2.2 导热
2.2.1 傅里叶定律
傅里叶（Fourier）定律是热传导的基本定律。对于一个由均匀材料构成的平壁导热，经验表明在单位时间内通过平壁的导热速率与垂直热流方向的导热面积及导热壁两侧的温度差成正比，与平壁厚度成反比。如图2-3所示，固体中的导热可用微分方法来研究，设平壁薄层厚度为dn，以微分表示，则
（2-1）
引入常数λ改写成等式有
（2-2）
式中 λ——比例系数，称作热导率，W/（m·K）；
A——垂直于热流方向的导热面积，m2；
dT——厚度为dn的导热层两侧的温度差，K；
dn——导热层的厚度，m。
式右边负号的意义表明热流方向总是与温度降低的方向一致。
图2-3 固体中的导热
2.2.2 热导率
根据式（2-1），热导率λ的物理意义是：当A=1m2、dn=1m、dT=1K时，导热速率等于热导率。
热导率是各种物质的一项物理性质，其大小取决于物质自身的性质，它是物质导热性能的标志，热导率值愈小，导热性能越差，反之则物体的导热性能越好。它与物质的组成、密度、温度及压力有关。工程中所用各种物质的热导率，一般由实验测定。各种实验表明：金属的热导率最大，其次为非金属固体，液体又次之，而气体最小。如银在273K的λ=418W/（m·K），而空气在273K时的λ=0.0244W/（m·K）。
（1）固体的热导率
金属是固体中良好的导热体。如373K下纯铜的λ值为377W/（m·K），黄铜的λ值为104W/（m·K）。制造过程设备常用的碳素钢的λ=45W/（m·K），而293K时不锈钢的λ=16W/（m·K）。热导率随温度的改变而变化。
非金属的建筑材料或隔热材料的热导率一般很小，其λ值常是随着密度增大而提高，也随着温度的升高而增大，这一情况与金属是不同的。
表2-1列出了部分固体物质在273～373K时的λ值。
表2-1 某些固体物质在273～373K时的λ值
①温度在1073～1373K时。
（2）液体的热导率
实验证明，非金属液体中水的热导率最大。图2-4所示为14种常见液体的热导率随温度变化的曲线。除水和无水甘油以外，其余液体的热导率随着温度升高略有减小。混合溶液的热导率应由实验测定，若缺乏实验条件，可取纯溶液的λ值进行估算。
图2-4 某些液体的λ值
1—无水甘油；2—蚁酸；3—甲醇；4—乙醇；5—苯胺；6—醋酸；7—丙酮；8—丁醇；9—硝基苯；10—苯；11—甲苯；12—二甲苯；13—凡士林油［图中右坐标1kcal/（m·h·℃）=1.163W/（m·K）；1cal=4.1868J］；14—H2O
有机混合溶液的热导率估算式如下：
λm=0.9∑xmiλi （2-3）
式中 λm——混合液的热导率，W/（m·K）；
xmi——混合液中第i组分液体的质量分数；
λi——混合液中第i组分液体的热导率，W/（m·K）。
（3）气体的热导率
气体的热导率随温度升高而增大，在一般情况下随压强变化不大，可忽略不计。在高于19.6MPa或低于0.00266MPa的压力下，不能忽略压力对热导率的影响，此时λ值随压力增高而增大。气体的热导率一般在0.93～0.58W/（m·K）之间，可见气体对导热不利，但对隔热有利。工业上采用的保温瓦、玻璃棉就是因为它们内部有较大的空隙并存在着空气，因而热导率很小，被广泛用作保温绝热材料。
表2-2中列出了一些气体在不同温度下热导率λ的值。
表2-2 某些气体在大气压下的λ值与温度的关系
2.2.3 单层和多层平壁导热
（1）单层平壁导热
图2-5所示单层平壁导热取自图2-3的剖切面。壁的厚度为δ，两侧表面温度为Tl、T2，设T1>T2，温度只沿垂直于壁面的方向变化，平壁面积为A，设两壁面温度相差不大，热导率λ取作常数。在稳定导热条件下，式（2-2）中的q、A为常数，把公式分离变量并积分：
（2-4）
则有
（2-5）
整理得：
（2-6）
图2-5 单层平壁的导热
式（2-6）为单层平壁稳定导热速率方程式，而且可改写成：
（2-7）
式中单层平壁导热的热阻Rλ：
（2-8）
将式（2-7）与电路的欧姆定律比较，即导热速率、温度差、热阻与电流、电位差、电阻两者进行类比是容易理解的。应用热阻的概念来分析传热过程，为建立复杂的传热速率方程提供了极大的方便。
（2）多层平壁导热
由若干层不同的材料组成的复合壁为多层壁。图2-6所示的是由三种不同材料组成的三层平壁的剖面图，各层厚度分别为δ1、δ2、δ3，热导率分别为λ1、λ2、λ3，复合壁两侧面的温度分别为T1和T4，假定层与层之间紧贴，接触良好，则交界面的温度为T2和T3，所以三层平壁温度的变化由三段折线组成。
图2-6 多层平壁的导热
借助单层平壁导热速率方程，并与串联电路类比，可直接写出三层平壁的总导热速率方程式：
（2-9）
式中 q——导热速率，W；
ΔT——三层平壁总温度差，又称传热推动力，K；
Rλ总——导热总热阻，为各层热阻之和，K/W。
由图2-6可知
（2-10）
总热阻由三个串联的分热阻构成，即
（2-11）
对于更多层的平壁导热，式（2-9）中的ΔT和Rλ总可以依此类推。
考虑单位面积上的导热速率时，可用物理量热流强度qF（W/m2）表示。此时单层平壁的热流强度qF为：
（2-12）
二层平壁的热流强度qF为：
（2-13）
…
依此类推，可得n层平壁的热流强度qF为：
（2-14）
2.2.4 单层和多层圆筒壁导热
（1）单层圆筒壁导热
圆筒壁导热与平壁导热的不同点仅在于传热面积随半径的改变而变化，导热面积不是常量。
设圆筒内壁温度高于外壁温度，即T1>T2，热流的方向沿半径指向外壁。研究内半径为r1、外半径为r2、长度为L的薄壁圆筒的导热问题，截出如图2-7所示的部分筒壁。T轴与圆筒轴线重合，n沿半径方向。在圆筒壁的半径r处并沿半径方向取微小厚度dr的圆筒，其导热面积A=2πrLdr，小薄层壁的温度变化为dT，设材料的热导率为λ，可将式（2-2）写为：
（2-15）
图2-7 单层圆筒壁的导热
负号仍表示热流的方向与温度降低的方向一致。
整理得圆筒稳定导热条件下的速率方程式
（2-16）
式中 d1——圆筒的内壁直径，m；
d2——圆筒的外壁直径，m。
对长度为L的单层圆筒，把式（2-16）改写如下：
（2-17）
其中单层圆筒的导热热阻可表示为：
（2-18）
如引入单层圆筒内外壁面的某种平均面积Am，可将其导热速率方程写成与平壁导热速率方程相似的形式：
（2-19）
把式（2-19）与式（2-16）相比较，可知
（2-20）
由此即可得出：
（2-21）
则
（2-22）
式中 Am——圆筒壁内外表面的对数平均面积，m2；
rm——圆筒壁的对数平均半径，m。
对于薄层圆筒，当
时，可取
的算术平均值作近似计算。这是因为当
时，rm的值用
与用计算的结果，误差不超过4%；当
时，其误差不超过0.5%，所以在这种情况下，用算术平均值计算具有足够的精确度，并使计算大为简化。
（2）多层圆筒壁
图2-8所示为三层圆筒壁的导热，各层壁面温度分别为T1、T2、T3、T4，各层的半径分别为r1、r2、r3、r4。处理这类问题，可借用多层平壁导热的推导方法，并应用总热阻等于各分热阻之和的方法计算。
（2-23）
图2-8 三层圆筒壁的导热
即
（2-24）
对于n层圆筒壁导热的计算，可按上式类似的方法写出导热速率方程式。