3.2　单元刚度矩阵

3.2.1　单元应变及应力表达

（1）应变的表达

由弹性力学的几何方程，有一维问题的应变：

　　 （3-7） 　　

其中：

　　 （3-8） 　　

称为几何函数矩阵（即应变-位移矩阵）。

（2）应力的表达

由弹性力学的物理方程，有一维问题的应力：

σ（x）=Eε（x）=DBq^e=Sq^e　　（3-9）

其中：

　　 （3-10） 　　

称为应力矩阵。

3.2.2　势能方法及单元刚度矩阵

基于式（3-7）～式（3-10），单元的势能可以表示为：

　　 （3-11） 　　

其中K^e称为单元刚度矩阵，即：

　　 （3-12） 　　

P^e叫做节点力列阵，即：

　　 （3-13） 　　

由式（3-11）知，计算单元的势能表达式，得到K^e、P^e及q^e是关键。对图3-1所示的二杆结构，分别写出单元①及单元②对应的表达式：

　　 （3-14） 　　

　　 （3-15） 　　

式中，R₁为节点1处的支反力；P₃为作用在节点3处的外载荷。