5 波动力学——量子力学的第二种形式
图7 德布罗意
爱因斯坦提出了光的波粒二象性概念，即光既有波动性，又有粒子性，这才是光的本性。但是，在1923年，法国一个学文科的、半路出家投身物理的年轻人——德布罗意提出了一个更加大胆的思想：光波是粒子，那么粒子是不是波呢？就是说光的波粒二象性是不是可以推广到一切实物粒子（如原子、电子等）呢？就像当年法拉第由电变磁推想磁变电一样，德布罗意思路一开，立即拓出一片新的天地。1923年他接连发表三篇论文，提出“物质波”的新概念。他坚信大至一个行星、一块石头，小至一个电子，都能产生物质波。物质波有其独特之处，它能在真空中传播，不要介质，因此不是机械波。但它又可以由不带电的物体运动产生，因此它又不是电磁波。
第二年，1924年，德布罗意将自己的这个新思想，写了一篇博士学位论文«关于量子理论的研究»。可以说这是当时物理学界独一无二的新观点。什么？电子居然是一个波？！这未免让人感到太不可思议了。许多人看了他的论文都摇头：他到底是一个天才，还是一个疯子？其实，伟大的智慧与疯狂几乎联系在一起，它们之间的界限微乎其微。但是德布罗意的导师朗之万对这件事总是不放心，便将论文寄给爱因斯坦审阅。
爱因斯坦真不愧为一个理论物理大师，他刚读完论文就拍案叫绝，并立即向物理学界的几个著名学者写信，吁请对这个新思想给予关注：
请读一读这篇论文吧，这可能是一个疯子写的，但只有疯子才有这种胆量。它的内容很充实。看来粒子的每一个运动都伴随着一个波场，这个波场的物理性质虽然我们现在还不清楚，但是原则上应该能够观察到。德布罗意干了一件大事，另一个物理世界的那幅巨大的帷幕，已经被轻轻地掀开了一角。
图8 薛定谔
德布罗意还应用爱因斯坦的相对论，推出了物质波的波长公式。因为E＝mc2以及E＝hν，于是得到mc2＝E＝hν，所以ν＝mc2/h，即波长与粒子的质量和速度的乘积成反比。
好。电子有一个内在频率ν。那么频率是什么？它是某种振动的周期。这表明电子在前进时，本身总是伴随着一个波。德布罗意大胆预言，电子在通过一个小孔或者晶体的时候，会像光波那样产生一个可观测的衍射现象。后来，在美国贝尔电话实验室工作的物理学家戴维逊及其助手革末在做电子束在晶体表面的散射实验时，果然证实了电子束的衍射现象，这正是波的特征。德布罗意因此获得1929年的诺贝尔物理学奖。他也是有史以来第一个仅凭借博士学位论文就直接获取科学的最高荣誉——诺贝尔物理学奖的例子。
1926年，奥地利物理学家薛定谔在德布罗意物质波思想启发下，提出了计算物质波传导的方程式，人们将其称为薛定谔波动方程——量子力学的第二种表述形式。通过这个方程，我们可以计算物质波具有什么形态，以及这种波随时间的变化如何进行传导。
在经典力学中，质点的状态用速度和坐标（或位置）来描述，而在量子力学中，一个粒子同时也是波，这就使得分析变得复杂。因此，在薛定谔方程中，引入了一个全新的数学量——波函数Ψ，它反映了微观粒子的波粒二象性。这样，微观粒子的状态就由波函数来描述：
式中，i为虚数符号，h为普朗克常数，Ψ为波函数，H为哈密顿函数。
当薛定谔把这个方程用于氢原子时，能够得到像玻尔一样的结果，而无须另外假设其他条件。
薛定谔创立的波动方程是一个偏微分方程，它是连续的而不是分立的，掌握起来比较容易，很快就被物理学家所接受。一些著名的物理学家给予充分的肯定。普朗克说：“这一方程奠定了近代量子力学的基础，就像牛顿、拉格朗日和哈密顿创立的方程在经典力学中所起的作用一样。”玻尔说：“这一时期中登峰造极的事件，就是薛定谔在1926年建立了一种更容易掌握的波动力学。”
在薛定谔方程中，波函数Ψ是一个复函数，而在经典力学中的声波或电磁波的波动方程中只包含实数，并没有复数出现。因此，声波或电磁波比较容易描述，而且是可以看得见的，理解起来自然容易。而作为复数的波函数Ψ所描述的波，如电子的波是看不见的，它到底是什么性质的波，其真实面目充满了神奇。这就需要对波函数Ψ的物理意义作出解释。
1926年，德国物理学家波恩在«论碰撞过程的量子力学»的论文中，提出了波函数的统计解释。他认为波函数是概率波，用来表示可以发现电子的概率。这个解释很快成为物理学界公认的正统解释。
在波恩的解释中，提出了一个思想实验（假设没有技术限制所进行的实验，设想它会得到什么样的结果）。假设在一个箱子中放入一个电子并将箱子封闭。如将电子看作波，作为波的电子在箱子里就应该以比较均匀的状态分布。接下来，我们在箱子中放入一块隔板，将箱子分割成两个空间。这样一来，电子的波也应该被一分为二。也就是说，如果电子的波像水面的波那样以分散的状态分布，箱子中的波就应该被隔板从中一分为二。
不过，请大家思考一下，我们向箱子里放了一个电子，在这种情况下，被隔板一分为二的电子的波，究竟是指什么呢？难道是半个电子吗？事实上，并没有被切成一半的电子。因为电子是最小的微粒，即基本粒子的一种。也就是说，一个电子是不可能再被细分的。即便是在技术先进的今天，人们仍然不能将一个电子任意分割。
通过这个思想实验可以得出，电子的波具有和其他的波截然不同的性质。也就是说，一个电子的波是不可能分割成复数的。因为人们只能看见一个完整的电子，从来没有见过被分割成复数个数的电子。那么，这时候被分割的是什么呢？它指的是电子被分割到隔板左边还是右边的概率。也就是说，电子被分到左边的概率是50%，被分到右边的概率也是50%。波恩发现波函数的绝对值平方|Ψ|2（这个数值一定是实数）和电子被发现的位置的概率成比例，如图9所示。如果电子在A点被发现的概率是10%；电子在B点被发现的概率是40%；而经过C点的波的振幅为零，这时，在C点发现电子的概率就是零。另外，经过D点的波的振幅和A点大小（绝对值）相同，所以二者的概率是完全相同的。
图9 波函数是概率波
这样一来，我们能否在“某个位置”发现电子，就受到经过该位置的波的振幅，即波函数Ψ值的影响。Ψ的绝对值越大的位置，发现电子的概率就越高。这就被称作“波函数的统计解释”。波恩说：“要不用这种统计观点的话，辐射的微粒性和波动性之间的矛盾在物理学中会得不到解决的。”由于薛定谔和波恩对量子力学基础研究所作的重要贡献，他们分别于1933年和1954年获诺贝尔物理学奖。
然而，波动力学的创立者薛定谔却始终不能容忍量子力学的统计解释。他总希望能够回到经典物理学上去，因为他认为，经典物理学具有无条件的自然必然性和清晰的概念。薛定谔甚至设计了一个猫的实验，来说明统计解释是荒谬的。同样，对量子理论发展作出过贡献的爱因斯坦，也一直反对量子力学的统计解释。1926年，他在给波恩的信中说：“量子力学固然是堂皇的，可是有一种内在的声音告诉我，它还不是那么真实的东西，这个理论说得很多，但一点也没有真正使我们更加接近‘上帝’的秘密。我无论如何都深信，上帝不是在掷骰子。”对这个问题，爱因斯坦与玻尔之间展开了40年的争论。争论的实质是因为量子力学中引进了统计概念，这就使它的本质变成统计性的。这样，量子力学中的规律已经不再是严格决定论的规律，而是要服从概率论的统计规律。玻尔甚至认为：大自然的一切规律都是统计性的，经典因果律只是统计规律的极限。爱因斯坦则表示不同意对自然界的描述本质上是统计性的，并认为量子力学理论不完备。他公开而直言不讳地说：“上帝是不会玩掷骰子游戏的。”
谈到波动力学，有必要提一下它的创始人对生命科学的重大贡献。1944年57岁的薛定谔以他的«生命是什么»一书的出版震惊了科学界，在这本书中他提出了三个观点：
（1）生命以负熵为生。
（2）遗传是以密码形式通过染色体来传递。
（3）生命体系中存在量子跃迁现象，X射线照射可以引起遗传的突变就是证据。
图10 狄拉克
薛定谔的贡献，是他将生命现象的解释从细胞水平提高到了更微观水平——分子水平。
最后，让我们回顾一下量子力学发展过程所经历的两条迥然不同的道路。第一条道路是从直接观测到的原子谱线出发，引入矩阵的数学工具，用这种奇特的方块表格建立起新的力学大厦。另一条道路，是以德布罗意的理论为切入点，利用经典的哈密顿方程，构造一个体系的新函数——波函数ψ，然后代入德布罗意关系式和变分法，最后求出了方程及其解答。两条道路长期对峙和激烈争论，各自都认定自己的那套方法才是唯一正确的。但是，很快人们就知道，从矩阵出发，可以推导出波动函数的表达形式来。而反过来，从波函数也可以导出矩阵，这两种理论被数学证明是等价的。1930年狄拉克出版了那本经典的量子力学教材«量子力学原理»，将两种力学完美地统一起来，完成了量子力学的普遍综合。