3.8　去趋势互相关分析（DCCA）方法

2008年Podobnik和Stanley首次提出一种去趋势互相关分析法（detrended cross-correlation analysis，简称DCCA）^［55］。该方法针对两组非平稳时间序列，可以有效避免由于数据非平稳性所导致的序列之间的伪相关现象，成为定量分析两组非平稳时间序列相关性的最科学有效的方法，并可以直接从动力学特征上分析两组非平稳序列之间的相互耦合作用的时间尺度特征。目前该方法已成功应用于金融市场、气象因子、大气污染等领域的相关性检验^{［56～64］}。

具体算法如下：

首先，对两组原始序列中的数据进行积分，积分方法如下：

　　（3-33）

式中　x_i，y_i——所需研究的两组非平稳时间序列；

i——时间序列中某一数据的序号，其取值范围为i=1，2，…，N；

N——时间序列的总长度；

k——积分序列中某一数据的序号，其取值范围为k=1，2，…，N；

，——原始序列的平均值；

x_k，y_k——积分信号。

其次，分别将这两组积分信号x_k和y_k等间隔地分成长度为n的数据段。在每一小段里，利用最小二乘法进行直线拟合，得到最小平方直线，作为这一段数据的局部趋势。所有最小平方直线组合在一起，成为趋势信号和。

然后对于给定的时间尺度n，用积分信号减去趋势信号，得到残余信号，并求取两组残余信号的协方差，具体如下：

　　（3-34）

式中　F（n）——时间尺度n下对应的两组残余信号的协方差。

最后，取不同时间尺度n，重复上述两步，得到不同时间尺度n下的F（n）。在双对数坐标下做出lgn～lg［F（n）］曲线，如果满足线性关系，则存在幂律关系

F（n）∝n^α　　（3-35）

式中　α——自相似性参数，即DCCA标度指数。

α=0.5，表示研究的两组时间序列之间不存在长期互相关性，某一组时间序列任意时刻的值与另一组时间序列任意时刻的值无关，即两组时间序列之间毫无关联性。α＞0.5表明两组时间序列之间存在持久的、幂律形式的长期相关性，即某一组时间序列中过去某一时刻大气污染若呈增加（减小）的趋势，将会对另一组时间序列未来的值造成影响，使其也将呈现相同的趋势，这种互相关的影响在时间尺度上表现出的是无标度的幂律衰减形式。α越接近1，长期相关性就越强；若α＜0.5则意味着两组时间序列之间具有反持久性的长期幂律相关性。