）过投影b作OYH轴的垂线，交于45°辅助线后，再作OYW轴的垂线，交过投影b'作OZ轴的垂线于投影b″，如图3-2（b）；
（3）过投影b作OYH轴的垂线，交于45°辅助线后，再作OYW轴的垂线，交过投影b'作OZ轴的垂线于投影b″，如图3-2（b）；
同时，b到OX轴的距离等于b″到OZ轴的距离，可以截取这段距离来确定点B的W投影b″，如图3-2 （c） 。
注意：作图时bx、bZ 等可不注写。
【例3-2】 已知点A在H面上，点B在Z轴上，试求点A、B的另两面投影，如图3-3（a）。
图3-3 求作点的另两面投影
［作图步骤］
（1）点A在H面上，所以点A的V、W面投影分别落在OX轴和OYH轴上，同时点A的H投影与其本身重合，如图3-3（b）。
（2）点B在Z轴上，所以其H面投影在原点上，V、W面投影与其本身重合。
3.1.2 点与坐标的关系
在三面投影体系中，点A的位置可由它到三个投影面的距离确定，即由它的三个坐标来确定。如图3-4，点的坐标有如下的关系。
图3-4 点的坐标
点到W面的距离=Aa″=Oax=点A的x坐标。
点到V面的距离 =Aa'=Oay=点A的y坐标。
点到H面的距离 =Aa=Oaz=点A的z坐标。
空间点A用坐标来确定，则记作A（x，y，z），其三面投影的坐标分别为a（x，y）、a'（x，z）和a″（y，z），如图3-4。
坐标值以mm为单位，可取正整数和零，不可取负值。根据点的坐标，可以准确绘制其三面投影。
【例3-3】 已知点C（25，18，20），试求点C的三面投影，如图3-5。
图3-5 已知坐标求点的投影
［作图步骤］
（1）绘制投影轴（即坐标轴）。
（2）分别在OX轴上和OZ轴上自O点向左和向上截取x坐标25和z坐标20，并分别过截的点作相应轴的垂线，垂线的交点为c'（25，20）。
（3）在竖直垂线上自OX轴向前截取y坐标18为c（25，18），利用“知二补三”，求作c″（18，20）。
注意：根据坐标求作点的投影时，在投影图中不必注写各投影的坐标值。
综上所述，可将点分为如下几类。
（1）空间点：点的三面投影分别位于三个投影面上，且各坐标值均不为零。
（2）投影面上的点：点的两面投影位于相应的投影轴上，另一面投影与其空间位置重合，且三个坐标值中其一为零。
（3）投影轴上的点：点的两面投影位于相应的投影轴上（与其空间位置重合），另一面投影必定位于原点上，且三个坐标值中其二为零。
注意：Y轴上的点，其H面投影在YH轴上，则W面投影在YW轴上。
（4）原点：原点为极特殊的点，点的三面投影均在三个投影轴的汇交点处，且三个坐标值均为零。
3.1.3 两点的相对位置
空间两点的相对位置，可以从投影中判断，V面投影反映上下、左右关系，H面投影反映左右、前后关系，W面投影反映上下、前后关系。也可以根据点的坐标值大小来确定或判断其相对位置，坐标值大的点在左、前、上方；坐标值小的点在右、后、下方。
【例3-4】 已知点A、B、C、D和E 的投影，如图3-6（a），分别指出点B、C相对于点A的位置和点D相对于点E的位置，并补绘其侧面投影。
图3-6 两点的相对位置及作图
［分析与作图］
（1）从V面投影可以看出，点B在点A的右方、上方，从H面投影可以看出点B在点A的右方、前方，所以点B在点A的右、前、上方。
（2）同理，点C在点A的右、后方。
（3）点D在点E的正上方。则两点的H面投影重合，我们称这样的点为H面的重影点，记作d（e）。点D将点E遮挡，所以相对于H面点E为不可见的点，其代号需加括号。由此可见，判别重影点的可见性依据是左、前、上的点为可见，则右、后、下的点不可见。
由已知的投影图可知：任何两个点或多个点，只要已知其两面投影就可以判别其之间的空间相对位置。
在点D的右侧任意位置设置Z轴、Y轴，按照点的投影规律绘制其各点的侧面投影。如图3-6（b）。
【例3-5】 已知点A的两面投影，如图3-7 （a） ，求作点A正右方15的点B、点A正上方10的点C和点B正前方的12的点D的三面投影。
图3-7 投影面的重影点
［作图步骤］
（1）根据“知二补三”作点A的W面投影a″。
（2） 自a'、a向右量取15，确定b'、b。
（3）根据“知二补三”作点b″，其与a″ 重合，记作（b″）。
（4）同样的方法作点C和D的各面投影。
由作图可知，点A、B为W面的重影点；点A、C为H面的重影点；点B、D为V面的重影点。