1.6 有趣的尺寸效应

读者可以发现，上文中我们始终强调的一个概念就是，毛细效应在宏观尺度上并不明显，但是在较小尺度下却很重要。实际上，当物体的体积非常庞大时，表面张力对其作用是微乎其微的，因而完全可以忽略。例如对于一艘轮船，通常要计算其浮力，但是谁也不会去考虑表面张力对于浮力的影响，因为计算它的数值没有任何意义。但是把一根体积相对很小的缝衣针放在水面上时，我们发现这根针很容易浮在水面上（图1-16）。尽管针的密度比水大，但是考虑表面张力的作用之后，此时针就能在水面保持平衡。

这就意味着，当物体较大时，毛细效应可以忽略；当物体变小时，毛细效应显得非常重要。这就是一个所谓“尺寸效应”（sizeeffect）的问题。在实验中发现，毛细效应只有在当物体的尺寸缩小到一定程度，一般达到毫米以下的量级时才能凸显出来。因而我们常常定义一个特征长度，即毛细长度

这一特征长度描述了表面张力与物体的重力之间的比值关系。对于常温下的水，其密度通常为ρ=103kg/m3，重力加速度g=9.8N/kg，故此算出的毛细长度κ-1约为2.71mm。

总之，尺寸效应潜在的意思就是，两个非常大的和非常小的物体，尽管它们形状不变，即几何尺寸按比例放大或缩小，但是二者所满足的物理规律不同。关于尺寸效应的最早描述应追溯到著名科学家达·芬奇。他曾经指出一根长的绳子比一根短的绳子容易拉断，因为长的绳子和短的绳子含有的缺陷个数不同。另外一位著名的科学家伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）在《关于两门新科学的对话》一书中有一些精彩的描述：

“谁都知道，一匹马从3或4库比特的高处掉下来将会骨折，同时一只狗从同样高度或一只猫从8或10库比特的高度掉下来不会受伤。一只蝗虫从一座塔上掉下来和一只蚂蚁从月亮的距离掉下来同样不会受伤害。小孩子从足以使大人跌断腿或跌破头的高度掉下来不是安然无恙吗？正如较小的动物与相应的较大的动物相比，其强度更大也更结实；小的植物比大植物可以直立得更好。

“我曾经勾画过一根骨头，它的长度比自然长度增加了3倍，它的粗细放大到这样的大小，使之对于对应的大动物所承担的功能，与小骨头对小动物所承担的功能一样。从这张图上你们可以看到，放大的骨头是多么不成比例。于是显然，如果想让一个巨人保持与一个常人同样肢体的比例，或者必须寻找一种更硬和强度更大的材料来构造他的骨骼，或者必须认可他的骨骼强度要比中等身材的人减小，其身体的强度力不是成比例地减小；的确，身体越小，它的相对强度就越大。因此一只小狗也许能够在它的背上携带和它一样大的两只或三只小狗，但是我相信一匹马甚至驮不起和它大小一样的一匹马。

“不管是人工还是在自然界，把结构的大小增加到巨大尺寸的不可能性，就像建造巨大尺寸船、宫殿或庙宇时，将它们的桨、桅杆、梁、铁栓等，简言之，所有其他的零件，都结合在一起的不可能性一样；在自然界也不可能产生超长尺寸的树，因为树枝会在它们的自重下折断；同样，如果人、马或其他动物增大到非常的高度，要构造它们的骨骼结构，把这些骨骼结合在一起并且执行它们的正常功能也是不可能的；因为这种高度的增大只通过采用一种比通常更硬和更强的材料，或者增大骨骼的尺寸，这样就改变了它们的外形，以至于动物的形状和外貌呈现一种畸形。”

这一段话可以澄清历史上一个很有名的谬误，即传说中的巨人国和小人国在现实中是不可能存在的。在著名童话作家乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift，1667—1745）的笔下，格列佛走进了大人国和小人国，那些巨人和小矮人则长得跟格列佛的相貌没有太大出入（图1-17）。

实际上，假设一个人身体的特征长度为l，则其表面积S与该长度的平方成正比，体积V与该长度的立方成正比，即

因此，当物体越来越大时，其体积相对于表面积增长得比较快，此时体积的影响更为重要；同样，当物体越来越小时，其体积相对于表面积减小得也比较快，此时表面积的影响更为重要。从另外一个角度来看，动物身体的各个支撑部件如手臂、腿和脊柱的强度是与其横截面积成正比的。粗略地计算，如果身长增大了100倍，那么其四肢的尺寸就要增大1000倍，否则四肢将不能支持他的体重。所以说，实际上见到的大人应该是胳膊和腿非常粗的怪物，小人国的小人一定是细胳膊细腿的。所以我们看到的较大的动物往往是肉多皮少的，例如肥猪、大象、鲸等。而比较小的动物往往肉比较少，表皮比较多，例如蟑螂、蝗虫、蚂蚁、螃蟹、甲壳虫等。如图1-18所示，大象的四肢比较粗，而蚂蚁则应该是非常细小的[7]。

我们再来看另外一个问题。大家都知道，纳米材料具有迥异于宏观块体材料的特殊物理和化学性质，因而现在引起了材料学家、物理学家、化学家、力学家、机械学家、生物学家和医学家的广泛关注。运用尺寸效应，很容易理解纳米材料的表面效应。我们首先选取如图1-19所示的一个球形的颗粒，它的表面有一层表面层，层中具有不同于体相材料的能量，往往称为“表面能”。

设球的半径为R，则其体积V和面积S分别为

式（1-9）中的表面积与体积之比定义为“比表面积”

从式（1-10）中可以看出，比表面积与球形颗粒的半径成反比。所以当颗粒的半径越来越小时，例如达到纳米量级，此时半径的倒数就成为一个很大的数值，那么比表面积就越来越大，也就是说表面能的影响更加凸显出来。