3.7　多重分形消除趋势波动分析（MFDFA）方法

3.5节中，时间序列多重分形计盒维数是基于标准配分函数多重分形形式体系，这也是早期对时间序列进行多尺度分析的方法，但该方法要求所研究的时间序列必须是平稳的。

如果所研究的数据呈现非平稳特征，那么对于非平稳序列来说，由于序列内在的自相似性和伪相关现象，将导致基于标准配分函数多重分形形式体系计算结果不合理。为了克服非平稳性带来的局限性，2002年Kantelhardt对Peng等提出的DFA方法进行改进，得到了多重分形消除趋势波动分析法（multifractal detrended fluctuation analysis，简称MFDFA）^［47］。目前MFDFA方法是一种针对非平稳序列的很好的多重分形分析方法。

MFDFA方法具体步骤如下^{［47～54］}：

第一步，对原始序列中的数据进行积分，积分方法如下：

　　（3-24）

式中　x_k——所需研究的时间序列；

k——时间序列中某一数据的序号，其取值范围为k=1，2，…，N；

N——时间序列的总长度；

i——积分序列中某一数据的序号，其取值范围为i=1，2，…，N；

——原始序列的平均值；

y_i——积分信号。

第二步，根据不同时间尺度s，将序列y_i分割成互不重叠的等长区间N_s。

　　（3-25）

式中　s——时间尺度。

由于N不一定被s整除，为了不舍弃尾部剩余部分，将序列y_i从尾部到头部再次重复上述过程划分一次，得到2N_s个区间。

第三步，对每一个时间序列子区间，利用最小二乘法进行直线拟合，得到最小平方直线，作为这一段里数据的局部趋势。所有最小平方直线组合在一起，成为趋势信号。然后对于给定的时间尺度s，用积分信号减去趋势信号，得到每一个时间序列子区间的波动信号，

　　（3-26）

式中　λ——划分的时间序列子区间，其取值范围为λ=1，2，…，2N_s；

j——每一个时间序列子区间中某一数据的序号，其取值范围为j=1，2，…，s；

F（s，λ）——给定的时间尺度s下，每一个时间序列子区间的波动信号；

y_λ（j）——每一个时间序列子区间的积分信号；

——每一个时间序列子区间的趋势信号。

第四步，求出整个时间序列的q阶波动函数

当q≠0时：

　　（3-27）

当q=0时：

　　（3-28）

式中　q——多重分形的阶数；

F_q（s）——整个时间序列的q阶波动函数。

第五步，对于每一个确定的q值，存在幂律关系：

　　（3-29）

式中　h（q）——q阶广义Hurst指数。

对于每一个时间尺度s，都可以求出对应的波动函数F_q（s），进而做出lnF_q（s）与ln（s）的函数关系图，其变化率即为q阶广义Hurst指数h（q）。

当h（q）随着q的变化始终为常数时，与q无关时，是独立于q的常数，即时间序列的q阶波动函数均相同，说明时间序列的局部结构是均匀一致的，原始序列则是单一分形。

当h（q）随着q发生变化，说明时间序列的局部结构存在异质性，并非均匀一致的，此时原始序列为多重分形。不同的q描述了大小不同的波动对F_q（s）的影响。当q＜0时，波动函数F_q（s）主要受小波动F²的影响，此时h（q）主要描述了小波动的标度行为。而当q＞0时，波动函数F_q（s）主要受大波动F²（s，λ）的影响，此时h（q）主要描述了大波动的标度行为。

作为特例，当q=2时，MFDFA即转变为DFA形式。此时的h（2）的物理意义与DFA指数α相同。

第六步：广义Hurst指数h（q）与τ（q）满足关系：

τ（q）=qh（q）-1　　（3-30）

式中　τ（q）——传统多重分形的Renyi指数。

通过统计物理中的勒让德变换，我们可以从τ（q）中计算多重分形谱f（α）。其计算公式如下：

　　（3-31）

f（α）=qα（q）-τ（q）　　（3-32）

式中　α（q）——q阶矩的奇异性指数；

f（α）——多重分形谱函数。

多重分形谱中α～f（α）曲线通常是一个单峰函数；对于单一分形，它变成二维空间中的一个点。其中α描述了序列中各个区间不同的奇异程度。多重分形谱f（α）反映了具有奇异指数α的分形维数。

重要多重分形谱参数的物理意义与3.5节雷同，不再赘述。